高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-2-1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.2　橢 圓2.2.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 雙基達(dá)標(biāo)　(限時20分鐘) 1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于 (　　)． A．4 B．5 C．8 D．10 解析　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a2＝25，a＝5.由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案　D 2．已知F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，|F1F2|＝8，動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動點(diǎn)M的軌跡是 (　　)． A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段 解析　∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|， ∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2，故選D. 答案　D 3．如果方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<－2 C．a(chǎn)>3或a<－2 D．a(chǎn)>3或－6<a<－2 解析　由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上， ∴即 ?a>3或－6<a<－2.故選D. 答案　D 4．已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8，焦距為2，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析　由已知2a＝8，2c＝2， ∴a＝4，c＝， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 答案?。玿2＝1 5．已知橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________． 解析　由已知2c＝6， ∴c＝3，而c2＝9， ∴20－k＝9或k－20＝9， ∴k＝11或k＝29. 答案　11或29 6．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M(3，2)； (2)焦距是10，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26. 解　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0，2)． 由橢圓的定義知2a＝＋＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. 綜合提高（限時25分鐘） 7．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是 (　　)． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 解析　如圖，依題意： |PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常數(shù))． 又∵|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a. ∴動點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓，故選A. 答案　A 8．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積等于 (　　)． A．5 B．4 C．3 D．1 解析　由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， 又|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×2 ×4＝4，故選B. 答案　B 9．若α∈(0，)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是________． 解析　方程x2sin α＋y2cos α＝1可化為＋＝1. ∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， ∴>>0. 又∵α∈(0，)， ∴sin α>cos α>0， ∴<α<. 答案　(，) 10．橢圓＋＝1的兩個焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的________倍． 解析　依題意，不妨設(shè)橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐 標(biāo)為(x1，y1)，由線段PF1的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入橢圓 方程＋＝1，得y1＝±，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，±)， ∴|PF2|＝|y1|＝. 由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝， 即|PF1|＝7|PF2|. 答案　7 11．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點(diǎn)A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解　設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 設(shè)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)． ∵F1A⊥F2A， ∴·＝0， 而＝(－4＋c，3)， ＝(－4－c，3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝＋ ＝＋＝4. ∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1，0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程． 解　由題意知點(diǎn)M在線段CQ上， 從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則|MA|＝|MQ|， ∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5. ∵A(1，0)，C(－1，0)， ∴點(diǎn)M的軌跡是以(1，0)，(－1，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1.