2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題教案 新人教版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法； 2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的實(shí)際問題。 二．命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。 有關(guān)命題趨勢： 1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)； 2．?dāng)?shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度； 3．?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等； 4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。 預(yù)測xx年高考對本將的考察為： 1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。 三．要點(diǎn)精講 1．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)與和 （1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an= 。 （2）求通項(xiàng)常用方法 ①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列； ②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③歸納、猜想法。 （3）數(shù)列前n項(xiàng)和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如：、=－、nn！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。 ⑤錯項(xiàng)相消法 對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯項(xiàng)相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，… ⑥并項(xiàng)求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。 數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 ⑦通項(xiàng)分解法： 2．遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。 遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種： （1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。 （2）迭代法。 （3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。 （4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 四．典例解析 題型1：裂項(xiàng)求和 例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：。 解析：首先考慮，則=。 點(diǎn)評：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，下列求和也可用裂項(xiàng)求和法。 例2．求。 解析：， 點(diǎn)評：裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些。 題型2：錯位相減法 例3．設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項(xiàng)和。 解析：①若a=0時，Sn=0； ②若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=； ③若a≠1，a≠0時，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn=。 例4．已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 解析：， ①-②得：， 點(diǎn)評：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯位相減法。 題型3：倒序相加 例5．求。 解析：。 ① 又。 ② 所以。 點(diǎn)評：Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。 例6．設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列， 求和： 解析：因?yàn)椋? ， 。 點(diǎn)評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。 題型4：其他方法 例7．求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項(xiàng)和。 解析：本題實(shí)質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項(xiàng)中共有個奇數(shù)，故。 例8．求數(shù)列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項(xiàng)的和。 解析：其和為(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。 題型5：數(shù)列綜合問題 例9．（ xx年浙江卷）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列 | xn | （xn > 0）的第一項(xiàng)x1＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)的直線平行（如圖）。 求證：當(dāng)n時：（I）；（II）。 解析：（I）因?yàn)? 所以曲線在處的切線斜率 因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是 所以. （II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時單調(diào)遞增， 而 所以，即 因此 又因?yàn)? 令則 因?yàn)樗? 因此 故 點(diǎn)評：數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊，數(shù)列的通項(xiàng)與線段的長度、點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。 例10．（xx年遼寧卷）已知,其中,設(shè),。 (I) 寫出；(II) 證明:對任意的,恒有。 解析：(I)由已知推得,從而有； (II) 證法1:當(dāng)時， 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)， 所以對任意的， 因此結(jié)論成立。 證法2：當(dāng)時, 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù) 所以對任意的 又因 所以 因此結(jié)論成立。 證法3：當(dāng)時, 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)。 所以對任意的 由 對上式兩邊求導(dǎo)得： 因此結(jié)論成立。 點(diǎn)評：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 題型6：數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題 例11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。? 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利：（萬元）， 銀行貸款本息：（萬元）， 故甲方案純利：（萬元）， ②乙方案獲利： （萬元）； 銀行本息和： （萬元） 故乙方案純利：（萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 點(diǎn)評：這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。 例12．（xx湖南20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。 （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 　 （Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*， 從而由（*）式得： 因?yàn)閤1>0，所以a>b。 猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變。 （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1。 而x1∈(0, 2)，所以。 由此猜測b的最大允許值是1. 下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立。 ②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即xk∈(0, 2)，則當(dāng)n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0。 又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立. 由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2)。 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問題。 題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．（xx年北京卷）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”。 （Ⅰ）舉出一個前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）； （Ⅱ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項(xiàng)。 解析：（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下： 假設(shè){an}中沒有零項(xiàng)，由于an=|an-1-an-2|，所以對于任意的n，都有an≥1,從而 當(dāng)an-1 > an-2時，an = an-1 －an-2 ≤ an-1－1（n≥3）； 當(dāng)an-1 < an-2時，an = an-2 － an-1 ≤ an-2－1（n≥3）, 即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn=n=1，2，3，……， 則0<cn≤cn-1－1（n=2，3，4……）. 由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)c1<0這與cn>0（n=1，2，3……）矛盾.從而{an}必有零項(xiàng)。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記an-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)開始，沒三個相鄰的項(xiàng)周期地取值O，A，A，即 所以絕對等差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項(xiàng)。 點(diǎn)評：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 例14．（xx江蘇23）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且其中A,B為常數(shù)。 （Ⅰ）求A與B的值； （Ⅱ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列； （Ⅲ）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立 分析：本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題，第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關(guān)系式，即求出A、B；第二問利用公式，推導(dǎo)得證數(shù)列{an}為等差數(shù)列。 解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知： 。 解得A=－20，B=－8。 （Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因?yàn)? an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因?yàn)? (5n+2), 所以 an+3-2an+2+an+1=0, 即 an+3-an+2=an+2-an+1, . 又 a3-a2=a2-a1=5, 所以數(shù)列為等差數(shù)列。 方法2. 由已知，S1=a1=1, 又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8, 所以數(shù)列是惟一確定的。 設(shè)bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Tn= 于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8) 由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要證了 只要證 5amn>1+aman+2 因?yàn)? amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要證 5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2 因?yàn)? =20m+20n-37, 所以命題得證。 點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。 五．思維總結(jié) 1．?dāng)?shù)列求和的常用方法 （1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列； （2）裂項(xiàng)相消法：適用于其中{ }是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等； （3）錯位相減法：適用于其中{ }是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。 （4）倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法. （5）分組求和法 （6）累加（乘）法等。 2．常用結(jié)論 （1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) = （3） （4） （5） （6） 3．?dāng)?shù)學(xué)思想 （1）迭加累加（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若，則……； （2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若，則……； （3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）； （4）錯位相減（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）。