高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-3-2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.3.2　雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 雙基達(dá)標(biāo)　(限時(shí)20分鐘) 1．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為 (　　)． A．－ B．－4 C．4 D. 解析　由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙曲線方程可化為y2－＝1，則a2＝1， a＝1，又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故選A. 答案　A 2．雙曲線3x2－y2＝3的漸近線方程是 (　　)． A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　令x2－＝0，則y＝±x. 答案　C 3．已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由離心率為，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b， ∴雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，又點(diǎn)P(1，3) 在雙曲線上，則λ＝1－9＝－8， ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.故選D. 答案　D 4．與雙曲線x2－＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(2，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析　依題意設(shè)雙曲線的方程x2－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2，2)代入求得λ＝3，所以所求雙 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案?。? 5．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1，2)，則k的取值范圍是________． 解析　雙曲線方程可變?yōu)椋?，則a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝， 又∵e∈(1，2)，則1<<2，解得－12<k<0. 答案　(－12，0) 6．求雙曲線x2－＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)與漸近線方程． 解　把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)a＝1，虛半軸長(zhǎng)b＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，0)，(1，0)，c＝＝＝， 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(－，0)，(，0)，漸近線方程為±＝0，即y＝±2x. 綜合提高（限時(shí)25分鐘） 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上， 一條漸近線的方程為x－2y＝0，則它的離心率為 (　　)． A. B. C. D．2 解析　由題意知，這條漸近線的斜率為，即＝， 而e＝＝＝＝，故選A. 答案　A 8．若0<k<a2，則雙曲線－＝1與－＝1有 (　　)． A．相同的虛軸 B．相同的實(shí)軸 C．相同的漸近線 D．相同的焦點(diǎn) 解析　a2－k>0，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2. 所以兩雙曲線有相同的焦點(diǎn)． 答案　D 9．若雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸，離心率e＝，則其漸近線方程為_(kāi)_______． 解析　由已知設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 由e＝，得e2＝＝＝1＋＝. ∴＝，則＝， ∴漸近線方程為y＝±x＝±x. 答案　y＝±x 10．過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn)，若∠PF1Q＝90°，則雙曲線的離心率等于________． 解析　設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由題意知在焦點(diǎn)三角形F1PF2中，|PF1| ＝2c，|PF2|＝2c， 又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1. 答案?。? 11．求與雙曲線－＝1共漸近線且過(guò)A(3，－3)的雙曲線的方程． 解　設(shè)與－＝1共漸近線且過(guò)A(3，－3)的雙曲線的方程為－＝λ，則－＝λ，從而有λ＝，所求雙曲線的方程為－＝1. 12．(創(chuàng)新拓展)已知點(diǎn)N(1，2)，過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線x2－＝1于A、B兩點(diǎn)，且＝ (＋)． (1)求直線AB的方程； (2)若過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且·＝0，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否 共圓？為什么？ 解　(1)由題意知直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1 得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0. (*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程(*)的兩根， ∴2－k2≠0. 且x1＋x2＝. ∵＝(＋)， ∴N是AB的中點(diǎn)， ∴＝1， ∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1， ∴直線AB的方程為y＝x＋1. (2)共圓．將k＝1代入方程(*)得 x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴A(－1，0)，B(3，4)． ∵·＝0，∴CD垂直AB， ∴CD所在直線方程為 y＝－(x－1)＋2， 即y＝3－x，代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0， 令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點(diǎn)M(x0，y0) 則x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11， ∴x0＝＝－3，y0＝6， 即M(－3，6)． |CD|＝|x3－x4| ＝ ＝4， |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， |MA|＝|MB|＝2， 即A、B、C、D到M的距離相等， ∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．