微積分第一章_函數(shù)課件

微積分,,生活中的數(shù)學,,當你呱呱落地降臨人世的第一天，醫(yī)生就要檢測一下你的各項健康指標，為你量量身體的長度，稱稱你的體重，這些都與數(shù)和量有關，這就是數(shù)學，人生到世界上來的第一天就遇到數(shù)學，數(shù)學哺育著你成長。,,,隨著年齡增長，你隨時隨地都在接觸數(shù)學,.,你開始在大人們的指導下，學習數(shù)數(shù)；學習畫三角形、方塊和圓；用剪刀剪出各種美麗的圖案，或者用紙折出小鳥、小船等各種形狀的玩具；到商店去購買你喜歡吃的各種食品；,…….,這一切的一切，你會逐漸意識到都和數(shù)、數(shù)的運算、數(shù)的比較、圖形的大小、圖形的形狀、圖形的位置有關，這又是數(shù)學,.,,你進入學校，正式開始學習數(shù)學這門學科，懂得了初步的數(shù)學語言,.,知道了整數(shù)和分數(shù)；學會了加、減、乘、除；認識了三角形、長方形、正方形、圓，以及長方體、正方體、圓柱體和球等幾何圖形；了解了簡單的統(tǒng)計知識,.,數(shù)學知識開闊了你的視野，改變了你的思維方式，使你變得更聰明了,.,,隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貸款、效益、股份、市場預測、風險評估等一系列經(jīng)濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與債券,……,幾乎每天都會碰到,.,而這些經(jīng)濟活動無一能離開數(shù)學,.,,,人們生活在經(jīng)濟社會中，生活要精打細算，每個同學不管有意無意的都在算著經(jīng)濟賬，比如買名牌衣服要找高折扣的店，用手機需要計算各種套餐哪種最適合自己等等，用有限的錢發(fā)揮最大的用處，你和你的家庭在生活中那些是需要算計這個經(jīng)濟賬的呢？,,,高中生王明春節(jié)期間拿到了壓歲錢，想在春節(jié)商場搞活動時買雙運動鞋和書包，經(jīng)過實地考察，有三家商家在搞活動，其中一家是全場,8,折，另外一家是買滿,100,元返,50,元券， 用券購物不受限制，第三家是累計滿,100,元直降,30,元，他看中的鞋子是,480,元，書包,198,元，王明選擇哪家購物最省錢？,,,一個三口之家，男主人張偉、女主人王芳和女兒張玉，張偉剛跳槽到一家外企，薪金待遇是稅前工資是,10000,元，公司要扣除四險一金共,1400,元，那么稅后張偉能拿到多少工資呢？,,相關知識：應納稅所得額,=,應發(fā)工資,-,四險一金（基本養(yǎng)老保險金、醫(yī)療保險金、失業(yè)保險金、工傷保險金、住房公積金）,-,起征點（,2000,元）,,張偉一家人準備為了,3,年后孩子讀大學準備專項存款，采用零存整取三年期存款的方式，從這個月開始每個月第一天存入銀行,1000,元，銀行以年利率是,1.98%,計息，問張偉在三年存款期滿時可以拿到的本利和是多少？（精確到,0.01,元）,,月利率,=,年利率,/12,,,,張偉一家想改善住房條件，購置了一套,150,萬元的房產(chǎn)，他們現(xiàn)在一家稅后月收入,13000,元，其中首付了,4,成,60,萬，除去生活開銷和教育儲蓄,5000,元，貸款的,90,萬元選擇,20,年的貸款，每月還能結余多少錢？,,,生活中常見的其他一些數(shù)學,,,大小恒常性錯覺,“一筆畫”的規(guī)律,,你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？,,試試看。（不走重復線路）,,圖,1,圖,2,,在這個樓梯中，你能分清哪一個是最高或最低的樓梯嗎？    當你沿順時針走的時候，會發(fā)生什么呢？        如果是逆時針，情況會怎么樣呢？,,,不可能的樓梯,不可能的樓梯,荷蘭美術大師,M. C. Escher,作品,黑夜還是白天,?,圓形的拱頂,瀑布,上升還是下降,?,,烤面包的時間,史密斯家里有一個老式的烤面包器，一次只能放兩片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它們翻個面，然后再放回到烤面包器中去?？久姘鲗Ψ旁谒厦娴拿科姘靡?1,分鐘的時間烤完一面。,,一天早晨，史密斯夫人要烤,3,片面包，兩面都烤。史密斯先生越過報紙的頂端注視著他夫人。當他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了,4,分鐘時間。,,“親愛的，你可以用少一點的時間烤完這,3,片面包，”他說，“這可以使我們電費賬單上的金額減少一些。”,,史密斯先生說得對不對？如果他說得對，那他的夫人該怎樣才能在不到,4,分鐘的時間內(nèi)烤完那,3,片面包呢？,不可能的三角形,,,,悖論（一）,,一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：,村里所有不是自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā),。,,于是有人問他：,“,您的頭發(fā)誰給理呢？”,理發(fā)師頓時啞口無言。,悖論（二）,,有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說,上帝是無所不能的，什么事都做得到,。一位過路人問了一句話：,“,上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎,？”,,教徒啞口無言,１．我說一句話，如果這句話是真的，那么你就給我你的相片，可以嗎？,２．你不會給我你的相片,可以,請問男說了一句什么話使得這個女生只能將玉照送他？,悖論（三）,,,賣馬,,,某人賣馬一匹，得錢,１５６,盧布。但是買主買到馬以后又懊悔了，要把馬退還給賣主，他說這匹馬根本不值這么多錢。于是賣主向買主提出了另一種計算馬價的方案說，如果你嫌馬太貴了，那么就只買馬蹄上的釘子好了，馬就算白送給你,。,每個馬蹄鐵上有６枚釘子，第一枚釘子只賣,1,個戈比（１盧布等于１００戈比），第二枚賣,2,個戈比，第三枚,4,個戈比，后面每個釘子價格依此類椎,。,買主認為釘子的價值總共也花不了１０個盧布，還能白得一匹好馬，于是就欣然同意丁。結果買主算賬后才明白上當。試問買主在這筆交易中要虧損多少？,,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+ …+2,23,=,,分數(shù)的妙用,有一位阿拉伯老人，生前養(yǎng)有,11,匹馬，他去世前立下遺囑：大兒子、二兒子、小兒子、分別繼承遺產(chǎn)的,1/2,，,1/4,，,1/6,。兒子們想來想去沒法分：他們所得到的都不是整數(shù)，即分別為,11/2,，,11/4,，,11/6,?？偛荒馨岩黄ヱR割成幾塊來分吧？,聰明的鄰居牽來了自己的,1,匹馬，對他們說：“你們看，現(xiàn)在有,12,匹馬了，老大得,12,匹的,1/2,，就是,6,匹中，老二得,12,匹的,1/4,就是,3,匹，老三得,12,匹的,1/6,就是,2,匹，還剩下一匹我照樣牽回家去?！?,很多人都認為數(shù)學是一門很枯燥的學科，的確數(shù)學理論性很強需要很多抽象思考， 但是在數(shù)學發(fā)展的中也發(fā)生了很多有意思的事情，它可以讓你充分體會到數(shù)學的樂趣！ 并在其中掌握數(shù)學知識。,,學數(shù)學學什麼？,,數(shù)學的基本特征,抽象性,演繹性,廣泛性,（研究對象）,（論證方法）,（應用）,假設,結論,logic,理性,,思維,這個學期學什麼？,,一元函數(shù)微分,利用極限研究函數(shù)的種種表達及其諸多性質,極限的直觀定義與計算,,導數(shù)與微分的概念與計算,,微分學應用,,一元函數(shù)積分,不定積分,,不,定積分概念與計算,,積分學應用,交作業(yè)時間：,,星期五下午上課,,微 積 分,微 積 分,在中學里接觸到的大多是初等數(shù)學，即只討論,簡單的量的關系,，尤其只討論,常量和固定圖形,，這種數(shù)學思想一直沿襲到十七世紀初，爾后法國數(shù)學家,笛卡爾,(R.Descartes 1596-1650),把變量引進了數(shù)學，并創(chuàng)立了坐標概念，于是在數(shù)學中不再限制于考慮常量和固定圖形，進而開始考慮變的量和圖形。高等數(shù)學就應運而生。這主要歸功于英國數(shù)學家,牛頓,(I.Newton 1643-1727),和法國數(shù)學家,萊布尼茲,(,G.W.Leibniz,1646-1716),。,這就是今后要學習的課程。,鏈接目錄,第一章,函數(shù),第二章,,極限與連續(xù),第三章,導數(shù)與微分,第四章,,中值定理,,,導數(shù)的應用,第五章,,不定積分,第六章,,定積分,第七章,,無窮級數(shù),(,不要求,),第八章,,多元函數(shù),第九章,,微分方程,復習,,,參考書,[1],趙樹嫄,.,微積分,.,中國人民大學出版社,,[2],同濟大學,.,高等數(shù)學,.,高等教育出版社,第一章 函數(shù),集合,,實數(shù)集,,函數(shù)關系,,分段函數(shù),,建立函數(shù)關系的例題,,函數(shù)的簡單性質,,反函數(shù)與復合函數(shù),,初等函數(shù),,函數(shù)圖形的簡單組合與變換,函數(shù),-,集合,集合是指具有特定性質的一些事,物的總體,.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素,.,通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素,.,,,a,是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,屬于,M),；,,a,不是集合,M,的元素,,,記作,a,?,M,(,讀作,a,不屬于,M).,集合,定義,函數(shù),-,集合,例子,1. 1990,年,10,月,1,日在南寧市出生的人。,2.,彩電、電冰箱、,VCD,。,3. x,2,-5x+6=0,的根。,集合具有確定性，即對某一個元素是否屬于某個集合是確定的，是或不是二者必居其一。,由有限個元素構成的集合,，稱為有限集合。,由無限多個元素構成的集合,，稱為無限集合；,4.,全體偶數(shù),。,函數(shù),-,集合,集合的表示法,1.,列舉法,：,按任意順序列出集合的所有元素,,,并用,{},括起來。,例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構成的集合,A,，,可表示為：,A={2,3},注,：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復。,函數(shù),-,集合,2.,描述法,：,設,P(a),為某個與,a,有關的條件或法則，,A,為,滿足,P(a),的,一切,a,構成的集合,，記為：,A={a|P(a)},例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所構成的集合,A,，,表示為：,A={x|x,2,-5x+6=0},例,：全體實數(shù)組成的集合通常記作,R,，,即：,R={x|x,為實數(shù),},,2.,文氏圖,,(Venn diagrams),：,用于描述集合間的關系及其運算，其特點是直觀、形象、信息量大且富有啟發(fā)性。一般用矩形表示全集,U,，用圓表示,U,的,子集,A,，,B,，,C,等等。,,,,函數(shù),-,集合,全集與空集,所研究的所有事物構成的集合稱為全集,,,記為,:,U,。,不含任何元素的集合稱為空集，記為：,?,,。,例,1,：,x,2,+1=0,實數(shù)根集合為空集。,例,2,：平面上兩條平行線的交點集合為空集。,注：,{,0,},及,{,?,},都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,?,。,函數(shù),-,集合,子集,如果集合,A,的元素都是集合,B,的元素，即若,x,?,A,則必,x,?B,，,就說,A,是,B,的子集，記作,A,?,B(,讀作,A,包含于,B),或,B,?,A(,讀作,B,包含,A),如果,A,?,B,且或,A,?,B,，則稱,A,與,B,相等。,A,?,A,即集合,A,是其自己的子集。,,傳遞性,A,?,B,、,B,?,C,則,A,?,C,。,,?,?,A,，,即空集是任何集合,A,的子集。,函數(shù),-,集合,集合的運算,集合的并：,A,?,B={x|x,?,A,或,x,?,B},,集合的交：,A,?,B={x|x,?,A,且,x,?,B},,集合的差：,A,-,B={x|x,?,A,且,x,?,B},,,,集合的補：,A ',,={,x|x,,?,U,且,x,?,A},,,,(1),集合的并：集合,A,和集合,B,中所有的元素組成的集合，稱為集合,A,和集合,B,的,并集,，記作,A∪B,。例,A={1,3,5},B={2,4,6},,則,A∪B={1,2,3,4,5,6},。,(2),集合的交：集合,A,和集合,B,中公共的元素所組成的集合，稱為集合,A,與集合,B,的,交集,，記作,A∩B,。,,（,3,）集合的差集：屬于,A,但不屬于,B,的元素組成的集合,,,稱為,A,與,B,的,差集,，記作,A-B,。,例,A={1,2,3},B={2,4,6},。則,A-B={1,3},,,B-A={4,6},。例,A={0,1,2},B={1,2},。則,A-B={0}≠Φ,。,,例,已知,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l,lxl,<6,｝。,1,）求,A-,（,A-B,）和,B-,（,B-A,）,2,）由此得到什么結論？,,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l-6< x<6,｝。,1.A-B={,x|x,>=6,或,-6<x<=4},A-(A-B)={x|4<x<6,或,-6<x<=4}=B=,｛,x l-6< x<6,｝。,B-A={x|-6<x<=4,或,x>=6},B-(B-A)=A=,｛,x l x>4,｝,,A-,（,A-B,）,=B,和,B-,（,B-A,）,=A,,（,4,）集合的補集：全集,U,中不屬于集合,A,的元素組成的集合，稱為,A,的,補集,，記作,A',。例,R─,實數(shù)全體，,P─,有理數(shù)全體,, Q─,無理數(shù)全體,.,則,P'=Q, Q'=P, P∪Q=R,。例,U={1,2,3,4,…,10}, A={2,5},,則,A'={1,3,4,6,7,8,9,10},。,5,、集合的運算性質,,(1),補的性質,A∪A'=U, A∩A'=Φ,,,(A',）,'=A .,,(2),交換律,A∪B=B∪A, A∩B=B∩A .,,(3),結合律　（,A∪B,）∪,C=A∪(B∪C),,,(A∩B)∩C=A∩(B∩C) .,,(4),分配律?。?A∪B,）∩,C=(A∩C)U(B∩C),,,(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) .,,(5),摩根律,(A∪B) '=A'∩B',,,(A∩B)'=A'∪B'.,,集合的笛卡爾乘積,,有序元素組,(,x,y,),,集合,A,與集合,B,，笛卡爾積,A×B,＝,{(,x,y,),〡,x∈A,，,y∈B,},，即兩個集合中各取一個數(shù)組成一個數(shù)組,,集合,A{a1,a2,a3},,集合,B{b1,b2},,他們的 笛卡爾積 是,,A,×,B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},。,函數(shù),-,集合,實數(shù)與數(shù)軸,在一條直線上指定了一點作為,原點,O,，,再指定了,正向,，此外又規(guī)定了,單位長度,，這條直線就稱為數(shù)軸。,,,數(shù)軸上的點與實數(shù)之間可以建立一一對應的關系,。,有時為了形象化起見，把,數(shù),x,稱為點,x,，,就是指數(shù)軸上與數(shù),x,對應的那個點。,1,-1,0,O,x,絕對值,:,運算性質,:,絕對值不等式,:,6,、區(qū)間、鄰域,,區(qū)間,：設,a,b,是實數(shù)，且,a<b,，則集合,{,x|a≤x≤b,},稱為閉區(qū)間，記作,[,a,b,],；,{,x|a,<,x≤b,},稱為左開右閉區(qū)間，記作,(,a,b,];{,x|a≤x,<b},稱為左閉右開區(qū)間,,,記作,[,a,b,);{,x|a,<x<+∞},稱為右無窮區(qū)間,,,記作,(a,+∞);{x|-∞<x<a},稱為左無窮區(qū)間,,,記作?。ǎ?,a,）,;R={x|-∞<x<+∞},稱為無窮區(qū)間,,,記作,(-∞,+∞),。,其中，,a,稱之為左端點，,b,稱之為右端點。,函數(shù),-,集合,閉區(qū)間：,[a,b]={x|a≤x≤b},開區(qū)間：,(a,b)={x|a<x<b},左閉右開區(qū)間：,[a,b)={x|a≤x<b},左,開右閉區(qū)間：,(a,b]={x|a<x≤b},有限區(qū)間,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,,有限,區(qū)間長度的定義,:,有限區(qū)間兩端點間的距離,(,線段的長度,),,即有限區(qū)間右端點,b,與左端點,a,的差,b-a,稱為區(qū)間的長度,.,函數(shù),-,集合,[a, +,∞,)={x|a≤x},(-,∞,,b]={x|x≤b},(-,∞,,b)={x|x<b},無限區(qū)間,實數(shù)集?。遥?(-,∞,,+,∞,)={x | -,∞,<x<+,∞,},O,x,a,O,x,b,(a, +,∞,)={x|a<x},O,x,b,O,x,a,函數(shù),-,集合,鄰域,U(,a,,δ,),=,{,x||x,-a|<,δ,}={,x|a-,δ,<x<,a+δ,},,=(,a-,δ,,a+,δ,),,稱為點,a,的,δ,鄰域,。,a,稱為鄰域的中心，,δ,稱為鄰域的半徑。,x,a,a-,δ,a+,δ,例,：,Ｕ,(,2 ,1,)={,x | |x-2|<1,}={,x | 1<x<3,}=(,1, 3,),x,2,1,3,δ=1,δ=1,函數(shù),-,集合,空心鄰域,U,0,( a ,,δ,)=,{,x | 0<|x-a|<,δ},,=,{,x | a-,δ,<x<a,或,,a<x<a+,δ},,=,(,a-,δ,,,a,)U(,a ,,a+,δ,),,稱為點,a,的,δ,空心鄰域,。,x,a,a-,δ,a+,δ,例,：,,U,0,(,2,1,)={,x|0<|x-2|<1,}={,x|1<x<2,或,2<x<3,},,=(,1,2,)U(,2,3,),x,2,1,3,δ=1,δ=1,,,,,案例,1,體現(xiàn)了變量取值的對應關系,,去銀行存錢,,,假設一年定期整存整取的年利率為,4.14% ,,則存款金額 與一年到期時的利息 之間的對應關系如下表,:,,一,.,函數(shù)關系,函數(shù),-,函數(shù)關系,,,,案例,2,氣溫自動記錄儀把某一天的氣溫變化描繪在記錄紙上,,,如下圖所示的曲線,.,曲線上某一,,點 表示時刻 的氣溫是,.,,時間和氣溫都是變量，這兩個變量之間的對應關系是由一條曲線確定的．,觀察這條曲線，可以知道在這一天內(nèi)，時間從,0,點到,24,點氣溫的變化情形,．,,,,案例,3,圓的面積 由圓的半徑 決定,.,只要 取定一個數(shù)值,,,面積 就有一個確定的值與之對應,,,且 與 之間有如下關系式,:,o,半徑為,.,,,案例,4,,北京市現(xiàn)行出租車收費標準為,:,乘車不超過,3km,,收費,10,元,;,超過,3 km,而不超過,15km,,超過的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,計,),加收,2,元,;,超過,15km,,超過的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,計,),加收,3,元,.,,分段函數(shù),由于乘車里程不超過,3 km,、超過,3 km,而不超過,15km,及超過,15 km,的收費標準不同,,,乘客乘車的費用 與乘車的里程 之間的數(shù)量關系應用三個數(shù)學式來表示,,,即,分析,,,,以上列舉的案例,,,雖是來自不同的領域,,,而且具有不同的表示形式,,,有表格、圖形、公式，但它們的,共性,是,:,都反映了在同一過程中有著兩個相互依賴的變量,,,當其中一個量在某數(shù)集內(nèi)取值時,,,按一定的規(guī)則,,,另一個量有唯一確定的值與之對應,.,變量之間的這種數(shù)量關系就是函數(shù)關系,.,,,,定義域 是自變量 的取值范圍，也就是使函數(shù) 有意義的數(shù)集．由此，若取數(shù)值 時，則稱該函數(shù)在 有定義，與 對應的 的數(shù)值稱為函數(shù)在點 的函數(shù)值，記作,或,,定義,1,.,1,,設　和　是兩個變量,,,是一個給定的非空數(shù)集,.,若對于每一個數(shù),,,按照某一確定的對應法則,,,變量 總有唯一確定的數(shù)值與之對應,,,則稱 是 的函數(shù),.,因變量,自變量,定義域,,一,.,函數(shù)關系,,,,決定一個函數(shù)有三個因素：,,對應法則,值域,定義域,當 遍取數(shù)集 中的所有數(shù)值時,,,對應的函數(shù)值全體,決定一個,,函數(shù)的兩,,個要素,,1.,要會求函數(shù)的定義域；,,,2.,要會使用對應法則,.,,值域,,函數(shù)的兩要素,:,定義域,與,對應法則,.,自變量,對應法則,f,因變量,約定,:,如果不考慮函數(shù)的實際意義，函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值，稱為函數(shù)的自然定義域,。,,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．,定義,:,,,,要使該項有意義，對,,數(shù)的真數(shù)必須大于,0.,的定義域,.,,求函數(shù),,要使該項有意義，分母,,的被開方式必須大于,0,；,練習,1,,解 要使該函數(shù)有意義，必須,,,公共部分,所以，該函數(shù)的定義域為,,分析,,例,3,：,確定函數(shù),y=,的定義域。,√,ln,tgx,1,ln,tgx,,>0,tgx,>,0,tg,x,>,1,x,?,,(,,k,π,, k,π,+ ),{,},解：,x,≠k,π,+,π,2,π,,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ),π,4,π,2,x,?,(,k,π,+ , k,π,+ ), k=0,,±,1,,±,2,,±,3,……,為所求的定義域,π,4,π,,2,,例子,例,1,：,確定函數(shù),y=,的定義域。,lg(3,x,-2),1,lg(3,x,-2) ≠0,3,x,-2>0,3,x,-2 ≠ 1,x>,2/3,x,≠ 1,{,},D=(2/3,1),?,(1,,+∞,),例,2,：,確定函數(shù),y=,arcsin,,的定義域。,√25-,x,2,1,x-,1,5,+,解：,解：,{,x-,1,5,,≤,1,√25-,x,2,≠0,25-,x,2,≧,0,-,4,≤,x,,≤6,,},|x-,1|,≤,5,25-,x,2,>0,-,5<,x<,5,,},D=[-4, 5),,,,這是已知函數(shù)的,,表達式,,,求函數(shù)在,,指定點的函數(shù)值．,設,,練習,2,求,解 是當自變量 取,1,時函數(shù)的函數(shù)值．,將 表示式中的 換為,,為數(shù)值,1,.,類似地,.,或記作,,,,設,,練習,2,,求,續(xù)解,將 表示式中的 換為,將 表示式中的 換為,,,,對案例,,4, ,求：,(1),函數(shù) 的定義域；,,(2),乘客乘車,km,、,km,、,km,和,km,所付的費用．,解,(1),該函數(shù)的定義域是,(2),因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,分段點,分段點,(,元,).,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,因,故當乘客乘車,km,時,,,所付的費用,(,元,).,,分段函數(shù),——,幾個特殊的函數(shù)舉例,,(1),符號函數(shù),1,-1,x,y,o,(2),取整函數(shù),y=,[,x,],,[,x,],表示不超過,,x,的最大整數(shù),,1 2 3 4 5,-2,-4,-4 -3 -2 -1,,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,階梯曲線,,非,負小數(shù)部分函數(shù),,取整函數(shù),y=,(,x,)=x-[x],,,x=7/3,時,,[x]=2,，,(x)=0.5,,x=1/3,時,,[x]=0,，,(x)=1/3,,x=-8/5,時,,[x]=-2,，,(x)=0.4,O,-2 -1 1 2,1,y=,(,x,),x,y,,(3),狄利克雷函數(shù),有理數(shù)點,無理數(shù)點,?,1,x,y,o,(4),取最值函數(shù),y,x,o,y,x,o,,在自變量的不同變化范圍中,,,對應法則用不同的,式子來表示的函數(shù),,,稱為,分段函數(shù),.,(5),絕對值函數(shù),o,x,y,定義域,R,值域,建立函數(shù)問題的例題,,,給問題建立數(shù)學模型，即建立函數(shù)關系。,,先明確問題中的自變量、因變量，再根據(jù)題意建立等式，得出函數(shù)關系，確定函數(shù)定義域。,,P,24,頁例,1,、例,2,、例,3,、例,4,,,,函數(shù)的,,幾何特性,,奇偶性,單調(diào)性,周期性,有界性,函數(shù)的簡單性質,,1,．函數(shù)的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,無界,函數(shù),-,函數(shù)的性質,例,1:f(,x,)=,sin,x,在,(,-,∞,,+,∞,),內(nèi)是有界的。,,因為,|,sin,x,|,≦,1,。,例,2:f(,x,)=1/,x,在,(,0 ,1,),內(nèi)是無界的。在,[1,,+,∞,),內(nèi)有界,。,例,3:,函數(shù),-,函數(shù)的性質,2,．函數(shù)的單調(diào)性,:,x,y,o,函數(shù),-,函數(shù)的性質,x,y,o,函數(shù),-,函數(shù)的性質,例,1:,判斷函數(shù),y=,x,3,的,單調(diào)性。,解：,對于任意的,x,l,、,x,2,,，設,x,l,＜,x,2,x,2,3,-x,1,3,>0,,所以,x,2,3,>,,x,1,3,,，,故,y=,x,3,在,(,-,∞,,+,∞,),是單調(diào)增加的。,當,,x,1,,x,2,≥0,時,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,>0,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,,x,1,3,,=,(,x,2,,-,,x,1,)(,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,),當,,x,1,,x,2,<0,時,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,=(,x,1,+x,2,),2,-,x,1,,x,2,>0,,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,函數(shù),-,函數(shù)的性質,例,2:,判斷函數(shù),y=2,x,2,+1,的單調(diào)性。,解：,?,x,l,、,x,2,?R,,，設,x,l,＜,x,2,(,x,1,+x,2,)<0,當,x,l,、,x,2,?,,(,-,∞,,0],f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(2,x,1,2,+,1),-,(2,x,2,2,+,1),,= 2(,x,1,2,-x,2,2,) = 2(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)>0,f,(,x,1,)>,f,(,x,2,),f,(,x,),單調(diào)減少,(,x,1,+x,2,)>0,當,x,l,、,x,2,?,,[0,+,∞,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)<0,f,(,x,1,)<,f,(,x,2,),f,(,x,),單調(diào)增加,所以在,(-,∞,,+,∞,),內(nèi)，不是單調(diào)函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質,3,．函數(shù)的奇偶性,:,y,x,o,x,-,x,偶函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質,y,x,o,x,-,x,奇函數(shù),函數(shù),-,函數(shù)的性質,例,1:,判斷函數(shù),y=,x,4,-,2,x,2,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),4,–,2(-,x,),2,=,x,4,-,2,x,2,,=f(,x,),∴,y=,x,4,-,2,x,2,,是偶函數(shù)。,例,2:,判斷函數(shù),y=1/,x,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=1/,(-,x,),,= - (1/,x,),,= - f(,x,),∴,y=1/,x,,是,奇函數(shù)。,例,3:,判斷函數(shù),y=,x,3,+1,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),3,+1,,= -,x,3,+1,∴,y=,x,3,+1,,既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。,≠,f(,x,),≠-,f(,x,),{,函數(shù),-,函數(shù)的性質,,D,為函數(shù),f(,x,),的定義域,，,如果存在一個不為零的數(shù),l,，,?,x,?,D,值，,x,±,l,?,D,，且,f(,x,+,l,)=f(,x,),,恒成立，則,f(,x,),叫做,周期函數(shù),，,l,叫做,f(,x,),的,周期,。,,通常，我們說周期函數(shù)的周期是指,最小正周期,。,例,1:,函數(shù),y=,sin,x,,,y=,cos,x,,,,是周期函數(shù)，周期為,2,π,,。,4,．函數(shù)的周期性,:,函數(shù),-,反函數(shù),設函數(shù),y=,f,(,x,),的定義域為,D,，,值域為,W,。,如果,?,y,?,W,都有一個確定且滿足,y=,f,(,x,),的,x,?,,D,與之對應，其對應規(guī)則為,f,-1,,,定義在,W,上的函數(shù),x,=,f,-1,(,y,),稱為,y=f(,x,),的,反,函數(shù),。,函數(shù),y=,f,(,x,),的定義域為,D,，,值域為,W,，,x,為,自變量，,y,為因變量,。,函數(shù),x,=,f,-1,(,y,),的定義域為,W,，,值域為,D,，,y,為自變量，,x,為因變量,。 若改,x,為自變量，,y,為因變量，,x,=,f,-1,(,y,),,寫成,y,=,f,-1,(,x,),,。,函數(shù),-,反函數(shù),D,W,D,W,函數(shù),-,反函數(shù),y,=,f,(,x,),,與,y,=,f,-1,(,x,),的,關系是,x,、,y,互換，它們的圖形關于,y=x,對稱。,y,=,f,-1,(,x,),。,不一定是單值函數(shù)。,y,=,f,(,x,),單調(diào)單值，則,y,=,f,-1,(,x,),單調(diào)單值。,,函數(shù),-,反函數(shù),例,1:,求,y,=3,x-,1,的反函數(shù)。,解：,∵,y,=3,x-,1,∴,x,、,y,互換得,y,=,f,-1,(,x,),=,(,x+,1)/3,為,反函數(shù)。,,x,=(,y+,1)/3=,f,-1,(,y,),y,=(,x+,1)/3,y,=3,x-,1,函數(shù),-,復合函數(shù),設,y,=,f,(,u,),的定義域、值域分別是,D,f,,、,W,f,,u,=,φ,(,x,),的定義域、值域分別是,D,φ,,、,W,φ,,若,,D,f,,?,W,φ,,≠,?,,則稱,y,=,f,[(,φ,(,x,)],為,復合函數(shù),,其中,:,x,為自變量，,y,為因變量，,u,為中間變量,。,復合函數(shù)的定義域,,,D=,{,x,|,x,?,D,φ,,,,,φ,,(,x,),?,,D,f,,?,W,φ,,},復合函數(shù)的值域,,,W={,y,|,y,?,W,f,,,,且存在,u,?,D,f,,?,W,φ,,使,f,(,u,)=,y,},或,W={,y,|,y= f,[(,φ,(,x,)],,x,?,,D},函數(shù),-,復合函數(shù),符合條件：,D,f,,?,W,φ,,≠,?,D,φ,D,W,f,W,W,φ,D,f,D,f,,?,W,φ,y,=,f,(,u,),u,=,φ,(,x,),y,=,f,[(,φ,(,x,)],x,u,y,函數(shù),-,復合函數(shù),,∴,-,1≤,x,≤,,2,即,[-1,2],為,所求的,定義域,函數(shù),-,復合函數(shù),函數(shù),-,復合函數(shù),2,函數(shù),-,復合函數(shù),,例,5:,函數(shù),-,復合函數(shù),,函數(shù),-,復合函數(shù),,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),冪函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復合所構成并可以用一個式子表示的函數(shù)，叫,初等函數(shù),。,,下面六類函數(shù),基本初等函數(shù),：,,冪函數(shù),,y=x,α,,,（,,α,是常數(shù),,,α,≠0,,）,,指數(shù)函數(shù),,y=,a,x,(,a,是常數(shù),,,a,>0,,a,≠,1),對數(shù)函數(shù),,y=,log,a,x,(,a,是常數(shù),,,a,>0,,a,≠,1),三角函數(shù),,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,反三角函數(shù),y=,arcsin,x,, y=,arccos,x,, y=,arctg,x,, y=,arcctg,x,.,α,>,0,,過,(0,0),(1,1),,在,(0, +∞),遞增,α,<,0,,過,(1,1),,在,(0, +∞),遞減,{,D=(-∞,+∞)，W=(0, +∞),過,(0,1),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,D=(0,+∞)，W=(-∞, +∞),過,(1,0),a,>1,遞增,,0<,a,<1,遞減,{,,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),指數(shù)函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),對數(shù)函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),函數(shù),-,初等函數(shù),y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=,tgx,y=,cosx,y=,sin,x,函數(shù),-,初等函數(shù),三角函數(shù),,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶,單調(diào),y=,sinx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,,π,/2+2k,π,),遞增,,(,π,/2+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cosx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,偶,(,π,+2k,π,, 2,π,+2k,π,),遞增,,(2k,π,,,π,+2k,π,),遞減,y=,tgx,x≠,π,/2+k,π,(-∞, +∞),π,奇,(-,π,/2+k,π,,,π,/2+k,π,),遞增,y=,ctgx,x≠,k,π,(-∞, +∞),π,奇,(k,π,,,π,+k,π,),遞減,y=,secx,x≠,π,,/2+k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,偶,(2k,π,,,π,/2+2k,π,),(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),遞增,,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(,π,+2k,π,,3,π,/2+2k,π,),遞減,y=,cscx,x≠,k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(2k,π,,,π,/2+2k,π,),遞增,,(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),(,π,+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),遞減,函數(shù),-,初等函數(shù),y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,函數(shù),-,基本,初等函數(shù),反三角函數(shù),函數(shù),-,基本,初等函數(shù),習題選講,例,設,f,(,x,)=,1 |,x,|<1,0 |,x,|=1,-1 |,x,|>1,{,,,g,(,x,)=e,x,,,求,f[g(,x,)],和,g[f(,x,)],,并畫圖。,D,f,=(-∞,+∞),W,f,,={-1,0,1},D,g,=(-∞,+∞),W,g,,=(0, +∞),D,f,?,W,g,=,W,g,,=(0, +∞),所以定義域為：,D=D,g,=(-∞, +∞),,1 |g(,x,)|<1 i.e,x,<0,0 |g(,x,)|=1 i.e,x,=0,-1 |g(,x,)|>1 i.e,x,>0,{,f[g(,x,)]=,D,g,?,W,f,=,W,f,,={-1,0,1},所以定義域為：,D=,D,f,=(-∞, +∞),,e,1,|,x,|<1,e,0,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,,e,|,x,|<1,1,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,函數(shù)圖像的簡單組合與變換,迭加,,翻轉,,放縮,,,平移,