（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課件 文 新人教A

第第4節(jié)節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 最新考綱 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 1.直線與圓的位置關(guān)系 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 設(shè)圓 C：(xa)2(yb)2r2，直線 l：AxByC0，圓心 C(a，b)到直線 l 的距離為 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到關(guān)于 x(或 y)的一元二次方程，其判別式為 . 方法 位置關(guān)系 幾何法 代數(shù)法 相交 d0 相切 dr 0 相離 dr 0 2.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示： 位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 幾何特征 dRr dRr RrdRr dRr dRr 代數(shù)特征 無(wú)實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無(wú)實(shí)數(shù)解 公切線條數(shù) 4 3 2 1 0 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過(guò)圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0 xy0yr2. (2)過(guò)圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)過(guò)圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0 xy0yr2. 2.過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解. 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件.( ) (2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.( ) (3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.( ) (4)過(guò)圓O：x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0 xy0yr2.( ) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 解析 (1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的充分不必要條件；(2)除外切外，還有可能內(nèi)切；(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為( ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 答案 B 解析 兩圓圓心分別為(2，0)，(2，1)，半徑分別為 2 和 3，圓心距 d 421217.32d0)，設(shè)條件 p：0r3，條件q：圓 C 上至多有 2 個(gè)點(diǎn)到直線 x 3y30 的距離為 1，則 p 是 q 的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 (1)B (2)C (2)由題意知，圓心 C(1，0)到直線 x 3y30 的距離 d|13|22，至多有 2 點(diǎn)到直線的距離為 1 時(shí)，0r3；反之也成立，故選 C. 解析 (1)由題意知 圓心(1，2)到直線 2xy50 的距離 d|2125|2212 5 6且 21(2)50，所以直線與圓相交但不過(guò)圓心. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圓的切線圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題弦長(zhǎng)問(wèn)題 【例 2】 (1)(2016 全國(guó)卷)設(shè)直線 yx2a 與圓 C： x2y22ay20 相交于 A，B 兩點(diǎn)，若|AB|2 3，則圓 C 的面積為_. (2)過(guò)點(diǎn) P(2，4)引圓(x1)2(y1)21 的切線，則切線方程為_. 解析 (1)圓 C：x2y22ay20,即 C:x2(ya)2a22,圓心為 C(0，a)，C 到直線 yx2a 的距離為 d|0a2a|2|a|2.又由|AB|2 3，得2 322|a|22a22，解得 a22，所以圓的面積為 (a22)4. (2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x2， 此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0， 直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑， 綜上，切線方程為x2或4x3y40. 答案 (1)4 (2)x2或4x3y40 所求切線方程為43xy42430，即 4x3y40. 即 d|k142k|k2（1）2|3k|k211，解得 k43， 規(guī)律方法 1.弦長(zhǎng)的兩種求法 (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式 0 的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng). (2)幾何方法：若弦心距為 d，圓的半徑長(zhǎng)為 r，則弦長(zhǎng) l2 r2d2. 2.圓的切線方程的兩種求法 (1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為 yy0k(xx0)，與圓的方程 組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式 0 進(jìn)而求得 k. (2)幾何法：設(shè)切線方程為 yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離 d，然后令 dr，進(jìn)而求出 k. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018 合肥測(cè)試)過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_. (2)過(guò)原點(diǎn)O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長(zhǎng)為_. 解析 (1)設(shè) P(3，1)，圓心 C(2，2)，則|PC| 2，半徑 r2，由題意知最短的弦過(guò)P(3，1)且與 PC 垂直，所以最短弦長(zhǎng)為 2 22（ 2）22 2. 答案 (1)2 2 (2)4 (2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)25，則圓心為(3，4)，半徑長(zhǎng)為 5. 由題意可設(shè)切線的方程為 ykx，則圓心(3，4)到直線 ykx 的距離等于半徑長(zhǎng) 5，即|3k4|k21 5，解得 k12或 k112，則切線的方程為 y12x 或 y112x.聯(lián)立切線方程與圓的方程，解得兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4，2)，45，225，此即為 P，Q 的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|4. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 【例3】 (2017 鄭州調(diào)研)已知兩圓x2y22x6y10，x2y210 x12ym0. (1)m取何值時(shí)兩圓外切？ (2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？ (3)當(dāng)m45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng). 解 因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以兩圓的圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為 11， 61m， (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0， 得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230. (2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A半徑 11小于兩圓圓心之間的距離 5， 所以 61m 115，解得 m2510 11. 故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為 2（ 11）2|43323|423222 7. (1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，由 （51）2（63）2 11 61m，得 m2510 11. 規(guī)律方法 1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法. 2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到. 【訓(xùn)練 3】 (1)已知圓 M：x2y22ay0(a0)截直線 xy0 所得線段的長(zhǎng)度是2 2，則圓 M 與圓 N：(x1)2(y1)21 的位置關(guān)系是( ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 (2)(2018 九江模擬)已知圓C1： (xa)2(y2)24與圓C2： (xb)2(y2)21 相外切，則 ab 的最大值為( ) A.62 B.32 C.94 D.2 3 M(0，2)，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1，1)，半徑r21， r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，故選B. |MN| （10）2（12）2 2，r1r23，r1r21. (2)由圓 C1與圓 C2相外切， 可得 （ab）2（22）2213， 即(ab)29，根據(jù)基本不等式可知 abab2294，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號(hào)成立. 解析 (1)圓 M：x2(ya)2a2，圓心坐標(biāo)為 M(0，a)，半徑 r1為 a，圓心 M到直線 xy0 的距離 d|a|2，由幾何知識(shí)得|a|22( 2)2a2，解得 a2. 答案 (1)B (2)C