2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計 5 用樣本估計總體教學(xué)案 北師大版必修3.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計 5 用樣本估計總體教學(xué)案 北師大版必修3
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
(1)眾數(shù)的定義:
一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)的眾數(shù),一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個,也可以是多個.
(2)中位數(shù)的定義及求法:
把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,把處于最中間位置的那個數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù):
①平均數(shù)的定義:
如果有n個數(shù)x1、x2、…、xn,那么=,叫作這n個數(shù)的平均數(shù).
②平均數(shù)的分類:
總體平均數(shù):總體中所有個體的平均數(shù)叫總體平均數(shù).
樣本平均數(shù):樣本中所有個體的平均數(shù)叫樣本平均數(shù).
2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差
(1)標(biāo)準(zhǔn)差的求法:
標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.
s=.
(2)方差的求法:
標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差.
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
其中,xn是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量,是樣本均值.
(3)方差的簡化計算公式:
s2=[(x+x+…+x)-n2]
=(x+x+…+x)-2.
3.極差
一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差.
4.?dāng)?shù)字特征的意義
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢,極差、方差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度.
[問題思考]
1.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定存在嗎?若存在,眾數(shù)是唯一的嗎?
提示:不一定.若一組數(shù)據(jù)中,每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù);不是,可以是一個,也可以是多個.
2.如何確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)?
提示:(1)當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時,中位數(shù)是按從小到大順序排列的中間位置的那個數(shù).
(2)當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時,中位數(shù)為排列在最中間的兩個數(shù)的平均值.
講一講
1.據(jù)報道,某公司的33名職工的月工資(單位:元)如下:
職務(wù)
董事長
副董事長
董事
總經(jīng)理
經(jīng)理
管理員
職員
人數(shù)
1
1
2
1
5
3
20
工資
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).
(2)假設(shè)副董事長的工資從5 000元提升到20 000元,董事長的工資從5 500元提升到30 000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么?(精確到元)
(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平,結(jié)合此問題談一談你的看法.
[嘗試解答] (1)平均數(shù)是=1 500+
≈1 500+591=2 091(元).
中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元.
(2)新的平均數(shù)是′=1500+
≈1 500+1 788=3 288(元).
中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元.
(3)在這個問題中,中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平.
1.眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,平均數(shù)是最重要的量.
2.眾數(shù)考查各個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān),當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時,其眾數(shù)往往更能反映問題.
3.中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響,中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中,也可能不在所給的數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用中位數(shù)描述它的某種集中趨勢.
練一練
1.某公司銷售部有銷售人員15人,銷售部為了制定某種商品的月銷售定額,統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下:
銷售量(件)
1 800
510
250
210
150
120
人數(shù)
1
1
3
5
3
2
(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù);
(2)假設(shè)銷售部負責(zé)人把月銷售額定為320件,你認為是否合理,為什么?如不合理,請你制定一個較為合理的銷售定額.
解:(1)平均數(shù)為(1 8001+5101+2503+2105+1503+1202)=320(件),中位數(shù)為210件,眾數(shù)為210件.
(2) 不合理,因為15人中有13人的銷售量未達到320件,也就是說,雖然320是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),但它卻不能反映全體銷售人員的銷售水平.銷售額定為210件更合理些,這是由于210既是中位數(shù),又是眾數(shù),是大部分人都能達到的定額.
講一講
2.甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件,為了檢驗質(zhì)量,各從中抽取6件進行測量,分別記錄數(shù)據(jù)為:
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;
(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
[嘗試解答] (1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同,又s>s,所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
在實際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度,在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動性越大,穩(wěn)定性就越差;方差越小,數(shù)據(jù)越集中,質(zhì)量越穩(wěn)定.
練一練
2.對劃艇運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:
甲:27 38 30 37 35 31
乙:33 29 38 34 28 36
根據(jù)以上數(shù)據(jù),試估計兩人最大速度的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,并判斷他們誰更優(yōu)秀.
解:甲=(27+38+30+37+35+31)==33,
s=[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=,
s甲=≈3.96,
乙=(33+29+38+34+28+36)==33,
s=[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=,
s乙=≈3.56.
由上知,甲、乙兩人最大速度的平均數(shù)均為33 m/s,甲的標(biāo)準(zhǔn)差為3.96 m/s,乙的標(biāo)準(zhǔn)差為3.56 m/s,說明甲、乙兩人的最大速度的平均值相同,但乙的成績比甲的成績更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.
講一講
3.在一次科技知識競賽中,兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚?
分?jǐn)?shù)
50
60
70
80
90
100
人數(shù)
甲組
2
5
10
13
14
6
乙組
4
4
16
2
12
12
已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分.請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識,進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣,并說明理由.
[嘗試解答] (1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)比較看,甲組成績好些.
(2)甲=(502+605+7010+8013+9014+1006)
=4 000=80(分),
乙=(504+604+7016+802+9012+10012)=4 000=80(分).
s=[2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-80)2+6(100-80)2]=172,
s=[4(50-80)2+4(60-80)2+16(70-80)2+2(80-80)2+12(90-80)2+12(100-80)2]=256.
∵s<s,∴甲組成績較乙組成績穩(wěn)定,故甲組好些.
(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分.其中,甲組成績在80分以上(包括80分)的有33人,乙組成績在80分以上(包括80分)的有26人.從這一角度看,甲組的成績較好.
(4)從成績統(tǒng)計表看,甲組成績大于等于90分的有20人,乙組成績大于等于90分的有24人,∴乙組成績集中在高分段的人數(shù)多.同時,乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人.從這一角度看,乙組的成績較好.
要正確處理此類問題,首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語,全方位地進行必要的計算、分析,而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好,像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析,如本講的“滿分人數(shù)”;其次要在恰當(dāng)?shù)卦u估后,組織好正確的語言作出結(jié)論.
練一練
3.甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次,每次打靶的成績情況如圖所示:
(1)請?zhí)顚懴卤恚?
平均數(shù)
中位數(shù)
命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán))
甲
7
乙
(2)從下列三個不同角度對這次測試結(jié)果進行分析:
①從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?
②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?
③從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看,誰更有潛力?
解:(1)由圖可知,甲打靶的成績?yōu)椋?,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成績?yōu)椋?,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
甲的平均數(shù)是7,中位數(shù)是7.5,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是3;
乙的平均數(shù)是7,中位數(shù)是7,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是1.
(2)由(1)知,甲、乙的平均數(shù)相同.
①甲、乙的平均數(shù)相同,甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大,所以甲成績較好.
②甲、乙的平均數(shù)相同,甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比乙多,所以甲成績較好.
③從折線圖中看,在后半部分,甲呈上升趨勢,而乙呈下降趨勢,故甲更有潛力.
【解題高手】【多解題】
一個球隊所有隊員的身高如下(單位:cm):178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184,問這個球隊的隊員平均身高是多少?(精確到1 cm)
[解] 法一:利用平均數(shù)的公式計算.
=(178+179+181+…+180+184)=2 523≈180.
法二:建立新數(shù)據(jù),再利用平均數(shù)簡化公式計算.
取a=180,將上面各數(shù)據(jù)同時減去180,得到一組數(shù)據(jù):
-2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4.
′=(-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)=3=≈0.2,
∴=′+a=0.2+180≈180.
法三:利用加權(quán)平均數(shù)公式計算.
=(1851+1841+1832+1821+1812+1802+1791+1781+1762+1751)=2 523≈180.
法四:建立新數(shù)據(jù)(方法同法二),再利用加權(quán)平均數(shù)公式計算.
′=[51+41+32+21+12+02+(-1)1+(-2)1+(-4)2+(-5)1]
=3≈0.2.
∴=′+a=0.2+180≈180.
1.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均數(shù),中位數(shù)和眾數(shù)大小關(guān)系是( )
A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)
B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)
C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)
D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)
解析:選D 可得出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均為50.
2.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為( )
A. B. C. D.2
解析:選D ∵樣本的平均數(shù)為1,即(a+0+1+2+3)=1,∴a=-1,∴樣本方差s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
3. 若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是( )
8
9 7
9
3 1 6 4 0 2
A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92
解析:選A 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96.
故平均數(shù)==91.5,中位數(shù)為=91.5.
4.(湖南高考)如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,則該運動員在這五場比賽中得分的方差為________.
(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
解析:該運動員五場比賽中的得分為8,9,10,13,15,平均得分==11,
方差s2=[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=6.8.
答案:6.8
5.甲、乙兩人在相同條件下練習(xí)射擊,每人打5發(fā)子彈,命中環(huán)數(shù)如下:
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7
7
7
9
則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是________.
解析:∵甲=8,乙=8,
s=1.2,s=1.6,
∴s<s.
∴甲穩(wěn)定性強.
答案:甲比乙穩(wěn)定
6.某農(nóng)科所為尋找高產(chǎn)穩(wěn)定的油菜品種,選了三個不同的油菜品種進行試驗,每一品種在五塊試驗田試種.每塊試驗田的面積為0.7公頃,產(chǎn)量情況如下表:
品種
各試驗田產(chǎn)量(kg)
1
2
3
4
5
1
21.5
20.4
22.0
21.2
19.9
2
21.3
23.6
18.9
21.4
19.8
3
17.8
23.3
21.4
19.1
20.8
試評定哪一品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定.
解:1=21.0 kg,2=21.0 kg,3=20.48 kg;
s=0.572,s=2.572,s=3.5976,
∴1=2>3,s<s<s.
∴第一個品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定.
一、選擇題
1.在某項體育比賽中,七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)為:90 89 90 95 93 94 93去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為( )
A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8
解析:選B 去掉最高分95和最低分89后,剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)為==92,
方差為s2=[(92-90)2+(92-90)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=(4+4+1+4+1)=2.8.
2.已知一組數(shù)據(jù)為-3,5,7,x,11,且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5,那么數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( )
A.7 B.5 C.6 D.11
解析:選B 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5,則5出現(xiàn)的次數(shù)最多,
∴x=5,那么這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-3,5,5,7,11,則中位數(shù)為5.
3.如圖所示,樣本A和B分別取自兩個不同的總體,它們的樣本平均數(shù)分別為A和B,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB,則( )
A.A>B,sA>sB B.A<B,sA>sB C.A>B,sA<sB D.A<B,sA<sB
解析:選B A中的數(shù)據(jù)都不大于B中的數(shù)據(jù),所以A<B,但A中的數(shù)據(jù)比B中的數(shù)據(jù)波動幅度大,所以sA>sB.
4.為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試,得分(十分制)如圖所示,假設(shè)得分值的中位數(shù)為me,眾數(shù)為m0,平均數(shù)為,則( )
A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me<
解析:選D 易知中位數(shù)的值me==5.5,眾數(shù)m0=5,平均數(shù)=(32+43+510+66+73+82+92+102)≈6,所以m0<me<.
5.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.57.2 3.6 B.57.2 56.4 C.62.8 63.6 D.62.8 3.6
解析:選D 設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,則(x1+x2+…+xn)=2.8,
[(x1-2.8)2+(x2-2.8)2+…+(xn-2.8)2]=3.6,
所以,所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=(x1+x2+…+xn)+60=2.8+60=62.8.
所得新數(shù)據(jù)的方差為[(x1+60-62.8)2+(x2+60-62.8)2+…+(xn+60-62.8)2]
=[(x1-2.8)2+(x2-2.8)2+…+(xn-2.8)2]
=3.6.
二、填空題
6.一個樣本按從小到大的順序排列為10,12,13,x,17,19,21,24,其中位數(shù)為16,則x=________.
解析:由中位數(shù)的定義知=16,∴x=15.
答案:15
7.某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學(xué)生進行投籃練習(xí),每人投10次,投中的次數(shù)如表所示:
學(xué)生
1號
2號
3號
4號
5號
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2=________.
解析:計算可得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為7,
甲班的方差s==;
乙班的方差
s==.
則兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s=.
答案:
8.(湖北高考)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4
則(1)平均命中環(huán)數(shù)為________;(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________.
解析:(1)由公式知,平均數(shù)為(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7;(2)由公式知,s2=(0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4?s=2.
答案:(1)7?。?)2
三、解答題
9.為了了解市民的環(huán)保意識,某校高一(1)班50名學(xué)生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調(diào)查了各自家庭丟棄舊塑料袋的情況,有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
每戶丟棄舊塑料袋個數(shù)
2
3
4
5
戶數(shù)
6
16
15
13
(1)求這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(2)求這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的標(biāo)準(zhǔn)差.
解:(1)平均數(shù)=(26+316+415+513)==3.7.
眾數(shù)是3,中位數(shù)是4.
(2)這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的方差為
s2=[6(2-3.7)2+16(3-3.7)2+15(4-3.7)2+13(5-3.7)2]=48.5=0.97,
所以標(biāo)準(zhǔn)差s≈0.985.
10.某校甲班、乙班各有49名學(xué)生,兩班在一次數(shù)學(xué)測驗中的成績(滿分100分)統(tǒng)計如下表:
班級
平均分
眾數(shù)
中位數(shù)
標(biāo)準(zhǔn)差
甲班
79
70
87
19.8
乙班
79
70
79
5.2
(1)請你對下面的一段話給予簡要分析:
甲了85分,在班里算是上游了!”
(2)請你根據(jù)表中數(shù)據(jù),對這兩個班的測驗情況進行簡要分析,并提出教學(xué)建議.
解:(1)由中位數(shù)可知,85分排在第25名之后,從名次上講,85分不算是上游.但也不能單以班的小剛回家對媽媽說:“昨天的數(shù)學(xué)測驗,全班平均79分,得70分的人最多,我得名次來判斷學(xué)習(xí)成績的好壞,小剛得了85分,說明他對這階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握較好.
(2)甲班學(xué)生成績的中位數(shù)為87分,說明高于或等于87分的學(xué)生占一半以上,而平均分為79分,標(biāo)準(zhǔn)差很大,說明低分也多,兩極分化嚴(yán)重,建議對學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)多給一些幫助;
乙班學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分均為79分,標(biāo)準(zhǔn)差小,說明學(xué)生成績之間差別較小,成績很差的學(xué)生少,但成績優(yōu)異的學(xué)生也很少,建議采取措施提高優(yōu)秀率.