南開(kāi)大學(xué)金融學(xué)本科核心課程(1)
單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,*,南開(kāi)大學(xué)金融學(xué)本科核心課程,投資學(xué),第五版,南開(kāi)大學(xué)金融學(xué)系,李學(xué)峰,2006,年第二學(xué)期,第八章 套利定價(jià)理論,在一個(gè)均衡的資本市場(chǎng)中,所有的資產(chǎn)將遵循,“,一價(jià)法則,”,,即同一個(gè)資產(chǎn)既便在不同的市場(chǎng)上,也只有一個(gè)均衡價(jià)格。當(dāng),“,一價(jià)法則,”,被違反時(shí),,即出現(xiàn)了套利(,arbitrage,)機(jī)會(huì)。套利定價(jià)理論,(,arbitrage pricing,theory,APT,)即通過(guò)對(duì)套利,條件和行為的研究,揭示出套利定價(jià)模型及其對(duì)市,場(chǎng)均衡的影響。套利定價(jià)理論本質(zhì)上是一個(gè)多因素,定價(jià)模型。,第一節(jié) 多因素定價(jià)模型,一、多因素模型的提出,指數(shù)模型將收益分解為系統(tǒng)的和公司特有的兩,部分,但宏觀因素其本身又受到多種因素的影響,,如經(jīng)濟(jì)周期、利率和通貨膨脹等;第六章我們?cè)趯?duì),經(jīng)典,CAPM,進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)中也指出,,CAPM,所揭示的影,響資產(chǎn)定價(jià)的因素并不全面。正是這些理論考慮,,構(gòu)成了多因素模型的定義基礎(chǔ)。,此外,單指數(shù)模型的一個(gè)隱含假定是,每個(gè)證,券對(duì)每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素具有相同的敏感度。但實(shí)際上不,同的證券對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì)因素有不同的貝塔值。,假設(shè)經(jīng)濟(jì)周期的不確定性和利率的變動(dòng)是宏觀,經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)的來(lái)源,前者我們用,GDP,來(lái)測(cè)度,后者用,IR,表示??紤]兩家公司,一家是公用事業(yè)公司,一家,是航空公司。由于公用事業(yè)公司的收益受到政府管,制,一般它對(duì),GDP,的敏感性較弱,即有一個(gè),“,低,GDP,貝塔值,”,;但可能對(duì)利率的敏感度較高,即有一個(gè),“,負(fù)的高利率貝塔值,”,。相反,航空公司的業(yè)績(jī)對(duì),經(jīng)濟(jì)活動(dòng)非常敏感,而對(duì)利率的敏感度較低,即它,有一個(gè)高的,GDP,貝塔值和低的,IR,貝塔值。很明顯,這,種情況下,單指數(shù)模型很難對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行精確處,理。,對(duì)上述情況,我們可以把單指數(shù)模型擴(kuò)展成為,一個(gè)雙因素模型,即:,R,i,=,+,GDP,GDP,t,+,IR,IR,t,+e,t,(,8.1,),這樣,我們即可精確描述不同宏觀風(fēng)險(xiǎn)對(duì)不同,證券的影響。這即是多因素模型(,multifactor models,)優(yōu)于單指數(shù)模型的原因所在。,在應(yīng)用多因素模型時(shí),一個(gè)重要的工作是對(duì)因,素的選擇與確定,也就是說(shuō),我們?cè)诒姸嗟暮暧^經(jīng),濟(jì)因素中,應(yīng)選擇哪些因素作為對(duì)證券收益產(chǎn)生影,響的宏觀風(fēng)險(xiǎn)?一般而言,對(duì)因素的選擇應(yīng)遵循兩,個(gè)原則,其一是僅考慮與證券收益直接有關(guān)的宏觀,因素;其二是選擇那些投資者最關(guān)心的因素。,二、多因素模型的理論基礎(chǔ),當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期望收益有影響時(shí),這一風(fēng)險(xiǎn)即是,“,可定價(jià),”,的。單因素模型認(rèn)為,只有市場(chǎng)因素可,定價(jià)。默頓(,Robert,C.Merton,,,1973,)則推導(dǎo)出了,多因素的,CAPM,,并證明,其他風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源因素也可定,價(jià),這些因素包括勞動(dòng)收入、重要消費(fèi)品價(jià)格(如,能源價(jià)格)等。也就是說(shuō),對(duì)其他風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源可否定,價(jià)的研究,構(gòu)成了多因素模型的理論基礎(chǔ)。,三、多因素模型,對(duì)于與,n,種證券的收益相關(guān)的,m,(,m0,(,8.5,),否則構(gòu)建組合無(wú)意義。,可見(jiàn),有效的套利組合是有吸引力的:不需要,額外資金、無(wú)額外風(fēng)險(xiǎn)、收益為正。,第三節(jié) 套利定價(jià)模型,套利定價(jià)模型也可以分為單因素模型和多因素模,型。,一、單因素套利定價(jià)模型,假設(shè)只有單個(gè)系統(tǒng)性因素影響證券的收益,即考,察一個(gè)單因素的情況。在這一模型中,證券收益的,不確定性來(lái)自兩個(gè)方面:系統(tǒng)性因素和公司特有的,因素。如果我們用,F,代表系統(tǒng)性因素的影響,,i,表,示公司,i,對(duì)該因素的敏感性,,i,表示公司,i,特定因素的,擾動(dòng),則該單因素模型可以表述為:,r,i,=,E(r,i,)+,i,F+,i,(,8.6,),上式即是單因素套利定價(jià)模型。公式(,8.6,),中,所有非系統(tǒng)性收益,i,之間均相互獨(dú)立,同時(shí)與,F,相互獨(dú)立。,為了理解,F,在單因素套利定價(jià)模型中的作用,我,們假設(shè)宏觀因素,F,代表,GDP,的意外變化比例。如果投,資者一致認(rèn)為今年,GDP,增長(zhǎng)率為,8,,而實(shí)際增長(zhǎng)率,為,7,,則,F,值為,1,,表明在與期望增長(zhǎng)率相比較,時(shí),實(shí)際增長(zhǎng)率有,1,的失望。如果我們進(jìn)一步假定,某股票的貝塔值為,1.2,,即可將該股票的收益較之前,的預(yù)測(cè)降低,1.2,。這即是,F,因素對(duì)證券收益的影響,所在。,例題,8.1,:,假設(shè)一個(gè)充分分散化的投資組合,A,,其,A,1,,,預(yù)期收益為,10,,則該投資組合的收益為:,E(r,A,)+,A,F,=10%+1,F,(,8.7,),如果宏觀因素發(fā)生積極的變化,即,F,為正值,投,資組合的收益將超過(guò)預(yù)期收益,反之如果,F,為負(fù)值,,則收益將低于平均值。,進(jìn)一步,假設(shè)存在另一投資組合,B,,其預(yù)期收益,為,8,,,B,1,。那么,組合,A,和組合,B,如果同時(shí)存,在,將導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)。以數(shù)字為例表述即,是,如果我們做,100,萬(wàn)元的組合,B,的空頭,同時(shí)買(mǎi)入,100,萬(wàn)元組合,A,,即實(shí)施一項(xiàng)凈投資為零的策略,我,們將獲利,2,萬(wàn)元。即:,(0.1+1,F),100,萬(wàn)元,-(0.8+1,F),100,萬(wàn),元,=2,萬(wàn)元,資產(chǎn)組合,A,做多頭 資產(chǎn)組合,B,做空頭,即我們獲得了凈收益,2,萬(wàn)元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。這種,情況下,投資者的套利行為必將使利差消失。,二、多因素套利定價(jià)模型,以上的研究中,我們將系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素概括為一,個(gè)抽象的,F,,這即是單因素套利定價(jià)模型的實(shí)質(zhì)。而,實(shí)際上,系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是由多種因素構(gòu)成的,如利率,的變動(dòng)、通貨膨脹的變動(dòng)等??疾爝@些因素的變動(dòng),對(duì)預(yù)期收益的影響,即是所謂多因素套利定價(jià)模型(,multi-factors APT model,)。,假設(shè)證券,i,的收益受,k,個(gè)系統(tǒng)性因素的影響:,r,i,=E(r,i,)+,i1,F,1,+,i2,F,2,+,ik,F,n,+,i,(,8.8,),其中,r,i,為證券,i,的收益率,,E(r,i,),為證券,i,的預(yù)期,收益率,,ik,是證券,i,對(duì)第,k,個(gè)因素的敏感度,,i,為,非系統(tǒng)性因素,且,E(,i,)=0,。,對(duì)于一個(gè)高度分散化的資產(chǎn)組合,由于非系統(tǒng),性風(fēng)險(xiǎn)將被分散掉,因此只有系統(tǒng)性因素需要給以,風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。證券,i,預(yù)期收益與這些系統(tǒng)性因素的關(guān)系,為:,E(r,i,)=,0,+,i1,1,+,i2,2,+,+,ik,k,(,8.9,),式中,0,為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)因素所得到的補(bǔ)償額,即無(wú)風(fēng),險(xiǎn)收益率(,r,f,);,k,(其中,k=1,2,k,)為投資者承,擔(dān)第,k,個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素所得到的補(bǔ)償額;,ik,為風(fēng)險(xiǎn)的衡,量。當(dāng)證券,i,對(duì)所有,k,個(gè)因素都不敏感時(shí),該證券或證券組合即是零,或零風(fēng)險(xiǎn)組合。,假設(shè)資產(chǎn)組合,p,1,只與因素,1,有一個(gè)單位的敏感,度,即,i1,1,,而:,i2,i3,=,ik,=0,則:,E(r,p,)=,0,+,1,i1,(,8.10,),由于,i1,1,,因此有:,E(r,p1,)=,0,+,1,(,8.11,),從而,1,E(r,p1,),0,(,8.12,),即風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償額為預(yù)期收益率超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,的部分。,以上述方法類(lèi)推其他,值后,得到多因素,APT,模,型:,E(r,p1,)=,0,+,i1,E(r,p1,)-,0,+,i2,E(r,p2,)-,0,+,ik,E(r,pk,)-,0,(,8.13,),例題,8.2,:,假設(shè)某股票的收益受到行業(yè)狀態(tài),I,、市場(chǎng)利率,R,和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,G,三種因素的影響,并假設(shè),E(r,I,),12,,,E(r,R,),8,,,E(r,G,),10,,且,I,1,,,R,0.5,,,G,0.75,。給定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為,6,。請(qǐng)用套,利定價(jià)模型確定該股票的無(wú)套利均衡收益率。,解:根據(jù)多因素套利定價(jià)模型,我們有:,E(r,)=,0,+,I,E(r,I,)-,0,+,R,E(r,R,)-,0,+,G,E(r,G,)-,0,=6%+1(12,-6%)+0.5(8,-6%)+0.75(10,-6%),=16,即該股票的無(wú)套利均衡收益率為,16,。,三、套利定價(jià)模型的應(yīng)用,這里我們以單因素套利定價(jià)理論為例,觀察套,利定價(jià)理論在投資決策中的應(yīng)用。單因素套利定價(jià),模型為:,r,i,=,E(r,i,)+,i,F+,i,假設(shè)投資者持有,A,、,B,、,C,三種股票,,x,A,為第,I,種股票的改變量,則根據(jù)公式(,8.3,)、(,8.4,)和,(,8.5,),構(gòu)建套利組合必須同時(shí)滿的三個(gè)條件可以,表述為:,x,A,+x,B,+x,C,=0,A,x,A,+,B,x,B,+,C,x,C,=0,E(r,A,)x,A,+E(r,B,)x,B,+E(r,C,)x,C,0,即凈投資為,0,、風(fēng)險(xiǎn)為,0,且收益為正。根據(jù)方程,組中的前兩個(gè)公式,可以得出無(wú)窮多組解,因此,可以任取,x,A,m,,則方程組中的前兩個(gè)條件為:,m+xB+xC,=0,Am+BxB+CxC,=0,解方程組可得:,x,B,=(,A,-,C,)m/,C,-,B,x,C,=(,A,-,B,)m/,B,-,C,將,x,A,、,x,B,和,x,C,的值代入方程組中的第三,個(gè)條件,得:,E(r,A,)m+E(r,B,)(,A,-,C,)m/,C,-,B,+,E(r,C,)(,A,-,B,)m/,B,-,C,0 (8.14),只要式(,8.14,)成立,即就意味著存在套利機(jī),會(huì)。投資者只要對(duì)變動(dòng)量為負(fù)的股票做空頭,而對(duì),變動(dòng)量為正的股票做多頭,就可達(dá)到無(wú)需追加資,金,而且又不冒任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲利(若,i,十分,?。?。為了說(shuō)明這一結(jié)果,假設(shè),A,0.8,,,B,1.8,,,C,3,;并假設(shè),E(r,A,),0.16,,,E(r,B,),0.1,,,E(r,C,),0.24,。將這些已知數(shù)代入方程組,得到:,x,A,+x,B,+x,C,=0,0.8x,A,+1.8x,B,+3x,C,=0,0.16x,A,+0.1x,B,+0.24x,C,0,任意設(shè),x,A,=6,萬(wàn)元,代入方程組的前兩個(gè)條,件,得到:,x,B,=-11,萬(wàn)元,,x,C,=5,萬(wàn)元,將,x,A,=6,、,x,B,=-11,、,x,C,=5,代入方程組的第,三個(gè)條件,得:,0.16,6,0.1,110.24,5=1.060,即存在套利機(jī)會(huì)。投資者通過(guò)減持股票,B,而獲取,的,11,萬(wàn)元的資金用于購(gòu)買(mǎi),6,萬(wàn)元的股票,A,和,5,萬(wàn)元的股,票,C,,股票變動(dòng)量的凈額為,0,,而投資者的股票總市,值保持不變。最終的結(jié)果是投資者既不增加投資,,又不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn),只要預(yù)期收益率能夠?qū)崿F(xiàn),就可以,套取,1.06,萬(wàn)元的現(xiàn)金收益。,這一結(jié)果也說(shuō)明,股票,A,與股票,C,的價(jià)值被市場(chǎng),低估,而股票,B,的價(jià)值被高估。隨著套利行為的不斷,繼續(xù),股票,B,因供過(guò)于求而遭到大量的拋售,從而導(dǎo),致股價(jià)下降,預(yù)期收益率逐漸上升;股票,A,和股票,C,因受市場(chǎng)的青睞而有大量資金涌入,致使股價(jià)紛紛,抬升,預(yù)期收益率逐漸下降,直到套利機(jī)會(huì)消失。,應(yīng)用雙因素套利定價(jià)模型的過(guò)程與上述單因素,的情況相同。由于在短期內(nèi)對(duì)股票的影響因素相對(duì),較少,因此在進(jìn)行套利分析時(shí),通常采用單因素模,型或雙因素模型。,