微積分基本定理及其生活應用

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,微積分基本定理,一、教材分析,地位、作用：,歐洲數(shù)學家們沖出了古希臘人“嚴格證明”,的圣殿，以直觀推斷的思維方式，創(chuàng)立了被恩,格斯譽為,“人類精神的最高勝利”,的微積分學，,微積分基本定理正是它的核心！,2教學重點、難點分析：,重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛形，進而把結論一般化,是這節(jié)課的重點.,難點：進一步引導學生應用定積分的基本思想來探究問題，同時利用導數(shù)的意義作為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點。,教學目標分析：,知識目標：,使學生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，直觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導數(shù)與定積分的互逆關系；通過計算兩個簡單的定積分，使學生體會微積分基本定理的優(yōu)越性，理解微積分在數(shù)學史上舉足輕重的地位。,能力目標：,讓學生能夠體會微積分運動變化地思維方式和初等數(shù)學中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別，并且培養(yǎng)學生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神!,情感目標：,A 揭示尋求計算定積分新方法的必要性,激發(fā)學生的求知欲。,B 體會“以直代曲”臨淵羨魚，不如退而結網(wǎng)的思想。,C 感受用近似無限接近精確的方法。,教學方法和手段：,盡管已是高中學生，但抽象的概念依然令學生望而生畏，因此著眼于個別實例的研究，強調(diào)來龍去脈，淡化證明過程。學生既不用面對極限、無窮項求和、導數(shù)、積分綜合難題的證明，又不失為良好的推導微積分基本定理的過程。,由于學生剛學習了導數(shù)，知道導數(shù)的幾何,意義即為切線的斜率,路程對時間的導數(shù)即為,速度,二、學情分析：,根據(jù)函數(shù)曲線圖學生不難看出位移差,二、學情分析：,上一節(jié)中剛學習了,“汽車行駛的路程”,，學生明白路程的計算實際上是一個求定積分的過程，即對 的定積分。,讓學生再一次感受小區(qū)間不斷細分對近似程度的影響，如何通過逐步逼近而求出定積分。,教學過程：,引題追根溯源：,公元3世紀誕生的劉徽著名的“割圓術”：,割之彌細，所失越少,則與圓周合體而無所失矣,割之又割，以至于不可割，,教學過程：,情景設置：,首先讓學生回顧計算,的過程：,（分割、近似代替、求和、取極限）,=,教學過程：,接著動手利用定義計算,=,重復以上步驟學生遇到了麻煩；引導學生分析原因：,和式難求,當被積函數(shù)是,如何求呢？,=,探究問題模型：,尋求新方法,如圖，一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律,是由導數(shù)的概念可知，它在任意時刻t的速,度是。設這個物體在時間段內(nèi)的位,移為S，你能分別用，表示嗎？,觀察圖象得到物體的位移s,，即,分析:,下面我們討論如何用速度函數(shù)v(t)來表示位,移s，因為在上一節(jié)“汽車行駛的路程”中，學生知道了位移就是對速度函數(shù)v(t)的定積分，在此學生肯定會聯(lián)想到只要知道了v(t),不就解決了嗎？但是題目已知的只是路程函數(shù)s(t),因此接下來的關鍵在于建立v(t)與s(t)的關系。下面分8個步驟來討論：,微積分基本定理,就是勾股定理,）,以研究這小段山高為例：,問題1能否把一小段的山高近似地看作一個直角三角形呢？,問題2假設是直角三角形，那么斜邊如何構造呢？,問題3在這個直角三角形種哪些量是已知或可求的？,通過討論發(fā)現(xiàn)山高,那么把所有累加起來,不正好就是山的高度嗎？,分割：,等分成n個小區(qū)間,=,可用線段,來近似代替曲邊 AB，得到直角三角形ACD，AD正是曲線在左端點,A,處的切線，由導數(shù)的幾何意義可知：AD的斜率就是tanDAC,，,所以,另一方面曲線S在左端點,A,處的切線就是 ，,引進導數(shù),近似代替,：,當很小時，我們可以認為,求和：,取極限：,物體的總位移的近似值,就越接近精確值S 即,=,讓學生觀察，這不正是速度函數(shù),的定積分嗎？,（,引入定積分得到左邊雛形,）,（,建立導數(shù)與積分的關系,）,歸納小結：式表明，速度函數(shù)在區(qū)間,a,，,b,上的定積分等于位移函數(shù),在區(qū)間,a,，,b,的右端,點處的函數(shù)值s(b),與左端點處的函數(shù)值s,(a),之差,式是否具有一般性呢？,水到渠成：給出微積分基本定理的一般形式。,連續(xù)函數(shù),f(x),若，則,即牛頓萊布尼茲公式（NewtonLeibniz Formula）。,（16461716）,人類精神的卓越勝利,（16421727）,巨人的肩膀,活學活用：,利用微積分基本定理解決前面的問題,以學生練習、討論為主，讓學生與上一節(jié)例題比較，得出結論：結果相同，但比用定義計算定積分簡單，教師給出規(guī)范的書寫格式。初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性。,知識的延伸：通過計算下列定積分得到定積分的幾何意義,通過計算結果能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結論,我們發(fā)現(xiàn)：,（）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是0；,（2）當曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值；,（3）當曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值；,（4）當曲邊梯形位于x軸上方的面積等于位于x軸下方的面積時，定積分的值為0,得到定積分的幾何意義：,曲邊梯形面積的代數(shù)和,。,生活鏈接：,假設一物體從飛機上扔下，t秒物體的下落速度近似為：,（，）,（1）寫出t秒后物體下落距離的表達式；,（2）如果是從高出地面5000 m的高空處扔下，那么大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面？,四、教學評價設計：,整個是由特殊到一般，直觀到抽象，這樣一個合,情推理的過程。讓學生感知定積分的基本思想，并不,需要嚴格的證明。正是體現(xiàn)了新課標對學生現(xiàn)有認知,結構的深刻認識，打破了傳統(tǒng)概念上由抽象到具體、,嚴格推理論證的模式。,這不能不說是數(shù)學中一個更人,性化的改革！,回顧歷史,生活事例,探究問題,