高三數(shù)學 經(jīng)典例題精解分析 1-1-21-1-3 四種命題 四種命題間的相互關系

1.1.2　四種命題1.1.3　四種命題間的相互關系 雙基達標　(限時20分鐘) 1．命題“若a?A，則b∈B”的否命題是 (　　)． A．若a?A，則b?B B．若a∈A，則b?B C．若b∈B，則a?A D．若b?B，則a?A 解析　注意“∈”與“?”互為否定形式． 答案　B 2．命題“若A∩B＝A，則A∪B＝B”的逆否命題是 (　　)． A．若A∪B＝B，則A∩B＝A B．若A∩B≠A，則A∪B≠B C．若A∪B≠B，則A∩B≠A D．若A∪B≠B，則A∩B＝A 解析　注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”． 答案　C 3．命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lg a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中真命題的個數(shù)為 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．4 解析　原命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lg a>0”是真命題；逆命題“對于正數(shù)a，若 lg a>0，則a>1”是真命題；否命題“對于正數(shù)a，若a≤1，則lg a≤0”是真命題；逆 否命題“對于正數(shù)a，若lg a≤0，則a≤1.”是真命題． 答案　D 4．“若x、y全為零，則xy＝0”的否命題為__________． 解析　由于“全為零”的否定為“不全為零”，所以“若x、y全為零，則xy＝0”的否 命題為“若x、y不全為零，則xy≠0”． 答案　若x、y不全為零，則xy≠0 5．命題“當AB＝AC時，△ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題有______個． 解析　原命題為真命題，逆命題“當△ABC是等腰三角形時，AB＝AC”為假命題，否 命題“當AB≠AC時，△ABC不是等腰三角形”為假命題，逆否命題“當△ABC不是等 腰三角形時，AB≠AC”為真命題． 答案　2 6．將命題“正數(shù)a的平方大于零”改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題． 解　原命題可以寫成：若a是正數(shù)，則a的平方大于零； 逆命題：若a的平方大于零，則a是正數(shù)； 否命題：若a不是正數(shù)，則a的平方不大于零； 逆否命題：若a的平方不大于零，則a不是正數(shù)． 綜合提高（限時25分鐘） 7．命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為 (　　)． A．0 B．2 C．3 D．4 解析　原命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”為假命題，逆命題“若ac2>bc2，則 a>b(a，b，c∈R)”為真命題，否命題“若a≤b，則ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”為真命題， 逆否命題“若ac2≤bc2，則a≤b(a，b，c∈R)”為假命題． 答案　B 8．若命題p的否命題是q，命題q的逆命題是r，則r是p的逆命題的 (　　)． A．原命題 B．逆命題 C．否命題 D．逆否命題 解析　設命題p為“若k，則s”；則其否命題q是“若綈k，則綈s”；則命題q的逆 命題r是“若綈s，則綈k”，而p的逆命題為“若s，則k”，故r是p的逆命題的否命 題． 答案　C 9．命題“正數(shù)的絕對值等于它本身”的逆命題是________． 解析　將命題“正數(shù)的絕對值等于它本身”改寫為“若一個數(shù)是正數(shù)，則其絕對值等于 它本身”，所以逆命題是“若一個數(shù)的絕對值等于它本身，則這個數(shù)是正數(shù)”，即“絕 對值等于它本身的數(shù)是正數(shù)”． 答案　絕對值等于它本身的數(shù)是正數(shù) 10．已知原命題“兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù)”，則： (1)逆命題是“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”； (2)否命題是“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”； (3)逆否命題是“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)都不是無理數(shù)”； 其中所有正確敘述的序號是________． 解析　原命題的逆命題、否命題敘述正確．逆否命題應為“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)不 都是無理數(shù)”． 答案　(1)(2) 11．給出兩個命題： 命題甲：關于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?； 命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù)． (1)甲、乙至少有一個是真命題； (2)甲、乙有且只有一個是真命題； 分別求出符合(1)(2)的實數(shù)a的取值范圍． 解　甲為真時，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 即A＝； 乙為真時，2a2－a>1即B＝； (1)甲、乙至少有一個真命題時，應取A，B兩集合的并集，這時的a的取值范圍是. (2)甲、乙有且只有一個真命題時，有兩種情況：當甲真乙假時，<a≤1；當甲假乙真時， －1≤a<－，所以甲、乙中有且只有一個真命題時，a的取值范圍為 12．(創(chuàng)新拓展)求證：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 證明　法一　原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，則a<－b，b<－a， 又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 即原命題的逆否命題為真命題， ∴原命題為真命題． 法二　假設a＋b<0，則a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 這與已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾， 因此假設不成立，故a＋b≥0.