2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第27講 正、余弦定理及應用教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第27講 正、余弦定理及應用教案 新人教版 一．課標要求： （1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題； （2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。 二．命題走向 對本講內容的考察主要涉及三角形的邊角轉化、三角形形狀的判斷、三角形內三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結合實際應用問題考察正弦定理、余弦定理及應用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。 三．要點精講 1．直角三角形中各元素間的關系： 如圖，在△ABC中，C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）銳角之間的關系：A＋B＝90； （3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關系： 如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。 （1）三角形內角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 。 （R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面積公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝rs。 4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。 解斜三角形的主要依據是： 設△ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。 （1）角與角關系：A+B+C = π； （2）邊與邊關系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）邊與角關系： 正弦定理 （R為外接圓半徑）； 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA； 它們的變形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。 （1）角的變換 因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。 （3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。 四．典例解析 題型1：正、余弦定理 例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形； （2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。 解析：（1）根據三角形內角和定理， ； 根據正弦定理， ； 根據正弦定理， （2）根據正弦定理， 因為＜＜，所以，或 ①當時， ， ②當時， ， 點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。 例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A； （2）在ABC中，已知，，，解三角形 解析：（1）∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜ ∴ （2）由余弦定理的推論得： cos ； cos ； 點評：應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍。 題型2：三角形面積 例3．在中，，，，求的值和的面積。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計算它的對偶關系式的值。 ① , ② ① +?、凇〉谩 ?。 ① －?、凇〉谩 ?。 從而 。 以下解法略去。 點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 例4．（06年湖南）已知ΔABC的三個內角A、B．C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為1，且有。（1）求A、B．C的大??；（2）求ΔABC的的面積。 解析：∵A+B+C=180且2B=A+C，∴B=60，A+C=120，C=120－A。 ∵， ∴=， 又∵0
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