清華大學微積分高等數學課件第8講微分中值定理

單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,,*,2024/11/27,1,,作業(yè),P88,習題,4.1,,5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3).,,P122,綜合題,:,,4. 5.,復習,：,P80——88,,預習,：,P89——95,,2024/11/27,2,應用導數研究函數性態(tài),局部性態(tài),—,未定型極限,,函數的局部近似,整體性態(tài),—,在某個區(qū)間上,,函數的單調性、函數的極值,,函數的凸性、漸近性、圖形,,,2024/11/27,3,微分中值定理，包括：,,羅爾定理、拉格朗中值定理、,,柯西中值定理、泰勒中值定理,,微分中值定理是微分學的理論基礎。是,,利用導數研究函數性質的理論依據。,,微分中值定理的共同特點是：,,在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間,,內至少有一點，使所研究的函數在該點具有,,某種微分性質。,,,2024/11/27,4,第八講 微分中值定理,一、費爾馬,,( Fermat ),定理,二、羅爾,,( Rolle ),定理,三、拉格朗日,(Lagrange ),定理,四、柯西,,(Cauchy ),定理,,,2024/11/27,5,一、費爾馬,,( Fermat ),定理,（一）極值的定義：,,,2024/11/27,6,極值的研究是微積分產生的主要動力之一,,,2024/11/27,7,（二）費爾馬定理,(,極值必要條件,),,,2024/11/27,8,,,2024/11/27,9,[,證,],,,2024/11/27,10,,,2024/11/27,11,微分中值定理的引入,(,(,(,,,2024/11/27,12,,,,2024/11/27,13,,,,2024/11/27,14,,?,,,2024/11/27,15,二、羅爾,,( Rolle ),定理,,,2024/11/27,16,怎樣證明羅爾定理 ？,先利用形象思維,,去找出一個,C,點來！,想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數,,的最大最小值定理！,,,2024/11/27,17,羅爾定理的證明：,,,2024/11/27,18,,,2024/11/27,19,三、拉格朗日,(Lagrange ),定理,,,2024/11/27,20,怎樣證明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加條件,:,則收縮為羅爾定理；,羅爾定理若放棄條件,:,則推廣為拉格朗日定理。,,知識擴張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探,,索的,新問題,轉化為已掌握的,老問題,。,因此想到利用羅爾定理！,,,2024/11/27,21,滿足羅爾定理條件,,,弦線與,f(x),在端點處相等,設,函數,2024/11/27,22,拉格朗日定理的證明：,構造輔助函數,拉格朗日中值公式,,,2024/11/27,23,拉格朗日公式各種形式,,,有限增量公式,2024/11/27,24,,,2024/11/27,25,推論,1,：,[,證,],,,2024/11/27,26,推論,2,：,推論,3,：,推論,4,：,,,2024/11/27,27,四、柯西,,(Cauchy ),定理,,,2024/11/27,28,柯西中值定理的證明：,構造輔助函數,,,2024/11/27,29,,,,,費爾馬定理,羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理,,,2024/11/27,30,零點問題,,,,以下證明恰好有三個根,該方程實根個數,,就是兩條曲線,,,2024/11/27,31,首先證明至少有三個根,計算表明,根據介值定理,因此方程至少有三個根,然后證明方程最多有三個根,用反證法,,,2024/11/27,32,根據洛爾定理,矛盾！,綜上所述，方程恰好有三個實根,,,35,2024/11/27,33,直觀觀察可以啟發(fā)思路,在第一種情形,,,都不是最小值,所以最小值一定在區(qū)間內部達到,,,2024/11/27,34,[,證,],,,2024/11/27,35,證明思路直觀分析,[,例,3],,,2024/11/27,36,[,證,],根據連續(xù)函數的最大最小值定理,,,2024/11/27,37,,,[,證,],2024/11/27,38,,,44,2024/11/27,39,,,[,證,],2024/11/27,40,,,2024/11/27,41,,,[,證,],2024/11/27,42,,,2024/11/27,43,,,2024/11/27,44,[,證,],,,2024/11/27,45,,,2024/11/27,46,,,[,證,],2024/11/27,47,,,2024/11/27,48,,,2024/11/27,49,,,[,證,],2024/11/27,50,,,2024/11/27,51,,,