2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版.doc
2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例教案 新人教A版
自主梳理
1.實(shí)際問(wèn)題中的常用角
(1).仰角和俯角
與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線
和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線
上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方
時(shí)叫俯角.(如圖所示)
(2).方位角
一般指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,
如方位角45,是指北偏東45,即東北方向.
(3).方向角:相對(duì)于某一正方向的水平角.(如圖所示)
①北偏東α即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.
②北偏西α即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.
③南偏西等其他方向角類似.
(4).坡度角
坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).坡面與
水平面的夾角.(如圖所示)
(5).坡比
坡面的鉛直高度與水平寬度之比,即i==tan α(i為坡比,α為坡角).
自我檢測(cè)
1.如圖某河段的兩岸可視為平行,在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A,B,觀察對(duì)岸的點(diǎn)C,測(cè)得∠CAB=75,∠CBA=45,且 AB=200 米.則 A,C 兩點(diǎn)的距離為( )
A.米 B.100 米
C.米 D.200 米
2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東10 B.北偏西10
C.南偏東10 D.南偏西10
燈塔A、B的相對(duì)位置如圖所示,由已知得∠ACB=80,∠CAB=∠CBA=50,
則α=60-50=10,即北偏西10
3.在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60,則塔高為_(kāi)_______m.
4.如圖,某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處,又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0,則山的高度BC為_(kāi)_______ m.
500(+1)
5.△ABC中,D為邊BC上的一點(diǎn),BD=33,
sin B=,cos∠ADC=,求AD.
解 由cos∠ADC=>0知B<,
由已知得cos B=,sin∠ADC=,
從而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B
=-=.
由正弦定理得,=,
所以AD===25.
用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型
題型一 與距離有關(guān)的問(wèn)題
例1 如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?
實(shí)際應(yīng)用題,實(shí)質(zhì)就是解三角形問(wèn)題,一般都離不開(kāi)正弦定理和余弦定理,在解題中,首先要正確地畫出符合題意的示意圖,然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題去求解.注意:①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確;②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng).
解 由題意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90-60=30,∠DAB=90-45=45,
∴∠ADB=180-(45+30)=105.
在△DAB中,由正弦定理,得=,
∴DB==
==10(海里).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30+(90-60)=60,BC=20(海里),
在△DBC中,由余弦定理,得CD2=BD2+BC2-2BDBCcos∠DBC=300+1 200-21020
=900,∴CD=30(海里),
∴需要的時(shí)間t==1(小時(shí)).
故救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).
變式訓(xùn)練1 (1)要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距 km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45,求A、B之間的距離.
解:在△ACD中,∠ACD=120,∠CAD=∠ADC=30,
∴AC=CD= km.
在△BCD中,∠BCD=45,∠BDC=75,∠CBD=60.
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+2-2cos 75
=3+2+-=5,
∴AB= (km), ∴A、B之間的距離為 km.
(2)某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25方向,從A出發(fā)有一條南
偏東35走向的公路,在C處測(cè)得與C相距31千米的公路上B處有
一人正沿此公路向A走去,走20千米到達(dá)D,此時(shí)測(cè)得CD為21
千米,求此人在D處距A還有多少千米?
解 如圖所示,易知∠CAD=25+35=60,在△BCD中,
cos B==,
所以sin B=.
在△ABC中,AC==24,
由BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,
得AB2-24AB-385=0,
解得AB=35,AB=-11(舍),
所以AD=AB-BD=15.
故此人在D處距A還有15千米.
點(diǎn)評(píng): (1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解.有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.
(3)如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,
距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北
偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船
奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走
私船正以10海里/小時(shí)的速度,以B處向北偏東30方向逃竄.問(wèn):緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,則CD=10t海里,BD=10t海里,
在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2ABACcos A
=(-1)2+22-2(-1)2cos 120=6.
∴BC=海里.
又∵=,
∴sin∠ABC===,
∴∠ABC=45,∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,
∴∠CBD=90+30=120,
在△BCD中,由正弦定理,得=,
∴sin∠BCD===.
∴∠BCD=30,∴緝私船沿北偏東60的方向行駛.
又在△BCD中,∠CBD=120,∠BCD=30,
∴∠D=30,∴BD=BC,即10t=.
∴t=小時(shí)≈15分鐘.
∴緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.
題型二 測(cè)量高度問(wèn)題
例2 如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在
同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,
CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.
解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β.
由正弦定理得=,
所以BC==,
在Rt△ABC中, AB=BCtan∠ACB=
變式訓(xùn)練2 (1)某人在塔的正東沿著南偏西60
的方向前進(jìn)40米后,望見(jiàn)塔在東北方向,若沿途
測(cè)得塔的最大仰角為30,求塔高.
解
由題意可知,在△BCD中,CD=40,
∠BCD=30,∠DBC=135,
由正弦定理得,
=,
∴BD==20.
過(guò)B作BE⊥CD于E,顯然當(dāng)人在E處時(shí),
測(cè)得塔的仰角最大,有∠BEA=30.
在Rt△BED中,
又∵∠BDE=180-135-30=15.
∴BE=DBsin 15=20=10(-1).
在Rt△ABE中,
AB=BEtan 30=(3-)(米).
故所求的塔高為(3-)米.
(2) 如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂
直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度
步行了1分鐘以后,在點(diǎn)D處望見(jiàn)塔的底端B在東北方
向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60.
(1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了幾分鐘;
(2)求塔的高AB.
解 (1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30,∠DBC=180-45=135,
CD=6 000=100(米),∠D=180-135-30=15,
由正弦定理得=,
∴BC====
=50(-1)(米).
在Rt△ABE中,tan α=.
∵AB為定長(zhǎng),∴當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí),α取最大值60,這時(shí)BE⊥CD.
當(dāng)BE⊥CD時(shí),在Rt△BEC中,
EC=BCcos∠BCE=50(-1)=25(3-)(米).
設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了t分鐘.
則t=60=60=(分鐘).
(2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60時(shí),BE⊥CD,
在Rt△BEC中,BE=BCsin∠BCD,
∴AB=BEtan 60=BCsin∠BCDtan 60
=50(-1)=25(3-)(米).
即所求塔高AB為25(3-)米.
題型三 幾何中的正、余弦定理應(yīng)用問(wèn)題
例3 如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,
AB=5,AC=9,∠BCA=30,∠ADB=45,
求BD的長(zhǎng).
探究提高 要利用正、余弦定理解決問(wèn)題,需將多邊形分割成若干個(gè)三角形.在分割時(shí),要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理.
解 在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30.
由正弦定理,得=,
sin∠ABC===.
∵AD∥BC,∴∠BAD=180-∠ABC,
于是sin∠BAD=sin∠ABC=.
同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=,
∠ADB=45,由正弦定理:
=,
解得BD=.故BD的長(zhǎng)為.
變式訓(xùn)練3
如圖所示,△ACD是等邊三角形,
△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90,BD交
AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.
解: (1)因?yàn)椤螧CD=90+60=150,CB=AC=CD,
所以∠CBE=15,
所以cos∠CBE=cos(45-30)=.
(2)在△ABE中,AB=2,
由正弦定理=,
故AE===-.
四 三角形中最值問(wèn)題
例4某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m),示意圖如圖所示,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)該小組已測(cè)得一組α、β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值;
(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測(cè)量精度.若電視塔實(shí)際高度為125 m,試問(wèn)d為多少時(shí),α-β最大?
解
(1)由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD,
得+=,
解得H===124(m).
因此,算出的電視塔的高度H是124 m.
(2)由題設(shè)知d=AB,得tan α=. tan β=.
所以tan(α-β)=
=≤,
當(dāng)且僅當(dāng)d=,
即d===55時(shí),
上式取等號(hào),所以當(dāng)d=55時(shí),tan(α-β)最大.
因?yàn)?<β<α<,則0<α-β<,
所以當(dāng)d=55時(shí),α-β最大.
變式訓(xùn)練4?。?)如圖所示,已知半圓的直徑AB=2,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DC為邊作等邊△PCD,且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè),求四邊形OPDC面積的最大值.
解 設(shè)∠POB=θ,四邊形面積為y,
則在△POC中,由余弦定理得
PC2=OP2+OC2-2OPOCcos θ=5-4cos θ.
∴y=S△OPC+S△PCD=12sin θ+(5-4cos θ)
=2sin(θ-)+.
∴當(dāng)θ-=,即θ=時(shí),ymax=2+.
所以四邊形OPDC面積的最大值為2+.
(2).線段AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛,則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始________h后,兩車的距離最?。?
解析 如圖所示:設(shè)t h后,汽車由A行駛到D,摩托車由B行駛到E,則AD=80t,BE=50t.
因?yàn)锳B=200,所以BD=200-80t,
問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值.
由余弦定理得,DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t2-4xxt+40000.
∴當(dāng)t=時(shí),DE最小.
(3).如圖,某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定∠MNP=120.
(1)求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離;
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)?
解
方法一 (1)依題意,有A=2,=3,又T=,∴ω=.∴y=2sinx.
當(dāng)x=4時(shí),y=2sin=3,∴M(4,3).又P(8,0),∴MP==5
(2)如圖,連接MP,在△MNP中,∠MNP=120,MP=5.
設(shè)∠PMN=θ,則0<θ<60.
由正弦定理得==,
∴NP=sin θ,MN=sin(60-θ),
∴NP+MN=sin θ+sin(60-θ)
==sin(θ+60).
∵0<θ<60,∴當(dāng)θ=30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).
即將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).
1.解三角形的一般步驟
(1)分析題意,準(zhǔn)確理解題意.
分清已知與所求,尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ),如坡度、仰角、俯角、方位角等.
(2)根據(jù)題意畫出示意圖.
(3)將需求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解.演算過(guò)程中,要算法簡(jiǎn)練,計(jì)算正確,并作答.
(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義,對(duì)解進(jìn)行取舍.
2.應(yīng)用舉例中常見(jiàn)幾種題型
測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.
練習(xí)一
一、選擇題
1.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍,那么它的頂角的余弦值為 ( )
A. B. C. D.
2.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,
就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為 ( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2,3,其夾角的余弦值為,則其外接圓的半徑為 ( )
A. B. C. D.9
4.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km,那么x的值為 ( )
A. B.2 C.或2 D.3
5.一船向正北航行,看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向,另一燈塔在船的南偏西75方向,則這只船的速度是每小時(shí) ( )
A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里
二、填空題
6.把一根長(zhǎng)為30cm的木條鋸成兩段,分別作鈍角三角形的兩邊和,且,則第三條邊的最小值是____________cm.
7.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東,行駛4h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東,這時(shí)船與燈塔的距離為 km.30 km
8.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30,第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒,升旗手應(yīng)以____0.6____米/秒的速度勻速升旗.
三、解答題
9.如圖,在△ABC中,已知∠B=45,
D是BC邊上的一點(diǎn),AD=10,AC=14,DC=6,
求AB的長(zhǎng).
解 在△ADC中,AD=10, AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos∠ADC===-,
∴∠ADC=120,∴∠ADB=60.
在△ABD中,AD=10,∠B=45,∠ADB=60,
由正弦定理得=,∴AB==
==5.
10.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積
S=S△ABD+S△CDB=ABADsinA+BCCDsinC
∵A+C=180,∴sinA=sinC
故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA
由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=20-16cosA
在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC=52-48cosC
∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA,
∴64cosA=-32,cosA=-,
又0<A<180,∴A=120故S=16sin120=8
11.如圖,A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75、30,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60,AC=0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等,然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km,≈1.414,≈2.449).
解 在△ACD中,∠DAC=30,∠ADC=60-∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1又∠BCD=180-60-60=60,
所以△ABC≌△CBD,所以BA=BD.
在△ABC中,=,即AB==,
所以BD=≈0.33(km).故B、D的距離約為0.33 km.
12.如圖所示,甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處,此時(shí)兩船相距10海里.問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里?
解
如圖,連接A1B2,由題意知, A1B1=20,A2B2=10,
A1A2=30=10(海里).又∵∠B2A2A1=180-120=60,
∴△A1A2B2是等邊三角形,∠B1A1B2=105-60=45.
在△A1B2B1中,由余弦定理得B1B=A1B+A1B-2A1B1A1B2cos 45
=202+(10)2-22010=200, ∴B1B2=10(海里).
因此乙船的速度大小為60=30(海里/小時(shí)).
練習(xí)二
一、選擇題
1.如果在測(cè)量中,某渠道斜坡的坡度為,設(shè)α為坡角,那么cos α等于 ( )
A. B. C. D.
2.有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長(zhǎng)為
( )
A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 20
3.在△ABC中,已知∠A=45,AB=,BC=2,則∠C等于 ( )
A.30 B.60 C.120 D.30或150
4.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東
方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原
地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西
30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北
偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則
cosθ等于 ( )
A. B. C. D.
二、填空題
5.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的
扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)
里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿
OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用
了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為_(kāi).50_______米.
6.如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,
AB=14,∠BDA=60,∠BCD=135,則BC的
長(zhǎng)為_(kāi)_______.8
7.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為_(kāi)_______.15
8.在△ABC中,B=60,AC=,則AB+2BC的最大值為_(kāi)___2____.
9.在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD=DC,∠ADB=120,AD=2.若△ADC的面積為3-,則∠BAC=____.60____.
三、解答題
10.如圖所示,海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁,
船向正南航行,在B處測(cè)得小島A在船的南
偏東30方向,航行30海里后,在C處測(cè)得
小島A在船的南偏東45方向,如果此船不改
變航向,繼續(xù)向南航行,有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?
解 在△ABC中,BC=30,∠B=30,
∠ACB=180-45=135,所以∠A=15.
由正弦定理,得=,即=,
所以AC==15(+).
所以A到BC的距離為ACsin 45=15(+)
=15(+1)≈15(1.732+1)=40.98(海里).
這個(gè)距離大于38海里,所以繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁的危險(xiǎn)
11.在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南θ 方向300千米的海面P處,并以20千米/小時(shí)的速度向西偏北45方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60千米,并以10千米/小時(shí)的速度不斷增大,問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?
解: 如圖,設(shè)在時(shí)刻 t (小時(shí))臺(tái)風(fēng)中心為Q,
此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為 10t+60(千米).
若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,
則OQ≤10t+60.
由余弦定理知
OQ2=PQ2+PO2-2PQPOcos∠OPQ.
∵PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45)=cosθcos45+sinθsin45
=+=,
12.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域,點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45且與點(diǎn)A相距40海里的位置B,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45+θ(其中sinθ=,0<θ<90)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷
它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說(shuō)明理由.
解:(1)如圖,AB=40,AC=10,∠BAC=θ
由于0<θ<90,
所以cosθ= =.
由余弦定理得BC==10.
所以船的行駛速度為 =15(海里/小時(shí)).
(2)方法一如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1,y1),C(x2,y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有, x1=y(tǒng)1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD
=10cos(45-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD
=10sin(45-θ)=20,
又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離d==3<7,
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.
方法二易求點(diǎn)B坐標(biāo)為(40,40)(方法同解法一).
在△ABC中,由正弦定理得sinB=sinθ=,
∴cosB== =.
即tanB==,
∴kBC=tan(45+B)==2.
∴直線BC的方程為y-40=2(x-40),即2x-y-40=0,以下同解法一.