(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)12 統(tǒng)計(jì)與概率(含解析)(文)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(十二) 統(tǒng)計(jì)與概率
1.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比,根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;
(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
[解] (1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故
a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
2.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫(xiě)出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.
[解] (1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),
若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;
若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,
所以,Y的所有可能值為900,300,-100.
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8,因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.
3.(2020·全國(guó)卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級(jí)
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(優(yōu))
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(輕度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附:K2=,
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解] (1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表:
空氣質(zhì)量等級(jí)
1
2
3
4
概率的估計(jì)值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為
(100×20+300×35+500×45)=350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
33
37
空氣質(zhì)量不好
22
8
根據(jù)列聯(lián)表得
K2=≈5.820.
由于5.820>3.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
4.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線(xiàn)圖.
為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線(xiàn)性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;
(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由.
[解] (1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=-30.4+13.5×19=226.1(億元).
利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=99+17.5×9=256.5(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
理由如下:
(i)從折線(xiàn)圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線(xiàn)y=-30.4+13.5t上下,這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線(xiàn)的附近,這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可)
1.(2020·大教育名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來(lái),已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是一定的,最小小到0.001 4秒,最長(zhǎng)的也不過(guò)11.765 735秒.某一天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.
[解] (1)第一到第六組的頻率依次為
0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1,
所以2a=1-,解得a=0.075,
所以,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93×=79.05≈79(顆).
(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為
0.1×1+0.2×3+0.3×5+0.2×7+0.15×9+0.05×11=5.5(秒).
故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.
2.(2020·滁州模擬)某機(jī)構(gòu)為了了解不同年齡的人對(duì)一款智能家電的評(píng)價(jià),隨機(jī)選取了50名購(gòu)買(mǎi)該家電的消費(fèi)者,讓他們根據(jù)實(shí)際使用體驗(yàn)進(jìn)行評(píng)分.
(1)設(shè)消費(fèi)者的年齡為x,對(duì)該款智能家電的評(píng)分為y.若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為=1.2x+40,且年齡x的方差為s=14.4,評(píng)分y的方差為s=22.5.求y與x的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷對(duì)該款智能家電的評(píng)分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱;
(2)按照一定的標(biāo)準(zhǔn),將50名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”,評(píng)分劃分為“好評(píng)”和“差評(píng)”,整理得到如下數(shù)據(jù),請(qǐng)判斷是否有99%的把握認(rèn)為對(duì)該智能家電的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān).
好評(píng)
差評(píng)
青年
8
16
中老年
20
6
附:線(xiàn)性回歸直線(xiàn)=x+的斜率=;
相關(guān)系數(shù)r=,
獨(dú)立性檢驗(yàn)中
K2=,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解] (1)相關(guān)系數(shù)r=
=·
=·=1.2×=0.96.
故對(duì)該款智能家電的評(píng)分與年齡的相關(guān)性較強(qiáng).
(2)由列聯(lián)表可得
K2=≈9.624>6.635.
故有99%的把握認(rèn)為對(duì)該智能家電的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān).
3.(2020·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買(mǎi)二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購(gòu)房者,并對(duì)其購(gòu)房面積m(單位:平方米,60≤m≤130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y(單位:萬(wàn)元/平方米),制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1~13分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月).
(1)試估計(jì)該市市民的購(gòu)房面積的中位數(shù)m0;
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)房面積位于的40位市民中隨機(jī)抽取4人,再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購(gòu)房面積恰好有一人在的概率;
(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇=+和=+ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程,分別為=0.936 9+0.028 5和=0.955 4+0.030 6ln x,并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值如下表所示:
=0.936 9+0.028 5
=0.955 4+0.030 6ln x
0.000 591
0.000 164
0.006 050
請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)出2021年6月份的二手房購(gòu)房均價(jià)(精確到0.001).
(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 14≈2.64,ln 19≈2.94,≈1.41,≈1.73,≈3.16,≈4.36.
參考公式:R2=1-).
[解] (1)由頻率分布直方圖可得,前三組頻率和為0.05+0.1+0.2=0.35,
前四組頻率和為0.05+0.1+0.2+0.25=0.6,
故中位數(shù)出現(xiàn)在第四組,且m0=90+10×=96.
(2)設(shè)從位于的市民中抽取x人,從位于[120,130]的市民中抽取y人,
由分層抽樣可知:==,則x=3,y=1
在抽取的4人中,記3名位于[110,120)的市民為A1,A2,A3,位于的市民為B,則所有抽樣情況為:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B)共6種.
而其中恰有一人在[120,130]的情況共有3種,故所求概率P==.
(3)設(shè)模型=0.936 9+0.028 5和=0.955 4+0.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R,R,
則R=1-,R=1-,顯然R<R,
故模型=0.955 4+0.030 6ln x的擬合效果更好.
由2021年6月份對(duì)應(yīng)的代碼為42,則=0.955 4+0.030 6ln 42=0.955 4+0.030 6(ln 3+ln 14)≈1.070萬(wàn)元/平方米
4.(2020·華南師大附中等三校聯(lián)考)已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出
險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
≥4
保費(fèi)(元)
0.9a
a
1.5a
2.5a
4a
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到下表:
出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
≥4
頻數(shù)
280
80
24
12
4
該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下:
出險(xiǎn)序次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次及以上
賠付金(元)
2.5a
1.5a
a
0.5a
0
將所抽樣本的頻率視為概率.
(1)求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值;
(2)按保險(xiǎn)合同規(guī)定,若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次,則可獲得賠付(2.5a+1.5a+a)元;若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)6次,則可獲得賠付(2.5a+1.5a+a+0.5a)元;依此類(lèi)推,求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值;
(3)續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷(xiāo)售人員在上午10:30~11:30之間上門(mén)簽合同,因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事,外出的時(shí)間在上午10:45~11:05之間,請(qǐng)問(wèn)續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷(xiāo)售人員的概率是多少?
[解] (1)由題意可得:
保費(fèi)(元)
0.9a
a
1.5a
2.5a
4a
概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01
本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值為:
0.9a×0.7+a×0.2+1.5a×0.06+2.5a×0.03+4a×0.01=1.035a.
(2)由題意可得:
賠償金額(元)
0
2.5a
4a
5a
5.5a
概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01
本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值:
0×0.7+2.5a×0.2+4a×0.06+5a×0.03+5.5a×0.01=0.945a.
(3)設(shè)保險(xiǎn)公司銷(xiāo)售人員到達(dá)的時(shí)間為x,續(xù)保人離開(kāi)的時(shí)間為y,看成平面上的點(diǎn),全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福剑?
則區(qū)域Ω的面積S=1×=.
事件A表示續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷(xiāo)售人員,
所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
A=,
即圖中的陰影部分,
其面積S=××=.
所以P==,即續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷(xiāo)售人員的概率是.