同濟大學微積分課件

單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,預備知識,1.,集合的概念,在數(shù)學中，把具有某種特定性質的事物組成的總體稱,,否則，記為,,一、集合,如果元素,,在集合,,中，記為,為一個,集合,.,集合中的事物稱為該集合的,元素,.,只有有限個元素的集合稱為,有限集,，否則稱為,無限集,.,常用數(shù)集,:,自然數(shù)集,:,整數(shù)集,:,有理數(shù)集,:,復數(shù)集,:,,,,2.,集合的運算,集合的,交,:,集合的,并,:,集合的,差,:,,,,,設 是兩個集合，由此定義如下幾個集合：,,集合的運算滿足如下運算率：,交換率,:,結合率,:,分配率,:,,3.,區(qū)間和鄰域,開區(qū)間,:,閉區(qū)間,:,,,,設,,是實數(shù)，且,,,,,半開半閉區(qū)間,:,,,,,,,,無窮區(qū)間,:,注意：無窮端不能寫成閉的記號,,,,,,設,是實數(shù)，且 則定義,點,,的 鄰域,為集合：,鄰域,：,,,,,,,如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為,點,,的空,心鄰域,：,,,,1.,映射的概念,,,二、映射,,設,,是兩個非空集合，如果存在一個,法則,使得,而元素,,稱為,,的象，記作,，,即,,對,,中的每個元素 按此法則在,,中有唯一的元素,與之對應，那么稱,,為,從,,到,,的映射,，記作,,,,,,,,,,,,,例,,設,則,,是,,到 的映射,.,例 設,則,,是,,到 的映射,.,2.,幾類重要映射,一一對應,：既單又滿的映射稱為一一對應,.,例,,在前面的兩例中，例,2,是一一對應，而例,1,則不是,.,,,,,設,,是,,到 的映射,.,滿射,：若 即,使得,單射,：若,則必有,3.,逆映射與復合映射,,則,：,,,,逆映射：設,,是,,到 的一一映射，則對,,中任一元素,例,,設,可以確定,,中的唯一元素 滿足 稱此對應,關系為映射,,的,逆映射,，記為,,復合映射,：設有映射,其中,稱此映射為由 構成的復合映射，記為,,,,,,,由此可以確定一個從,,到,,的映射,,,,例：設,則復合映射 為,1.,概念,,,三、一元函數(shù),,,從數(shù)集 到實數(shù)集,,的任一映射,,稱為定義在,,上的,稱為 的圖象,.,而數(shù)集,,則稱為函數(shù),一元函數(shù),，通常記為 而,中的集合,的,定義域,.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認的,例 則定義域為,,,,例 則定義域為,方式給出，即定義域為使,表達式有效的一切實數(shù),.,以下例中函數(shù)的定義域均為實數(shù)集。,,,,例,3,,符號函數(shù),,,,,,,例,,取整函數(shù),,1 2 3 4 5,,-,2,-,4,-4 -3 -2 -1,,,4,,3 2 1,,-,1,-,3,,,,,,,,,,2.,函數(shù)的幾種特性,,,有界,,,無界,,有界性,設函數(shù) 的定義域為 數(shù)集,如果 都有 就稱,,在 上有界,,,否則稱為無界函數(shù),.,,,,,,,,,,例,,在,上是有界函數(shù)，,在 上無界,.,域內是無界函數(shù),.,例 試說明函數(shù) 在 的任何空心鄰,解 設 ，取 ，,其中,則,所以 無界,.,,,,,,,單調性,設函數(shù),,的定義域為 區(qū)間,如果對任意的 當 時，總有,則稱函數(shù),,為區(qū)間,,上的單調增加函數(shù)；,如果,時，總有,則稱函數(shù),,為區(qū)間,,上的單調減少函數(shù),.,圖形特征：,,,,單調增加函數(shù)圖形,單調減少函數(shù)圖形,,,,奇偶性,設函數(shù),,的定義域為,,關于原點對稱，,如果對任意的,都有,就稱,,,為偶函數(shù)；,如果對任意的,都有,就稱,,,為奇函數(shù),.,圖形特征：,,偶函數(shù),奇函數(shù),,,,,,,,,使得對任意的,當 總有,通常我們說的周期指的是最小正周期,.,周期函數(shù),設函數(shù) 的定義域為 如果存在數(shù),就稱,,,為周期函數(shù)，,,稱為 的周期,.,例如， 的最小正周期是,,,,,,,,,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期,.,,,,3.,反函數(shù)和復合函數(shù),,反函數(shù),設函數(shù),是一一對應， 則其逆映,注：習慣上用,,表示為自變量，所以函數(shù) 的,射 為 的反函數(shù),.,的反函數(shù) 仍表示為,,,,注：函數(shù),,與它的反函數(shù) 的圖形,關于 對稱,.,,,,,復合函數(shù),復合函數(shù)本質上是復合映射在函數(shù)上的推廣,.,,當復合映射定義中的幾個集合均為數(shù)集時，即得到復合,函數(shù)的定義,.,4.,基本初等函數(shù),,⑴,冪函數(shù) （,是常數(shù)）,,,,,,,,,⑵,指數(shù)函數(shù),,,,⑶,對數(shù)函數(shù),,,,⑷,三角函數(shù),①,正弦函數(shù),,,,,,,,,②,余弦函數(shù),,,,,,,,,,③,正切函數(shù),,,,,,,,,,,④,余切函數(shù),,,,,,,,,,,,,,③,正割函數(shù),④,余割函數(shù),,,,,,,,,,,,,⑸,反三角函數(shù),①,反正弦函數(shù),,,②,反余弦函數(shù),,,,③,反正切函數(shù),,,,,③,反余切函數(shù),,5.,初等函數(shù),,由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經有限次的四則運算和,有限次的復合運算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù),.,,6.,雙曲函數(shù),,最后再簡單介紹在工程技術中經常用到的一類函數(shù),⑴,雙曲正弦函數(shù),⑵,雙曲余弦函數(shù),——,雙曲函數(shù),.,,