2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版 知識梳理: 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(αβ)＝ . cos(αβ)＝ . tan(αβ)＝ . (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 其變形為： tan α＋tan β＝ ,tan α－tan β＝ ． (1)　 sin αcos β＋cos αsin β　 sin αcos β－cos αsin β (2) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β (3)　　　 tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan(α－β)(1＋tan αtan β) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝ . cos 2α＝ ＝ ＝ . tan 2α＝ . .2sin αcos α　 cos2α－sin2α 　2cos2α－1 1－2sin2α 　 倍角公式變形：降冪公式cos2α＝ ， sin2α＝ ； 配方變形：1sin α＝ , 1＋cos α＝ ， 1－cos α＝ 2 2cos2 2sin2. 3．輔助角公式(利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期.) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中角φ稱為輔助角． 熱身練習: 1．計算sin119 sin181 －sin 91sin29的結(jié)果等于 (　　) A. －　　　　　　B. C. D. 解：sin119 sin181 －sin 91sin29=cos29(－sin 1) －cos 1sin29 =－(sin 1cos29+cos 1sin29) －cos 1sin29=－sin 30=－ 2．已知，那么的值為　?。ā　。? 　A、　　　　B、　　　　C、　　　　　D、 3．已知sin θ＝，sin θcos θ<0，則sin 2θ的值為 (　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析：∵sin θcos θ<0，sin θ＝，∴cos θ＝－. ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2(－)＝－. 4．已知α∈(0，)，sin α＝，則＋tan 2α的值為____． 解析：∵ α∈(0，)，sin α＝，∴cos αcos α＝，tan α＝. ＋tan 2α＝＝＝ ＝＝7. 5．已知cos α＝－，且α∈(，π)，則tan (－α)等于________． 解析：∵cos α＝－，且α∈(，π)，∴sin α＝. tanα＝－，tan(－α)＝＝7. 6．已知α∈(，π)，sin α＝，則tan 2α＝____. 解析：依題意得cos α＝－＝－，tan α＝＝－， tan 2α＝＝＝－. 7.已知，則的值是（ ） A B C D 2 典例探究 [例1]　化簡下列各式： (1) (0<θ<π)； 解　(1)原式＝ ＝ ＝. 因為0<θ<π，所以0<<，所以cos >0，所以原式＝－cos θ. (2)＋2. (2)原式＝＋2＝2|cos4|＋2 ＝2|cos4|＋2|sin 4－cos4| ∵<4<.∴cos4<0，sin 4<cos4<0. ∴sin 4－cos4<0. 從而原式＝－2cos4－2sin 4＋2cos4＝－2sin 4. （3）.sin(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． 解:原式＝sin[(θ＋45)＋30]＋cos(θ＋45)－cos[(θ＋45)－30] ＝sin(θ＋45)＋cos(θ＋45)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋45)－sin(θ＋45)＝0 (4)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)． 原式＝tan[(－θ)＋(＋θ)][1－tan(－θ)tan(＋θ)]＋tan(－θ)tan(＋θ)＝. 變式訓練一： （1）若270＜α＜360，則等于 ( ) Asin Bcos C－sin D－cos 解：∵cos2α＝2cos2α－1 ∴cosα＝2cos2－1 ∴ 又∵270＜α＜360 135＜＜180 ∴原式＝ （2）tan2Atan（30－A）＋tan2Atan（60－A）＋tan（30－A）tan（60－A）＝  （3）(1＋tan1)(1＋tan2)(1＋tan3)……(1＋tan44)(1＋tan45)＝ （4）化簡： 解： 1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子的結(jié)構(gòu)與特征． 2.對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有： ①化為特殊角的三角函數(shù)值； ②化為正、負相消的項，消去求值； ③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值． [例2] (1)．的值是 (　　) A.　　　　　　　B. 　　 　 C. D. 　解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2). 化簡： 解：∵sin 50(1＋tan 10)＝sin 50 ＝sin 50＝1， cos 80＝sin 10＝sin210. ∴＝＝. 考點二 三角函數(shù)的給值求值問題 [例3]若0<α<，－<β<0， cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝ (　　) A.　　　　　　B．－ 　　　 C. D．－ 解:　∵0<α<，∴<＋α<. 又cos(＋α)＝，∴sin(＋α)＝＝. 同理可求得sin(－)＝＝， ∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)＝＋＝. 本例條件不變，求cos α的值． 解：cos α＝cos[(＋α)－]＝cos(＋α)cos＋sin (＋α) sin ＝＋＝. 1．解決三角函數(shù)的給值求值問題的關(guān)鍵是尋求“已知角”與“所求角”之間的關(guān)系，用“已知角”表示“所求角”． (1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和與差． (2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍”的關(guān)系或“互余,互補”關(guān)系． (3)對于角還可以進行配湊，常見的配湊技巧有： α＝2＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]， ＋α＝－(－α)． 2．對于給值求角，關(guān)鍵是求該角的某一個三角函數(shù)值，再根據(jù)范圍確定角． 變式訓練二： 1．若sin(＋α)＝，則cos(－2α)＝ (　　) A. B．－ C．－ D. 解析：∵cos(－2α)＝－cos[π－(－2α)]＝－cos(π＋2α)＝－cos2(＋α) ＝－[1－2sin2(＋α)]＝2sin2(＋α)－1＝2()2－1＝－. 2．已知cos2α－cos2β＝a，則sin(α＋β)sin(α－β)的值為(　　) A．－a B．a(chǎn) C．－ D. 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β)2－(cos αsin β)2 ＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a 3．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m，且sin ＋cos >0，則cos等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由題意知，cos θ＝－m，在第二象限． 所以cos＝－＝－ 4．已知sin(A＋)＝，A∈(，)．求cos A的值； 解：因為<A<，且sin(A＋)＝， 所以<A＋<，cos(A＋)＝－. 因為cos A＝cos[(A＋)－]＝cos(A＋)cos＋sin(A＋)sin ＝－＋＝， 所以cos A＝. 5.已知tan＝2，則的值為_____________. 【解析】　由tan(x＋)＝＝2得tan x＝， ＝＝(1－tan2x)＝. 6.已知f(x)＝sin2x－2sinsin. (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范圍. 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sincos ＝＋sin 2x＋sin＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 由tan α＝2， 得sin 2α＝＝＝.cos 2α＝＝＝－. 所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋. 由x∈，得≤2x＋≤π. ∴－≤sin≤1,0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值范圍是. 考點三 三角函數(shù)的給值求角問題 [例4]　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan 2α的值； (2)求β. 解　(1)由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝4. 于是tan 2α＝＝＝－. (2)由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝. ∴β＝. 1.解決給值求角問題的一般步驟是： (1)求角的某一個三角函數(shù)值； (2)確定角的范圍； (3)根據(jù)角的范圍寫出要求的角． 2.在求角的某個三角函數(shù)值時，應注意根據(jù)條件選擇恰當?shù)暮瘮?shù)： (1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； (2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(－，)，選正弦較好． 變式訓練三： 1．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝， tan β＝－，求2α－β的值． 解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝， ∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0， ∴0<α<，<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－. 2.已知函數(shù)f(x)＝tan(2x＋)．設(shè)α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大?。? 解：由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因為α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0. ∴1＝2(cos α－sin α) 2． ∴1=2(cos2α-2sin αcos α+ sin 2α) ,1=2(1-sin2 α) ∵α∈(0，)，∴sin2 α= ∴2α＝. 即α＝. 3．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，且α、β∈，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________．?。? 考點四 構(gòu)造輔助角逆用和角公式解題 例五：已知函數(shù)f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)當α∈[0，π]時，若f(α)＝1，求α的值. 解　(1)因為f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x ＝cos2x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， 所以最小正周期T＝π. (2)由f(α)＝1，得2sin＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋∈， 所以2α＋＝或2α＋＝，故α＝或α＝. 例六　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 解　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2ab＋b2＝. 又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝b2＝1， ab＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， 故cos(α－β)＝＝＝. (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. 又∵sin β＝－，－<β<0，∴cos β＝. 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝＋＝. 變式訓練四： 1.已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sinsin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值. 解　由題意，得f(x)＝cos＋2sinsin ＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) ＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x ＝sin，又x∈，所以2x－∈. 又f(x)＝sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以當x＝時，f(x)取得最大值1. 又f＝－<f＝， 所以當x＝－時，f(x)取得最小值－. 故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為1與－. 2.已知函數(shù)f(x)＝2sin，x∈R. (1)求f的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值. (1)　(2) 3.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值； (2)設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若cos B＝，f ＝－，且C為銳角，求sin A. 解　(1)f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋ ＝cos 2x－sin 2x＋－cos 2x＝－sin 2x. 所以，當2x＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ (k∈Z)時， f(x)取得最大值，f(x)max＝. (2)由 f ＝－，即－sin C＝－， 解得sin C＝，又C為銳角，所以C＝. 由cos B＝求得sin B＝.因此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝＋＝. 4.已知0<β<<α<，cos＝， sin＝，求sin(α＋β)的值． 解　cos＝sin＝， ∵0<β<<α<，∴<＋α<π，<＋β<π. ∴cos＝－＝－， cos＝－＝－. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ＝sincos＋cossin ＝－＝－. ∴sin(α＋β)＝. 5.已知△ABC的面積S=，＝3，且cos B＝，求cos C. 解　由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c. 則S＝bcsin A＝， ＝bccos A＝3>0， ∴A∈，cos A＝3sin A，又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝，由cos B＝，得sin B＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝. 故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－. 練習一 一、選擇題 1．計算sin 43cos 13－cos 43sin 13的結(jié)果等于 (　　) A. B. C. D. 2.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　) A. B. C. D. 3.已知銳角α滿足cos 2α＝cos，則sin 2α等于 (　　) A. B.－ C. D.－ 4．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，則tan α的值等于 (　　) A. B. C. D. 5．已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，則|a＋b|的最大值為(　　) A．1 B. C．3 D．9 6．已知cos－sin α＝，則sin的值是 (　　) A．－ B. C．－ D. 二、填空題 7.化簡：sin 200cos 140－cos 160sin 40＝________________________________. 8.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，則的值為________. 9.化簡：sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＝____________. 10.函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是____________. 11sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，則α＋β＝____________. 三、解答題 12. [2sin 50＋sin 10(1＋tan 10)]； 解　原式＝sin 80 ＝ sin 80 ＝cos 10 ＝cos 10＝cos 10＝2sin 60 ＝2＝. 13已知A、B均為鈍角且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值. 　解　∵A、B均為鈍角且sin A＝，sin B＝， ∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－－＝.① 又∵<A<π，<B<π， ∴π<A＋B<2π.② 由①②，知A＋B＝. 14　已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解　(1)由tan＝2，得＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝. (2)＝ ＝＝＝－tan(α－β)＝－ ＝－＝. 15.求值：－sin 10. 原式＝－sin 10 ＝－sin 10＝－sin 10. ＝－2cos 10＝ ＝＝＝＝. 練 習 二 一、選擇題 1．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 2．若sin＝，則cos的值為 (　　) A. B.－ C. D.－ 3. 設(shè)sin(＋θ)＝，則sin 2θ等于 (　　) 　A.－ B.－ C. D. 4.若將函數(shù)y＝Acossin (A>0，ω>0)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則ω的值可能為 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5. 設(shè)0≤α<2π，若sin α>cos α，則α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 6. 在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，則C的大小為 (　　) A. B.π C.或π D.或π 二、填空題 7.＝___－4_________. 8.已知cos＝，α∈，則＝___._________. 9．設(shè)sin α＝ ，tan(π－β)＝，則tan(α－β)＝________. 10．如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C， 各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P(點P不在C上)且半徑相等．設(shè)第i 段弧所對的圓心角為αi (i＝1,2,3)， 則cos cos －sin sin ＝________. 11.化簡: ； 12.　已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值；　(2)求β的值． 解　(1)∵tan ＝，∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝. 又0<α<<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝＋＝＝. 由<β<π得β＝π. (或求cos β＝－，得β＝π 13.如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為 （1）求的值； （2） 求的值。 解 由條件得cos=,cos=. ∵,為銳角,∴sin==, sin==. 因此tan==7,tan==. (1)tan(+)===-3. (2)∵tan2===,∴tan(+2)===-1. ∵,為銳角,∴0＜+2＜,∴+2=. 14.已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； 解　(1)∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π， ∴cos＝＝， sin＝＝， ∴cos ＝cos＝coscos＋sinsin ＝＋＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2－1＝－.