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2019-2020年高中數(shù)學第三單元導數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導數(shù)的四則運算法則教學案新人教B版選修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學第三單元導數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導數(shù)的四則運算法則教學案新人教B版選修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學第三單元導數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導數(shù)的四則運算法則教學案新人教B版選修1 學習目標 1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.2.理解求導法則的證明過程,能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù). 知識點一 和、差的導數(shù) 已知f(x)=x,g(x)=. 思考1 f(x),g(x)的導數(shù)分別是什么?     思考2 試求Q(x)=x+,H(x)=x-的導數(shù).     思考3 Q(x),H(x)的導數(shù)與f(x),g(x)的導數(shù)有何關(guān)系?     梳理 和、差的導數(shù) (f(x)g(x))′=f′(x)g′(x). 知識點二 積、商的導數(shù) 已知f(x)=x2,g(x)=sin x,φ(x)=3. 思考1 試求f′(x),g′(x),φ′(x).     思考2 求H(x)=x2sin x,M(x)=,Q(x)=3sin x的導數(shù).       梳理 (1)積的導數(shù) ①[f(x)g(x)]′=________________________. ②[Cf(x)]′=________. (2)商的導數(shù) []′=________________(g(x)≠0). (3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x),[]′≠.                     類型一 導數(shù)運算法則的應(yīng)用 例1 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)f(x)=ax3+bx2+c;(2)f(x)=xln x+2x; (3)f(x)=;(4)f(x)=x2ex.     反思與感悟 (1)解答此類問題時常因?qū)?shù)的四則運算法則不熟而失分. (2)對一個函數(shù)求導時,要緊扣導數(shù)運算法則,聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,當不易直接應(yīng)用導數(shù)公式時,應(yīng)先對函數(shù)進行化簡(恒等變換),然后求導.這樣可以減少運算量,優(yōu)化解題過程. (3)利用導數(shù)法則求導的原則是盡可能化為和、差,利用和、差的求導法則求導,盡量少用積、商的求導法則求導. 跟蹤訓練1 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)f(x)=xtan x; (2)f(x)=2-2sin2; (3)f(x)=(x+1)(x+3)(x+5); (4)f(x)=.   類型二 導數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 命題角度1 利用導數(shù)求函數(shù)解析式 例2 (1)已知函數(shù)f(x)=+2xf′(1),求f(x); (2)設(shè)f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.   反思與感悟 (1)中確定函數(shù)f(x)的解析式,需要求出f′(1),注意f′(1)是常數(shù).(2)中利用待定系數(shù)法可確定a,b,c,d的值.完成(1)(2)問的前提是熟練應(yīng)用導數(shù)的運算法則. 跟蹤訓練2 已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2exf′(1)+3ln x,則f′(1)等于(  ) A.-3 B.2e C. D. 命題角度2 與切線有關(guān)的問題 例3 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其導函數(shù)f′(x)=2x-8. (1)求a,b的值; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=exsin x+f(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程.   反思與感悟 (1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素.其他的條件可以進行恒等變換,從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系. (2)準確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準確. (3)分清已知點是否在曲線上,若不在曲線上,則要設(shè)出切點,這是解題時的易錯點. 跟蹤訓練3 (1)設(shè)曲線y=在點(,2)處的切線與直線x+ay+1=0垂直,則a=________. (2)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為________.                     1.下列結(jié)論不正確的是(  ) A.若y=3,則y′=0 B.若f(x)=3x+1,則f′(1)=3 C.若y=-+x,則y′=-+1 D.若y=sin x+cos x,則y′=cos x+sin x 2.設(shè)y=-2exsin x,則y′等于(  ) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 3.對于函數(shù)f(x)=+ln x-,若f′(1)=1,則k等于(  ) A. B. C.- D.- 4.曲線y=-在點M處的切線的斜率為(  ) A.- B. C.- D. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0,曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線方程為y=1,確定b、c的值. 求函數(shù)的導數(shù)要準確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導數(shù).在求導過程中,要仔細分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)導數(shù)運算法則,聯(lián)系基本函數(shù)的導數(shù)公式.對于不具備導數(shù)運算法則結(jié)構(gòu)形式的要適當恒等變形,轉(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形式,再求導數(shù),進而解決一些與切線斜率、瞬時速度等有關(guān)的問題. 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 f′(x)=1,g′(x)=-. 思考2 ∵Δy=(x+Δx)+-(x+) =Δx+, ∴=1-. ∴Q′(x)= =[1-]=1-. 同理,H′(x)=1+. 思考3 Q(x)的導數(shù)等于f(x),g(x)的導數(shù)的和.H(x)的導數(shù)等于f(x),g(x)的導數(shù)的差. 知識點二 思考1 f′(x)=2x,g′(x)=cos x, φ′(x)=0. 思考2 H′(x)=2xsin x+x2cos x. M′(x)= ==. Q′(x)=3cos x. 梳理 (1)①f′(x)g(x)+f(x)g′(x)?、贑f′(x) (2) 題型探究 例1 解 (1)f′(x)=(ax3+bx2+c)′ =(ax3)′+(bx2)′+c′=ax2+2bx. (2)f′(x)=(xln x+2x)′ =(xln x)′+(2x)′ =x′ln x+x(ln x)′+2xln 2 =ln x+1+2xln 2. (3)方法一 f′(x)=()′ = ==. 方法二 ∵f(x)== =1-, ∴f′(x)=(1-)′=(-)′ =-=. (4)f′(x)=(x2ex)′=(x2)′ex+x2(ex)′ =2xex+x2ex=ex(2x+x2). 跟蹤訓練1 解 (1)f′(x)=(xtan x)′ =′ = = =. (2)∵f(x)=2-2sin2=1+cos x, ∴f′(x)=-sin x. (3)方法一 f′(x)=[(x+1)(x+3)]′(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)′ =[(x+1)′(x+3)+(x+1)(x+3)′](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3) =3x2+18x+23. 方法二 ∵f(x)=(x+1)(x+3)(x+5) =(x2+4x+3)(x+5) =x3+9x2+23x+15, ∴f′(x)=(x3+9x2+23x+15)′ =3x2+18x+23. (4)∵f(x)=, ∴f′(x)= =. 例2 解 (1)由題意得f′(x)=+2f′(1), 令x=1,得f′(1)=+2f′(1), 即f′(1)=-1. 所以f(x)=-2x. (2)由已知得f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′ =[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′ =(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′ =asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x =(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. 又因為f′(x)=xcos x, ∴即 解得a=d=1,b=c=0. 跟蹤訓練2 D [∵f′(x)=2exf′(1)+, 令x=1,得f′(1)=2ef′(1)+3, ∴f′(1)=.] 例3 解 (1)因為f(x)=ax2+bx+3(a≠0), 所以f′(x)=2ax+b. 又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知,g(x)=exsin x+x2-8x+3, 所以g′(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以g′(0)=e0sin 0+e0cos 0+20-8=-7. 又g(0)=3, 所以g(x)在x=0處的切線方程為 y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0. 跟蹤訓練3 (1)1 (2)4 解析 (1)因為y′==, 所以當x=時,y′==1. 又直線x+ay+1=0的斜率是-, 所以由題意得-=-1,解得a=1. (2)因為曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,由導數(shù)的幾何意義知,g′(1)=2.又因為f(x)=g(x)+x2,所以f′(x)=g′(x)+2x?f′(1)=g′(1)+2=4,所以y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為4. 當堂訓練 1.D [D項,∵y=sin x+cos x, ∴y′=(sin x)′+(cos x)′ =cos x-sin x.] 2.D [y′=-2(exsin x+excos x) =-2ex(sin x+cos x).] 3.A [∵f′(x)=++, ∴f′(1)=-e+1+2k=1,解得k=, 故選A.] 4.B [∵y′= =, ∴y′|x==, ∴曲線在點M處的切線的斜率為.] 5.解 由題意,得f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b, 由切點P(0,f(0))既在曲線f(x)=x3-x2+bx+c上又在切線y=1上,得 即 解得b=0,c=1.

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