（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)12 統(tǒng)計(jì)與概率（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)　統(tǒng)計(jì)與概率 1．(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)． [解]　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故 a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 2．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． [解]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 3．(2020·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)： 　　　鍛煉人次 空氣質(zhì)量等級(jí)　　　 [0,200] (200,400] (400,600] 1(優(yōu)) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(輕度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率； (2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)； (3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？ 人次≤400 人次>400 空氣質(zhì)量好 空氣質(zhì)量不好 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表： 空氣質(zhì)量等級(jí) 1 2 3 4 概率的估計(jì)值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為 (100×20＋300×35＋500×45)＝350. (3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表： 人次≤400 人次＞400 空氣質(zhì)量好 33 37 空氣質(zhì)量不好 22 8 根據(jù)列聯(lián)表得 K2＝≈5.820. 由于5.820＞3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)． 4．(2018·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) 1．(2020·大教育名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡．使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是一定的，最小小到0.001 4秒，最長(zhǎng)的也不過11.765 735秒．某一天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？ (2)根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值． [解]　(1)第一到第六組的頻率依次為 0．1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05，其和為1， 所以2a＝1－，解得a＝0.075， 所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93×＝79.05≈79(顆)． (2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為 0．1×1＋0.2×3＋0.3×5＋0.2×7＋0.15×9＋0.05×11＝5.5(秒)． 故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒． 2．(2020·滁州模擬)某機(jī)構(gòu)為了了解不同年齡的人對(duì)一款智能家電的評(píng)價(jià)，隨機(jī)選取了50名購買該家電的消費(fèi)者，讓他們根據(jù)實(shí)際使用體驗(yàn)進(jìn)行評(píng)分． (1)設(shè)消費(fèi)者的年齡為x，對(duì)該款智能家電的評(píng)分為y.若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為＝1.2x＋40，且年齡x的方差為s＝14.4，評(píng)分y的方差為s＝22.5.求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷對(duì)該款智能家電的評(píng)分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱； (2)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，將50名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評(píng)分劃分為“好評(píng)”和“差評(píng)”，整理得到如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷是否有99%的把握認(rèn)為對(duì)該智能家電的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān)． 好評(píng) 差評(píng) 青年 8 16 中老年 20 6 附：線性回歸直線＝x＋的斜率＝； 相關(guān)系數(shù)r＝， 獨(dú)立性檢驗(yàn)中 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 臨界值表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)相關(guān)系數(shù)r＝ ＝· ＝·＝1.2×＝0.96. 故對(duì)該款智能家電的評(píng)分與年齡的相關(guān)性較強(qiáng)． (2)由列聯(lián)表可得 K2＝≈9.624>6.635. 故有99%的把握認(rèn)為對(duì)該智能家電的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān)． 3．(2020·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對(duì)其購房面積m(單位：平方米，60≤m≤130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1～13分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月)． (1)試估計(jì)該市市民的購房面積的中位數(shù)m0； (2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的40位市民中隨機(jī)抽取4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人，求這2人的購房面積恰好有一人在的概率； (3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇＝＋和＝＋ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值如下表所示： ＝0.936 9＋0.028 5 ＝0.955 4＋0.030 6ln x 0.000 591 0.000 164 0.006 050 請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)出2021年6月份的二手房購房均價(jià)(精確到0.001)． (參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 14≈2.64，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈3.16，≈4.36. 參考公式：R2＝1－)． [解]　(1)由頻率分布直方圖可得，前三組頻率和為0.05＋0.1＋0.2＝0.35， 前四組頻率和為0.05＋0.1＋0.2＋0.25＝0.6， 故中位數(shù)出現(xiàn)在第四組，且m0＝90＋10×＝96. (2)設(shè)從位于的市民中抽取x人，從位于[120,130]的市民中抽取y人， 由分層抽樣可知：＝＝，則x＝3，y＝1 在抽取的4人中，記3名位于[110,120)的市民為A1，A2，A3，位于的市民為B，則所有抽樣情況為：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)共6種． 而其中恰有一人在[120,130]的情況共有3種，故所求概率P＝＝. (3)設(shè)模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R， 則R＝1－，R＝1－，顯然R<R， 故模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的擬合效果更好． 由2021年6月份對(duì)應(yīng)的代碼為42，則＝0.955 4＋0.030 6ln 42＝0.955 4＋0.030 6(ln 3＋ln 14)≈1.070萬元/平方米 4．(2020·華南師大附中等三校聯(lián)考)已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出 險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4 保費(fèi)(元) 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表： 出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4 頻數(shù) 280 80 24 12 4 該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下： 出險(xiǎn)序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 賠付金(元) 2.5a 1.5a a 0.5a 0 將所抽樣本的頻率視為概率． (1)求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值； (2)按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次，則可獲得賠付(2.5a＋1.5a＋a)元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)6次，則可獲得賠付(2.5a＋1.5a＋a＋0.5a)元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值； (3)續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷售人員在上午10：30～11：30之間上門簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外出的時(shí)間在上午10：45～11：05之間，請(qǐng)問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？ [解]　(1)由題意可得： 保費(fèi)(元) 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01 本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值為： 0．9a×0.7＋a×0.2＋1.5a×0.06＋2.5a×0.03＋4a×0.01＝1.035a. (2)由題意可得： 賠償金額(元) 0 2.5a 4a 5a 5.5a 概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01 本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值： 0×0.7＋2.5a×0.2＋4a×0.06＋5a×0.03＋5.5a×0.01＝0.945a. (3)設(shè)保險(xiǎn)公司銷售人員到達(dá)的時(shí)間為x，續(xù)保人離開的時(shí)間為y，看成平面上的點(diǎn)，全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福剑? 則區(qū)域Ω的面積S＝1×＝. 事件A表示續(xù)保人在離開前見到銷售人員， 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? A＝， 即圖中的陰影部分， 其面積S＝××＝. 所以P＝＝，即續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是.