2019-2020年高中數(shù)學(xué)《3.3 幾何概型》知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《3.3 幾何概型》知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修3.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)《3.3 幾何概型》知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修3
1.在區(qū)間[0,3]上任取一點,則此點落在區(qū)間[2,3]上的概率是________.
解析:區(qū)間[2,3]長度為1,[0,3]長度為3,所以P=.
答案:
2.已知地鐵列車每10 min一班,在車站停1 min,則乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率是________.
解析:試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為10 min,而構(gòu)成事件A的區(qū)域長度為1 min,故P(A)=.
答案:
3.如圖所示,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在60的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率是________.
解析:記事件A為“射線OA落在∠xOT內(nèi)”,
因為∠xOT=60,周角為360,
故P(A)==.
答案:
4.如圖,在正方形內(nèi)有一扇形(見陰影部分),扇形對應(yīng)的圓心是正方形的一頂點,半徑為正方形的邊長.在這個圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為________.(用分?jǐn)?shù)表示)
解析:設(shè)正方形的邊長為1,
∴S正=12=1,
又S扇=πr2=π,
∴落在扇形外正方形內(nèi)的概率為
P==.
答案:
一、填空題
1.一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為40秒,一學(xué)生到達(dá)該路口時,見到紅燈的概率是________.
解析:這是一個與時間長度有關(guān)的幾何概型,P==.
答案:
2.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P,則△PBC的面積大于的概率是________.
解析:如圖所示,在邊AB上任取一點P,因為△ABC與△PBC是等高的,所以事件“△PBC的面積大于”等價于事件“BP∶AB>”.即P(△PBC的面積大于)==.
答案:
3.(xx年高考湖南卷)在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則|x|≤1的概率為________.
解析:由|x|≤1,得-1≤x≤1.由幾何概型的概率求法知,所求的概率P==.
答案:
4.一個長為2 m,寬為1 m的紗窗,由于某種原因,紗窗上有一個半徑為10 cm的小孔,現(xiàn)隨機(jī)向紗窗投一小沙子,則小沙子恰好從孔中飛出的概率為________.
解析:由幾何概型的計算公式得P==.
答案:
5.某人手表停了,他打開電視機(jī)想利用電視上整點顯示時間來校正他的手表,則他等待不超過一刻鐘的概率為________.
解析:這是一個與時間長度有關(guān)的幾何概率P==.
答案:
6.(xx年揚(yáng)州質(zhì)檢)有四個游戲盤,如果撒一粒黃豆落在陰影部分,則可中獎,小明希望中獎,他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為________.
解析:根據(jù)幾何概型的面積比,①游戲盤的中獎概率為,②游戲盤的中獎概率為,③游戲盤的中獎概率為=,④游戲盤的中獎概率為=,故①游戲盤的中獎概率最大.
答案:①
7.已知半徑為2的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體,若在球內(nèi)任取一點,則該點在正方體內(nèi)的概率為________.
解析:由題意可知,設(shè)正方體的棱長為a,
則a=22,
∴a=4,
故V球=πR3=π(2)3=32π,
V正方體=a3=64.
由幾何概型計算公式可知,
所求事件的概率P==.
答案:
8.ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點,在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,取到的點到O的距離大于1的概率為________.
解析:如圖,要使圖中點到O的距離大于1,則該點需取在圖中陰影部分,故概率為P==1-.
答案:1-
9.如圖,半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為1 cm的小圓,現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋在此紙板上,使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi).則硬幣落下后與小圓無公共點的概率為________.
解析:硬幣落在紙板上的測度D=πR2=81π;而
硬幣落下后與小圓無公共點的測度d=D-πr2=81π-4π=77π,所以所求的概率P===.
答案:
二、解答題
10.正方形ABCD的邊長為1,在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點M,求:
(1)△AMB面積大于或等于的概率;
(2)AM的長度不小于1的概率.
解:(1)如圖①,取BC、AD的中點E、F,連接EF,當(dāng)M在矩形CEFD內(nèi)(包括邊界)運動時,△AMB的面積大于或等于,由幾何概型的概率公式,知P==.
(2)如圖②,以AB為半徑作弧,M在陰影部分(包括邊界)時,AM長度大于或等于1,由幾何概型的概率公式,知P==1-.
11.某學(xué)校上午8∶00~11∶50上四節(jié)課,每節(jié)課50分鐘,課間休息10分鐘,家長看望學(xué)生只能在課外時間,某學(xué)生家長上午8∶00~12∶00之間隨機(jī)來校.問這位家長一來就可以見其子女的概率是多少?
解:法一:家長上午8∶00~12∶00之間任一時刻到學(xué)校是等可能的,我們考慮樣本空間8∶00~12∶00,即4個小時,事件發(fā)生的幾何區(qū)域則是40分鐘,符合幾何概型,可以直接利用公式.設(shè)學(xué)生家長會見子女為事件A,則P(A)==.
法二:學(xué)生家長在8∶00~12∶00選定到學(xué)校的時刻的機(jī)會是均等的,他到學(xué)校等待會見子女的時間不會超出一節(jié)課,每小時的情況相同,我們可以把樣本空間看成是1個小時的情形,則其可以會見子女的時間是10分鐘,仍符合幾何概型,則P(A)==.
12.正方體ABCDA1B1C1D1,棱長為a,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點M.
(1)求M落在三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)的概率;
(2)求M落在三棱錐BA1B1C1內(nèi)的概率;
(3)求M與面ABCD的距離大于的概率;
(4)求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率.
解:V正方體=a3.
(1)∵V三棱柱=a2a=a3,
∴所求概率P1=.
(2)∵V三棱錐=S△A1B1C1BB1
=a2a
=a3,
∴所求概率P2=.
(3)所求概率P3==.
(4)所求概率P4==.