高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第10練 三角恒等變換與解三角形精準提分練習 文-人教版高三數(shù)學試題

第10練　三角恒等變換與解三角形 [明晰考情]　1.命題角度：與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，考查解三角形及三角形的面積問題.2.題目難度：一般在解答題的第一題位置，中檔難度. 考點一　利用正弦、余弦定理解三角形 方法技巧　(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，適用于求三角形的邊或角. (2)邊角互化法解三角形：合理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關(guān)系，適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問題. 1.(2018·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos. (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB. 又由bsinA＝acos，得asinB＝acos， 即sinB＝cos，所以tanB＝. 又因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝. 由bsinA＝acos，可得sinA＝. 因為a＜c，所以cosA＝. 因此sin2A＝2sinAcosA＝， cos2A＝2cos2A－1＝. 所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB ＝×－×＝. 2.(2018·唐山模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°. (1)求證：BC＝4cos∠CBD； (2)點C移動時，判斷CD是否為定長，并說明理由. (1)證明　在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°， 由正弦定理可知， ＝， 所以BC＝4sin∠BAC. 又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°， 則∠BAC＋∠CBD＝90°， 則sin∠BAC＝cos∠CBD， 所以BC＝4cos∠CBD. (2)解　CD為定長，因為在△BCD中，由(1)及余弦定理可知， CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD， ＝BC2＋4－4BCcos∠CBD ＝BC2＋4－BC2 ＝4， 所以CD＝2. 3.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且＋＝. (1)求角A的大小； (2)若＝＋，a＝，求b的值. 解　(1)由題意，可得＋＝3， 即＋＝1， 整理得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理知，cosA＝＝， 因為0＜A＜π，所以A＝. (2)根據(jù)正弦定理，得＝＝＝＝＋cosA＝＋＝＋， 解得tanB＝，所以sinB＝. 由正弦定理得，b＝＝＝2. 考點二　三角形的面積問題 方法技巧　三角形面積的求解策略 (1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積. (2)若所給條件為邊角關(guān)系，則運用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角，再利用三角形面積公式求解. 4.(2017·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長. 解　(1)由題設(shè)得acsinB＝， 即csinB＝. 由正弦定理，得sinCsinB＝， 故sinBsinC＝. (2)由題設(shè)及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－， 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 5.(2018·內(nèi)蒙古集寧一中月考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC. (1)求角C的大??； (2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面積. 解　(1)由2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得， 2absinC＝a2＋b2－c2， ∴sinC＝，∴sinC＝cosC， ∴tanC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)， 得asinB＝bcosA， 由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝. 根據(jù)正弦定理可得＝，解得c＝， ∴S△ABC＝acsinB＝×2×sin(π－A－C) ＝sin＝. 6.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B的大??； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值. 解　(1)由已知及正弦定理得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，① 又∵A＝π－(B＋C)， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.② 由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB. 又∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)△ABC的面積S＝acsinB＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤， 當且僅當a＝c時，等號成立. 因此△ABC面積的最大值為＋1. 考點三　解三角形的綜合問題 方法技巧　(1)題中的關(guān)系式可以先利用三角變換進行化簡. (2)和三角形有關(guān)的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，要注意其中角的取值. (3)和平面幾何有關(guān)的問題，不僅要利用三角函數(shù)和正弦、余弦定理，還要和三角形、平行四邊形的一些性質(zhì)結(jié)合起來. 7.(2018·東北三校聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2a－2ccosB. (1)求角C的大??； (2)求cosA＋sin的最大值，并求出取得最大值時角A，B的值. 解　(1)b＝2a－2ccosB＝2a－2c·， 整理得a2＋b2－c2＝ab， 即cosC＝， 因為0<C<π，所以C＝. (2)由(1)知C＝，則B＝π－A－， 于是cosA＋sin＝cosA＋sin(π－A) ＝cosA＋sinA＝2sin， 由A＝－B，得0<A<，<A＋<π. 故當A＝時，2sin取得最大值2，此時B＝. 8.設(shè)函數(shù)f(x)＝sinxcosx－sin2(x∈R)， (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f ＝0，c＝2，求△ABC面積的最大值. 解　(1)函數(shù)f(x)＝sinxcosx－sin2(x∈R)， 化簡可得f(x)＝sin2x－＝sin2x－. 令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)， 則kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 令2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)， 則kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z). (2)由f ＝0，得sinC＝， 又因為△ABC是銳角三角形， 所以C＝. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，將c＝2，C＝代入得4＝a2＋b2－ab， 由基本不等式得a2＋b2＝4＋ab≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立. 即ab≤4(2＋)， 所以S△ABC＝absinC≤·4(2＋)·＝2＋， 即△ABC面積的最大值為2＋. 9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且m＝(2a－c，cosC)，n＝(b，cosB)，m∥n. (1)求角B的大??； (2)若b＝1，當△ABC的面積取得最大值時，求△ABC內(nèi)切圓的半徑. 解　(1)由已知可得(2a－c)cosB＝bcosC，結(jié)合正弦定理可得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin(B＋C)， 又sinA＝sin(B＋C)＞0，所以cosB＝，又0<B<π， 所以B＝. (2)由(1)得B＝，又b＝1，在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accosB，所以12＝a2＋c2－ac，即1＋3ac＝(a＋c)2. 又(a＋c)2≥4ac， 所以1＋3ac≥4ac， 即ac≤1，當且僅當a＝c＝1時取等號. 從而S△ABC＝acsinB＝ac≤，當且僅當a＝c＝1時，S△ABC取得最大值. 設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由S△ABC＝(a＋b＋c)r，得r＝. 典例　(12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n. (1)求角B的大?。? (2)設(shè)BC的中點為D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此時△ABC的面積. 審題路線圖 ―→ ―→―→ 規(guī)范解答·評分標準 解　(1)因為m∥n， 所以(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0，1分 由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0， 即a2＋c2－b2＝ac.3分 由余弦定理可知，cosB＝＝＝. 因為B∈(0，π)，所以B＝.5分 (2)設(shè)∠BAD＝θ， 則在△BAD中，由B＝可知，θ∈. 由正弦定理及AD＝，有＝＝＝2， 所以BD＝2sinθ，AB＝2sin＝cosθ＋sinθ， 所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ，8分 從而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin. 由θ∈可知，θ＋∈， 所以當θ＋＝，即θ＝時， a＋2c取得最大值4.11分 此時a＝2，c＝，所以S△ABC＝acsinB＝.12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　找條件：分析尋找三角形中的邊角關(guān)系. [第二步]　巧轉(zhuǎn)化：根據(jù)已知條件，選擇使用的定理或公式，確定轉(zhuǎn)化方向，實現(xiàn)邊角互化. [第三步]　得結(jié)論：利用三角恒等變換進行變形，得出結(jié)論. [第四步]　再反思：審視轉(zhuǎn)化過程的等價性與合理性. 1.(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－. (1)求A； (2)求AC邊上的高. 解　(1)在△ABC中，因為cosB＝－， 所以sinB＝＝. 由正弦定理得sinA＝＝. 由題設(shè)知＜B＜π，所以0＜A＜， 所以A＝. (2)在△ABC中， 因為sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝， 所以AC邊上的高為asinC＝7×＝. 2.(2018·全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin∠ADB＝. 由題意知，∠ADB＜90°， 所以cos∠ADB＝＝＝. (2)由題意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25， 所以BC＝5. 3.已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角A的平分線交BC于點D，f(A)＝，AD＝BD＝2，求cosC. 解　(1)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). (2)由f(A)＝，得sin＝1， 得到2A－＝2kπ＋，k∈Z，解得A＝kπ＋，k∈Z， 由0<A<π，得A＝，所以∠BAD＝， 由正弦定理得＝， 解得sinB＝，所以B＝或B＝(舍去). 所以cosC＝－cos(A＋B)＝sinsin－coscos＝. 4.在某自然保護區(qū)，野生動物保護人員歷經(jīng)數(shù)年追蹤，發(fā)現(xiàn)國家一級重點保護動物貂熊的活動區(qū)為如圖所示的五邊形ABECD內(nèi)，保護人員為了研究該動物生存條件的合理性，需要分析貂熊的數(shù)量與活動面積的關(guān)系，保護人員在活動區(qū)內(nèi)的一條河的一岸通過測量獲得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，且∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1km. (1)求BC的長； (2)野生動物貂熊的活動區(qū)ABECD的面積約為多少？(≈1.732，結(jié)果保留兩位小數(shù)) 解　(1)在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝·sin∠CEB＝×sin45°＝(km). (2)依題意知，在Rt△ACD中， AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan60°＝(km)， 又sin105°＝sin(60°＋45°)＝， sin15°＝sin(60°－45°)＝， 所以活動區(qū)ABECD的面積S＝S△ACD＋S△ABC＋S△BCE＝×AC×CD＋×AC×CB×sin15°＋×BC×CE×sin105°＝××1＋×××＋××1×＝1＋≈1.87 (km2)， 故野生動物貂熊的活動區(qū)ABECD的面積約為1.87km2.