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1、2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為 ( )．
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙曲線方程可化為y2－＝1，則a2＝1，
a＝1，又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故選A.
答案 A
2．雙曲線3x2－y2＝3的漸近線方程是
2、 ( )．
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 令x2－＝0，則y＝±x.
答案 C
3．已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1
3、 D.－＝1
解析 由離心率為，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，
∴雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，又點(diǎn)P(1，3)
在雙曲線上，則λ＝1－9＝－8，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選D.
答案 D
4．與雙曲線x2－＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(2，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
解析 依題意設(shè)雙曲線的方程x2－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2，2)代入求得λ＝3，所以所求雙
曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
答案 －＝1
5．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1，2)，則k的取值范圍是________．
解析
4、雙曲線方程可變?yōu)椋?，則a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，
又∵e∈(1，2)，則1<<2，解得－12
5、 ( )．
A. B. C. D．2
解析 由題意知，這條漸近線的斜率為，即＝，
而e＝＝＝＝，故選A.
答案 A
8．若00，
6、b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.
所以兩雙曲線有相同的焦點(diǎn)．
答案 D
9．若雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸，離心率e＝，則其漸近線方程為_(kāi)_______．
解析 由已知設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
由e＝，得e2＝＝＝1＋＝.
∴＝，則＝，
∴漸近線方程為y＝±x＝±x.
答案 y＝±x
10．過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn)，若∠PF1Q＝90°，則雙曲線的離心率等于________．
解析 設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由題意知在焦點(diǎn)三角形F1PF2中，|PF1|
＝2c，|PF2|＝2c，
7、又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.
答案?。?
11．求與雙曲線－＝1共漸近線且過(guò)A(3，－3)的雙曲線的方程．
解 設(shè)與－＝1共漸近線且過(guò)A(3，－3)的雙曲線的方程為－＝λ，則－＝λ，從而有λ＝，所求雙曲線的方程為－＝1.
12．(創(chuàng)新拓展)已知點(diǎn)N(1，2)，過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線x2－＝1于A、B兩點(diǎn)，且＝
(＋)．
(1)求直線AB的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且·＝0，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否
共圓？為什么？
解 (1)由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1
得(2－k2)x2－2k(2
8、－k)x－(2－k)2－2＝0. (*)
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程(*)的兩根，
∴2－k2≠0.
且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，
∴N是AB的中點(diǎn)，
∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，
∴直線AB的方程為y＝x＋1.
(2)共圓．將k＝1代入方程(*)得
x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，4)．
∵·＝0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直線方程為
y＝－(x－1)＋2，
即y＝3－x，代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點(diǎn)M(x0，y0)
則x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，
即M(－3，6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝
＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A、B、C、D到M的距離相等，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
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