2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 立體幾何教案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 立體幾何教案 一、本章知識結(jié)構(gòu)： 二、重點(diǎn)知識回顧 1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 （1）棱柱、棱錐、棱臺和多面體 棱柱是由滿足下列三個(gè)條件的面圍成的幾何體：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行；棱柱按底面邊數(shù)可分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等； ②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形. ③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形. 棱錐是由一個(gè)底面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形所圍成的幾何體．棱錐具有以下性質(zhì)：①底面是多邊形；②側(cè)面是以棱錐的頂點(diǎn)為公共點(diǎn)的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多邊形，相似比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的比．截面面積和底面面積的比等于上述相似比的平方． 棱臺是棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，截面和底面之間的部分．由棱臺定義可知，所有側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，繼而將棱臺還原成棱錐． 多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體．多面體有幾個(gè)面就稱為幾面體，如三棱錐是四面體． 　（2）圓柱、圓錐、圓臺、球 　 分別以矩形的一邊，直角三角形的一直角邊，直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線，半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺、球 圓柱、圓錐和圓臺的性質(zhì)主要有：①平行于底面的截面都是圓；②過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圓臺的上底變大到與下底相同時(shí)，可以得到圓柱；圓臺的上底變小為一點(diǎn)時(shí)，可以得到圓錐． 2、空間幾何體的側(cè)面積、表面積 ?。?）棱柱側(cè)面展開圖的面積就是棱柱的側(cè)面積，棱柱的表面積就是它的側(cè)面積與兩底面面積的和． 　 因?yàn)橹崩庵母鱾€(gè)側(cè)面都是等高的矩形，所以它的展開圖是以棱柱的底面周長與高分別為長和寬的矩形．如果設(shè)直棱柱底面周長為，高為，則側(cè)面積． 　　若長方體的長、寬、高分別是a、b、c，則其表面積． 　?。?）圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形．矩形的寬是圓柱母線的長，矩形的長為圓柱底面周長．如果設(shè)圓柱母線的長為，底面半徑為r，那么圓柱的側(cè)面積，此時(shí)圓柱底面面積.所以圓柱的表面積． 　?。?）圓錐的側(cè)面展開圖是以其母線為半徑的扇形．如果設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為，則側(cè)面積，那么圓錐的表面積是由其側(cè)面積與底面面積的和構(gòu)成，即為． 　　（4）正棱錐的側(cè)面展開圖是個(gè)全等的等腰三角形．如果正棱錐的周長為，斜高為，則它的側(cè)面積． 　?。?）正棱臺的側(cè)面積就是它各個(gè)側(cè)面積的和．如果設(shè)正棱臺的上、下底面的周長是，斜高是，那么它的側(cè)面積是． 　?。?）圓臺側(cè)面展開圖是以截得該圓臺的圓錐母線為大圓半徑，圓錐與圓臺的母線之差為小圓半徑的一個(gè)扇環(huán)．如果設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，那么它的側(cè)面積是． 圓臺的表面積等于它的側(cè)面積與上、下底面積的和， 即． 　?。?）球的表面積，即球的表面積等于其大圓面積的四倍． 3、空間幾何體的體積 　?。?）柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即．其中底面半徑是，高是的圓柱的體積是． 　　（2）如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是，高是，那么它的體積是．其中底面半徑是，高是的圓錐的體積是，就是說，錐體的體積是與其同底等高柱體體積的． 　?。?）如果臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面積分別是，高是，那么它的體積是．其中上、下底半徑分別是，高是的圓臺的體積是． （4）球的體積公式：. 4、中心投影和平行投影 （1）中心投影：投射線均通過投影中心的投影。 （2）平行投影：投射線相互平行的投影。 （3）三視圖的位置關(guān)系與投影規(guī)律 三視圖的位置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方． 三視圖之間的投影規(guī)律為： 主、俯視圖———長對正；主、左視圖———高平齊；俯、左視圖———寬相等． 5、直觀圖畫法 斜二測畫法的規(guī)則： （1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使90，且90． 　?。?）畫直觀圖時(shí)把它們畫成對應(yīng)的軸、軸和軸，它們相交于，并使45， 90。 　　（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸和軸的線段． 　?。?）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中長度相等；平行于y軸的線段，長度取一半． 　　6．平面 （1）對平面的理解 平面是一個(gè)不加定義、只須理解的最基本的原始概念． 立體幾何中的平面是理想的、絕對平且無限延展的模型，平面是無大小、厚薄之分的．類似于我們以前學(xué)的直線，它可以無限延伸，它是不可度量的． （2）對公理的剖析 1）公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線上所有點(diǎn)都在面內(nèi)”．這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀點(diǎn)：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上所有點(diǎn)在平面內(nèi)． 其作用是：可判定直線是否在平面內(nèi)、點(diǎn)是否在平面內(nèi)． 2）公理2中的“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說圖形存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一，確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩方面．這個(gè)術(shù)語今后也會常常出現(xiàn)，要理解好． 其作用是：一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線共面． 3）公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系,它的條件簡而言之是“兩面共一點(diǎn)”，結(jié)論是“兩面共一線，且過這一點(diǎn)，線唯一”．對于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)對于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線． 其作用是：其一它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過這點(diǎn)的一條直線；其二它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上． 7. 空間直線. （1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線—共面沒有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)。 （2）異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線） （3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. （4）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等. 8. 直線與平面平行、直線與平面垂直. （1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi). （2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”） （3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”） （4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直. 直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。 推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行. 9. 平面平行與平面垂直. （1）空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行. （2）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”） 推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行. （3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”） （4）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”） （5）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面. 10. 空間向量. （1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合. （2）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使. 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1). （3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）. ①令=(a1,a2,a3),，則 ，， ， ∥ 。 。 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化： ) 空間兩個(gè)向量的夾角公式 （a＝，b＝）。 ②空間兩點(diǎn)的距離公式：. b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. c.用向量的常用方法： ①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為. ②.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離). ③.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）. ④直線與平面所成角(為平面的法向量). ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）. 二面角的平面角或（，為平面，的法向量）. 三、考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖 【內(nèi)容解讀】了解柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間幾何體的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會畫某建筑物的視圖與直觀圖。 空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過觀察幾何體的模型和實(shí)物，總結(jié)出柱、錐、臺、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識別三視圖所表示的空間幾何體，會用材料制作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力。 【命題規(guī)律】柱、錐、臺、球體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征在舊教材中出現(xiàn)過，而三視圖為新增內(nèi)容，一般情況下，新增內(nèi)容會重點(diǎn)考查，從xx年、xx年廣東、山東、海南的高考題來看，三視圖是出題的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，也有出現(xiàn)在解答題里，如xx年廣東高考就出現(xiàn)在解答題里，屬中等偏易題。 例１、（xx廣東）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 側(cè)視 圖1 圖2 B E A． B E B． B E C． B E D． 解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A 點(diǎn)評：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。 例2、（xx江蘇模擬）由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 ． 左視圖 主視圖 俯視圖 解：以俯視圖為主，因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)。 點(diǎn)評：從三視圖到確定幾何體，應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體，最后便可得出這個(gè)立體體組合的小正方體個(gè)數(shù)。 考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積和體積 【內(nèi)容解讀】理解柱、錐、臺的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開圖，及其對計(jì)算側(cè)面積的作用，會根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計(jì)算方法。 把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識解決有關(guān)問題。 【命題規(guī)律】柱、錐、臺、球的表面積和體積以公式為主，按照新課標(biāo)的要求，體積公式不要求記憶，只要掌握表面積的計(jì)算方法和體積的計(jì)算方法即可。因此，題目從難度上講屬于中檔偏易題。 例3、（xx廣東）已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主 視圖)是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視 圖)是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S 解: 由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD。 (1) (2) 該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為 , 另兩個(gè)側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形, AB邊上的高為 因此 俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖 2 3 2 2 點(diǎn)評：在課改地區(qū)的高考題中，求幾何體的表面積與體積的問題經(jīng)常與三視圖的知識結(jié)合在一起，綜合考查。 例4、（xx山東）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的簡單幾何體， 其表面及為： ，故選D。 點(diǎn)評：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積。既要能識別簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，又要掌握基本幾何體的表面積的計(jì)算方法。 例5、（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（　?。? A. B. C. D. 解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是， 所以根據(jù)球的體積公式知，故B為正確答案． 點(diǎn)評：本題考查球的一些相關(guān)概念，球的體積公式的運(yùn)用。 考點(diǎn)三：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 【內(nèi)容解讀】理解空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，了解四個(gè)公理及其推論；空間兩直線的三種位置關(guān)系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。 通過大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線、共面的問題。 【命題規(guī)律】主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大。 圖1 例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且＝＝，則（　?。? （A）EF與GH互相平行 （B）EF與GH異面 （C）EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上 （D）EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上 解：依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因?yàn)镋H＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上。 選（D）。 點(diǎn)評：本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問題。利用四個(gè)公理來證明共點(diǎn)、共線的問題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。 例7、（xx全國二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（ 　 ） A． B． C． D． 解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為異面直線SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=， 于是，故選C。 點(diǎn)評：求異面直線所成的角，一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解。 考點(diǎn)四：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問題。 通過線面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。 【命題規(guī)律】主要考查線線、面面平行的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線面平行、面面平行為主，屬中檔題。 例8、（xx安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) （Ⅰ）證明：直線； （Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大?。? （Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。 方法一：（1）證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE 又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角） 作連接 ， 所以 與所成角的大小為 （3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q， 又 ,線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離 ， ，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為 方法二(向量法) 作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系 , (1) 設(shè)平面OCD的法向量為,則 即 取,解得 (2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為 (3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為 點(diǎn)評：線面平行的證明、異面直線所成的角，點(diǎn)到直線的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，后者較簡便，但新課標(biāo)地區(qū)文科沒學(xué)空間向量。 例9、（xx江蘇模擬）一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn). （1）求證： （2）當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP//平面FMC,并給出證明. 證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC (1)連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD， FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC （2）點(diǎn)P在A點(diǎn)處 證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA G是DF的中點(diǎn)，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC 點(diǎn)評：證明線面平行，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關(guān)鍵。 考點(diǎn)五：直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會用性質(zhì)定理解決線面垂直、面面垂直的問題。 通過線面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。 【命題規(guī)律】主要考查線線、面面垂直的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題。 例10、（xx廣東五校聯(lián)考）正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證： （1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O⊥平面MAC. 證明: (1)連結(jié)分別交于 在正方體中,對角面為矩形 分別是的中點(diǎn) 四邊形為平行四邊形 平面,平面平面 （2）連結(jié),設(shè)正方體的棱長為, 在正方體中,對角面為矩形且 分別是的中點(diǎn) 在中， ，即 在正方體中 平面 又， 平面 平面 又 平面 A B C D E P 點(diǎn)評：證明線面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直，由線線垂直推出線面垂直，證明線線垂直有時(shí)要用勾股定理的逆定理． 例11、（xx廣東中山模擬）如圖，四棱錐P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD， CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)． (I) 求證：平面PDC平面PAD； (II) 求證：BE//平面PAD． 證明：（1）由PA平面ABCD A B C D E P F 平面PDC平面PAD； （2）取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、AF，由E為PC中點(diǎn)， 得EF為△PDC的中位線，則EF//CD，CD=2EF． 又CD=2AB，則EF=AB．由AB//CD，則EF∥AB． 所以四邊形ABEF為平行四邊形，則EF//AF． 由AF面PAD，則EF//面PAD． 點(diǎn)評：證明面面垂直，先證明線面垂直，要證線面垂直，先證明線線垂直． 例12、（xx廣東深圳模擬）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn)． （1）求證：平面平面； （2）設(shè)，，求點(diǎn)到平面的距離； (1)證明：底面 且 平面平面 (2)解：因?yàn)?，且? 可求得點(diǎn)到平面的距離為 點(diǎn)評：求點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個(gè)幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 考點(diǎn)六：空間向量 【內(nèi)容解讀】用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” 　?。?）用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）； 　?。?）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進(jìn)行向量運(yùn)算）； 　?。?）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問題）． 【命題規(guī)律】空間向量的問題一般出現(xiàn)在立體幾何的解答題中，難度為中等偏難． 例１３、如圖1，直三棱柱中，， ，棱分別是的中點(diǎn)． 求的長； 求的值． 解：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系． （1）依題意， 得，． （2）依題意，得， ． ． ． 點(diǎn)評：本題主要考查了空間向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算的基本知識，考查了空間兩向量的夾角、長度的計(jì)算公式．解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確地表示點(diǎn)的坐標(biāo) 例１４、如圖2，在四棱錐，底面為矩形，底面，是上一點(diǎn)，．已知． 求：（1）異面直線與的距離； （2）二面角的大?。? 解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 并設(shè)，則． 　?。?），，解得． 　　，即， 　　又，故是異面直線與的公垂線． 　　而，即異面直線與的距離為1． 　?。?）作，并設(shè)， 　　，且， 　　則，可取． 　　再作于，并設(shè)， 　　，且，則， 　　又?。? 　　由，，可知與的夾角就是所求二面角的大小， 　　，即所求二面角為． 點(diǎn)評：向量法求二面角是一種獨(dú)特的方法，因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)方法的有力補(bǔ)充，而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問題．向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：①先作、證二面角的平面角，再求得二面角的大小為；②先求二面角兩個(gè)半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為或其補(bǔ)角；③先分別在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角． 例１５、　如圖，已知正三棱柱，是的中點(diǎn)，求證：平面． 證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，則， ，． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則所以 不妨令，則． 由于，得． 又平面，平面． 點(diǎn)評：平面的法向量是空間向量的一個(gè)重要概念，它在解決立體幾何的許多問題中都有很好的應(yīng)用. 四、方法總結(jié)與xx年高考預(yù)測 （一）方法總結(jié) 1．位置關(guān)系： （1）兩條異面直線相互垂直 證明方法：①證明兩條異面直線所成角為90；②證明線面垂直，得到線線垂直；③證明兩條異面直線的方向量相互垂直。 （2）直線和平面相互平行 證明方法：①證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；②證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；③證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。 （3）直線和平面垂直 證明方法：①證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，②證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；③證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。 （4）平面和平面相互垂直 證明方法：①證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90；②證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；③證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。 2．求距離： 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 （1）兩條異面直線的距離 求法：利用公式法。 （2）點(diǎn)到平面的距離 求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。②等體積法。③向量法。 3．求角 （1）兩條異面直線所成的角 求法：①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；②通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （2）直線和平面所成的角 求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。②向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。 （3）平面與平面所成的角 求法：①“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。②向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π－α。 （二）xx年高考預(yù)測 從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至3個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力.近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題。 高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面： 1．從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。 2．從內(nèi)容上來看，主要是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計(jì)算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法；④簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題；⑤體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。⑥三視圖，辨認(rèn)空間幾何體的三視圖，三視圖與表面積、體積內(nèi)容相結(jié)合。 3．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：①會畫圖——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會識圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會析圖——對圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會用圖——對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。 五、復(fù)習(xí)建議 1、三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，xx、xx年課改區(qū)的高考題都有體現(xiàn)，因此，三視圖的內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練。 2．證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路. 3．空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180。 4．與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問題，根據(jù)基本概念和公式來計(jì)算，要重視方程的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用 5．平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變.