高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-2第4課時 空間向量與空間距離（選學(xué)）

第4課時 空間向量與空間距離（選學(xué)） 雙基達(dá)標(biāo)　(限時20分鐘) 1．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為 (　　)． A. B．2 C. D. 解析　由題意＝(＋)＝(2，，3)，＝－＝(－2，－，－3)，||＝ ＝. 答案　D 2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在a內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為 (　　)． A．10 B．3 C. D. 解析　設(shè)點(diǎn)P到α的距離為h， 則h＝＝. 答案　D 3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則D1到直線AC的距離為 (　　)． A.a B. C. D. 解析　連結(jié)BD，AC交于點(diǎn)O， 則D1O＝＝a為所求． 答案　D 4．二面角α­l­β的平面角為60°，A、B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，則CD的長為________． 解析　∵＝＋＋，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l. ∴·＝0，·＝0， ∴||＝ ＝＝. 答案　 5．正方形ABCD與ABEF邊長都為a，若二面角E ­ AB ­ C的大小為30°，則EF到平面ABCD的距離為________． 解析　直線EF到平面ABCD的距離即為點(diǎn)E到平面ABCD的距離， ∴d＝. 答案　 6．已知直線l過點(diǎn)A(1，－1，2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距離． 解　∵＝(－2，－6，2)． ∴·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14， |n|＝＝5. ∴點(diǎn)P到直線l的距離為＝. 綜合提高（限時25分鐘） 7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是 (　　)． A. B. C. D. 解析　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐 標(biāo)系，則有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1， 1)．因O為A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)(，，1)，＝(，－，0)，設(shè)平面ABC1D1的法向 量為n＝(x，y，z)，則有 即 取n＝(1，0，1) ∴O到平面ABC1D1的距離為： d＝＝＝. 答案　B 8．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為 (　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(2，0，0)， A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)， ∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4)， 設(shè)n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，則n⊥，n⊥， ∴即 令z＝1，則平面AB1D1的一個法向量為n＝(2，－2，1)． 由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距離為d＝＝. 答案　C 9．直角△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是________． 解析　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CP為x軸、y軸、z軸 建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)， 所以＝(－4，3，0)， ＝(－4，0，)， 所以在AB上的投影長為 ＝， 所以P到AB的距離為 d＝＝＝3. 答案　3 10．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，則點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離為______． 解析　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(4，0，3)， B1(4，6，3)， B(4，6，0)，C1(0，6，3)， ＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)， ＝(－4，0，3)，＝(0，6，0)， 設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)， 由解得n＝(1，，)． ∴d＝＝. 答案　 11．已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)． (1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離； (2)求直線AC到平面PEF的距離． 解　(1)建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸， y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 則P(0，0，1)，A(1，0，0)， C(0，1，0)，E(1，，0)， F(，1，0)，＝(－，，0)，＝(1，，－1)， 設(shè)平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 則n·＝0，且n·＝0，所以 令x＝2，則y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)， 所以點(diǎn)D到平面PEF的距離為 d＝＝＝， 因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為. (2)因?yàn)椋?0，，0)，所以點(diǎn)A到平面PEF的距離為d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距離為. 12．(創(chuàng)新拓展)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M、N、E、F分別為A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD間的距離． 解　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(4，0，0)， M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)， 從而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)， ＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， ∴＝，＝， ∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 設(shè)n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 從而解得 取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于＝(0，4，0)， 所以在n上的投影為＝＝－. ∴兩平行平面間的距離d＝＝.