2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)案新人教B版選修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)案新人教B版選修1 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 知識點(diǎn)一　和、差的導(dǎo)數(shù) 已知f(x)＝x，g(x)＝. 思考1　f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么？ 　 　 思考2　試求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的導(dǎo)數(shù)． 　 　 思考3　Q(x)，H(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？ 　 　 梳理　和、差的導(dǎo)數(shù) (f(x)g(x))′＝f′(x)g′(x)． 知識點(diǎn)二　積、商的導(dǎo)數(shù) 已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3. 思考1　試求f′(x)，g′(x)，φ′(x)． 　 　 思考2　求H(x)＝x2sin x，M(x)＝，Q(x)＝3sin x的導(dǎo)數(shù)． 　 　 　 梳理　(1)積的導(dǎo)數(shù) ①[f(x)g(x)]′＝________________________. ②[Cf(x)]′＝________. (2)商的導(dǎo)數(shù) []′＝________________(g(x)≠0)． (3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[]′≠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類型一　導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2ex. 　 　 反思與感悟　(1)解答此類問題時(shí)常因?qū)?shù)的四則運(yùn)算法則不熟而失分． (2)對一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，應(yīng)先對函數(shù)進(jìn)行化簡(恒等變換)，然后求導(dǎo)．這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程． (3)利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝xtan x； (2)f(x)＝2－2sin2； (3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； (4)f(x)＝. 　 類型二　導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用 命題角度1　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝＋2xf′(1)，求f(x)； (2)設(shè)f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 　 反思與感悟　(1)中確定函數(shù)f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常數(shù)．(2)中利用待定系數(shù)法可確定a，b，c，d的值．完成(1)(2)問的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則． 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，則f′(1)等于(　　) A．－3 B．2e C. D. 命題角度2　與切線有關(guān)的問題 例3　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程． 　 反思與感悟　(1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素．其他的條件可以進(jìn)行恒等變換，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系． (2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確． (3)分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)曲線y＝在點(diǎn)(，2)處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝________. (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列結(jié)論不正確的是(　　) A．若y＝3，則y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，則y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，則y′＝cos x＋sin x 2．設(shè)y＝－2exsin x，則y′等于(　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 3．對于函數(shù)f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，則k等于(　　) A. B. C．－ D．－ 4．曲線y＝－在點(diǎn)M處的切線的斜率為(　　) A．－ B. C．－ D. 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程為y＝1，確定b、c的值． 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些與切線斜率、瞬時(shí)速度等有關(guān)的問題． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一 思考1　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 思考2　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋) ＝Δx＋， ∴＝1－. ∴Q′(x)＝ ＝[1－]＝1－. 同理，H′(x)＝1＋. 思考3　Q(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)的和．H(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)的差． 知識點(diǎn)二 思考1　f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x， φ′(x)＝0. 思考2　H′(x)＝2xsin x＋x2cos x. M′(x)＝ ＝＝. Q′(x)＝3cos x. 梳理　(1)①f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　②Cf′(x)　(2) 題型探究 例1　解　(1)f′(x)＝(ax3＋bx2＋c)′ ＝(ax3)′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx. (2)f′(x)＝(xln x＋2x)′ ＝(xln x)′＋(2x)′ ＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2 ＝ln x＋1＋2xln 2. (3)方法一　f′(x)＝()′ ＝ ＝＝. 方法二　∵f(x)＝＝ ＝1－， ∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′ ＝－＝. (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′ ＝2xex＋x2ex＝ex(2x＋x2)． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)f′(x)＝(xtan x)′ ＝′ ＝ ＝ ＝. (2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos x， ∴f′(x)＝－sin x. (3)方法一　f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′ ＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝3x2＋18x＋23. 方法二　∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5) ＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′ ＝3x2＋18x＋23. (4)∵f(x)＝， ∴f′(x)＝ ＝. 例2　解　(1)由題意得f′(x)＝＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)， 即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝－2x. (2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′ ＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′ ＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又因?yàn)閒′(x)＝xcos x， ∴即 解得a＝d＝1，b＝c＝0. 跟蹤訓(xùn)練2　D　[∵f′(x)＝2exf′(1)＋， 令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3， ∴f′(1)＝.] 例3　解　(1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋20－8＝－7. 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0處的切線方程為 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)1　(2)4 解析　(1)因?yàn)閥′＝＝， 所以當(dāng)x＝時(shí)，y′＝＝1. 又直線x＋ay＋1＝0的斜率是－， 所以由題意得－＝－1，解得a＝1. (2)因?yàn)榍€y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，g′(1)＝2.又因?yàn)閒(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為4. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　[D項(xiàng)，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′ ＝cos x－sin x．] 2．D　[y′＝－2(exsin x＋excos x) ＝－2ex(sin x＋cos x)．] 3．A　[∵f′(x)＝＋＋， ∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝， 故選A.] 4．B　[∵y′＝ ＝， ∴y′|x＝＝， ∴曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率為.] 5．解　由題意，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b， 由切點(diǎn)P(0，f(0))既在曲線f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切線y＝1上，得 即 解得b＝0，c＝1.