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1、課時跟蹤檢測(七十一)
[高考基礎題型得分練]
1．用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
答案：A
解析：因為“方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”等價于“方程x3＋ax＋b＝0的實根的個數大于或等于1”，所以要做的假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”．
2．若a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠
2、0；②a>b與ab>c，且a＋b＋c＝0，求證0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案：C
解析：
3、ac<3a2
?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
4．若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0
B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2
D.<
答案：B
解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
5．已知m>1，a＝－，b＝－，則以下結論正確的是( )
A．a
4、>b B．a＋＞0(m＞1)，
∴<，
即a
5、a，b，c∈(0,2)，求證a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于1”時，反證時假設因為“假設a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1”，故選D.
7．設a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小順序是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
答案：A
解析：∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，
且＋>＋>＋>0，
∴a>b>c.
8．已知函數f(x)＝x，a，b為正實數，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關系為( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B
6、≤A
答案：A
解析：因為≥≥，又f(x)＝x在R上是單調減函數，故f≤f()≤f.
9．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1.以下正確的是( )
A．①與②的假設都錯誤
B．①與②的假設都正確
C．①的假設正確；②的假設錯誤
D．①的假設錯誤；②的假設正確
答案：D
解析：反證法的實質是否定結論，對于①，其結論的反面是p＋q＞2，所以①不正確；對于②，其假設正確．
10.
7、＋與2＋的大小關系為________．
答案：＋>2＋
解析：要比較＋與2＋的大小，
只需比較(＋)2與(2＋)2的大小，
只需比較6＋7＋2與8＋5＋4的大小，
只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，∵42>40，∴＋>2＋.
11．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的序號是________．
答案：①③④
解析：要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不為0且同號即可，故①③④能使＋≥2成立．
12．下列表述：
①綜合法是執(zhí)因導果法；
②綜合法是順推法；
③分析法是執(zhí)果索因法；
④分析法是間接證法；
8、
⑤反證法是逆推法．
正確的語句有是________．(填序號)
答案：①②③
解析：根據綜合法的定義可得，綜合法是執(zhí)因導果法，是順推法，故①②正確．
根據分析法的定義可得，分析法是執(zhí)果索因法，是直接證法，故③正確，④不正確．
由反證法的定義可得，反證法是假設命題的否定成立，由此推出矛盾，從而得到假設不成立，即命題成立，故不是逆推法，故⑤不正確．
故答案為①②③.
13．若二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內至少存在一點c，使f(c)>0，則實數p的取值范圍是________．
答案：
解析：解法一：令
解得p≤－3或p≥，
故
9、滿足條件的p的取值范圍為.
解法二：依題意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－
10、
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
答案：C
解析：若a＝，b＝，則a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有一個大于
11、1.
3．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒為負值 B．恒等于零
C．恒為正值 D．無法確定正負
答案：A
解析：由f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，可知
f(x)是R上的單調遞減函數．
由x1＋x2>0可知，x1>－x2，
f(x1)
12、π)上是凸函數，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________．
答案：
解析：∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，且A，B，C∈(0，π)，
∴≤f
＝f，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為.
5．(1)設a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.
(2)已知a，b，c是全不相等的正實數，求證：＋＋＞3.
證明：(1)∵a＋b＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝1＋＋1＋＋
≥2＋2＋
＝2＋2＋4＝8，當且僅當a＝b＝時等號成立．
(2)∵a，b，c全不相等
13、，且都大于0，
∴與，與，與全不相等，
∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，
三式相加，得＋＋＋＋＋＞6，
∴＋＋＋－1＞3，
即＋＋＞3.
6．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00.
(1)證明：是函數f(x)的一個零點；
(2)試用反證法證明>c.
證明：(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2.
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一個根，
即是函數f(x)的一個零點．
(2)假設0，由00，
知f>0，與f＝0矛盾，∴≥c，
又≠c，∴>c.
（課標通用）高考數學一輪復習 課時跟蹤檢測71 理-人教版高三全冊數學試題
