2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運算法則教學(xué)案新人教B版選修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運算法則教學(xué)案新人教B版選修1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運算法則教學(xué)案新人教B版選修1
[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.理解求導(dǎo)法則的證明過程,能夠綜合運用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
[知識鏈接]
前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松.我們已經(jīng)會求f(x)=5和g(x)=1.05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢?
答:利用導(dǎo)數(shù)的運算法則.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
導(dǎo)數(shù)運算法則
法則
語言敘述
[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x)
兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)
續(xù)表
[f(x)g(x)]′
=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[Cf(x)]′=Cf′(x)
常數(shù)與函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
′
=
(g(x)≠0)
兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導(dǎo)數(shù),再除以分母的平方
要點一 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(x2+1)(x-1);
(2)y=3x-lgx.
解 (1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,
∴y′=(x3)′-(x2)′+x′-(1)′=3x2-2x+1.
(2)函數(shù)y=3x-lgx是函數(shù)f(x)=3x與函數(shù)g(x)=lgx的差.由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出
f′(x)=3xln3,g′(x)=,
利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得
y′=(3x-lgx)′=f′(x)-g′(x)=3xln3-.
規(guī)律方法 本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問題,求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則,對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù).
跟蹤演練1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=5-4x3;(2)y=3x2+xcosx;
(3)y=exlnx;(4)y=lgx-.
解 (1)y′=-12x2;
(2)y′=(3x2+xcosx)′=6x+cosx-xsinx;
(3)y′=exlnx+;
(4)y′=+.
要點二 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
例2 求過點(1,-1)與曲線f(x)=x3-2x相切的直線方程.
解 設(shè)P(x0,y0)為切點,則切線斜率為k=f′(x0)=3x-2.
故切線方程為y-y0=(3x-2)(x-x0)?、?
∵(x0,y0)在曲線上,∴y0=x-2x0?、?
又∵(1,-1)在切線上,
∴將②式和(1,-1)代入①式得
-1-(x-2x0)=(3x-2)(1-x0).
解得x0=1或x0=-.
切線的斜率分別為1和-.
故所求的切線方程為y+1=x-1或y+1=-(x-1).
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
規(guī)律方法 (1,-1)雖然在曲線上,但是經(jīng)過該點的切線不一定只有一條,即該點有可能是切點,也可能是切線與曲線的交點,解題時注意不要漏解.
跟蹤演練2 已知某運動著的物體的運動方程為s(t)=+2t2(位移單位:m,時間單位:s),求t=3s時物體的瞬時速度.
解 ∵s(t)=+2t2=-+2t2=-+2t2,
∴s′(t)=-+2+4t,∴s′(3)=-++12=,
即物體在t=3s時的瞬時速度為m/s.
1.下列結(jié)論不正確的是( )
A.若y=3,則y′=0
B.若f(x)=3x+1,則f′(1)=3
C.若y=-+x,則y′=-+1
D.若y=sinx+cosx,則y′=cosx+sinx
答案 D
解析 利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運算法則求解.D項,∵y=sinx+cosx,
∴y′=(sinx)′+(cosx)′=cosx-sinx.
2.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)是( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 y′=′==.
3.曲線y=在點(-1,-1)處的切線方程為( )
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x+2
答案 A
解析 ∵y′==,
∴k=y(tǒng)′|x=-1==2,
∴切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+1.
4.直線y=x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線,則實數(shù)b=________.
答案 ln2-1
解析 設(shè)切點為(x0,y0),∵y′=,∴=,
∴x0=2,∴y0=ln2,ln2=2+b,∴b=ln2-1.
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)拆分為基本函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導(dǎo)數(shù).在求導(dǎo)過程中,要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則,聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式展開運算.對于不具備導(dǎo)數(shù)運算法則結(jié)構(gòu)形式的要進行適當(dāng)恒等變形,轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式,再求導(dǎo)數(shù),進而解決一些切線斜率、瞬時速度等問題.