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1、2.2 橢 圓2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于 ( )．
A．4 B．5
C．8 D．10
解析 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a2＝25，a＝5.由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案 D
2．已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，|F1F2|＝8，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 ( )．
A．橢圓
2、 B．直線
C．圓 D．線段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2，故選D.
答案 D
3．如果方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )．
A．a(chǎn)>3
B．a(chǎn)<－2
C．a(chǎn)>3或a<－2
D．a(chǎn)>3或－63或－6
3、_______．
解析 由已知2a＝8，2c＝2，
∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1.
答案?。玿2＝1
5．已知橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________．
解析 由已知2c＝6，
∴c＝3，而c2＝9，
∴20－k＝9或k－20＝9，
∴k＝11或k＝29.
答案 11或29
6．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M(3，2)；
(2)焦距是10，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0，2)．
由橢圓的
4、定義知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由題意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
綜合提高（限時(shí)25分鐘）
7．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是 ( )．
A．圓
5、 B．橢圓
C．雙曲線的一支 D．拋物線
解析 如圖，依題意：
|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常數(shù))．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓，故選A.
答案 A
8．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積等于 ( )．
A．
6、5 B．4
C．3 D．1
解析 由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×2
×4＝4，故選B.
答案 B
9．若α∈(0，)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是________．
解
7、析 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化為＋＝1.
∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
∴>>0.
又∵α∈(0，)，
∴sin α>cos α>0，
∴<α<.
答案 (，)
10．橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析 依題意，不妨設(shè)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐
標(biāo)為(x1，y1)，由線段PF1的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入橢圓
方程＋＝1，得y1＝±，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，±)，
∴|PF2|＝|y1|＝.
由橢圓的定義
8、知|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝，
即|PF1|＝7|PF2|.
答案 7
11．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點(diǎn)A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
設(shè)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，
＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a
9、＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
12．(創(chuàng)新拓展)如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1，0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．
解 由題意知點(diǎn)M在線段CQ上，
從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1，0)，C(－1，0)，
∴點(diǎn)M的軌跡是以(1，0)，(－1，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1.
高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-2-1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
