中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第30課時(shí)圖形的相似.doc

中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第30課時(shí)圖形的相似 【精學(xué)】 考點(diǎn)一、比例線段 1、比例線段的相關(guān)概念 如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是 ，或?qū)懗蒩：b=m：n 在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段 若四條a，b，c，d滿(mǎn)足 或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。 如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。 2、比例的性質(zhì)（拓展） （1）基本性質(zhì) ①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c （2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)） （交換內(nèi)項(xiàng)） （交換外項(xiàng)） （同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)） （3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）： （4）合比性質(zhì)： （5）等比性質(zhì)： 3、黃金分割 把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB 考點(diǎn)二、平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 推論： （1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 （2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。 考點(diǎn)三、相似三角形 1、相似三角形的概念 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“∽”來(lái)表示，讀作“相似于”。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等價(jià)關(guān)系： （1）反身性：對(duì)于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）對(duì)稱(chēng)性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC （3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似 ②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 ④判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 ⑤判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似 （2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各種判定方法均適用 ②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 ③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。 4、相似三角形的性質(zhì) （1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 （2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 （3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 （4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 5、相似多邊形 （1）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)） （2）相似多邊形的性質(zhì) ①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 ②相似多邊形周長(zhǎng)的比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比 ③相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比 ④相似多邊形面積的比等于相似比的平方 6、位似圖形 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比。 性質(zhì)：每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。 由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小。 【巧練】 題型一、平行線分線段成比例 【例1】（20xx山東濟(jì)寧）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于　?。? 【答案】 【分析】首先求出AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式即可得到結(jié)論． 【點(diǎn)評(píng)】考查平行線分線段成比例，能夠從圖中找到對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵。 題型二、相似三角形及其判定 例2．（20xx?永州）如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（　?。? A． ∠ABD=∠ACB B． ∠ADB=∠ABC C． AB2=AD?AC D．= 【答案】D 分析：根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判斷得出即可． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，利用了有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似． 題型三、相似三角形的性質(zhì) 例3．（20xx?巴中）如圖，點(diǎn)D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 【答案】B 【分析】證明DE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE∥BC，DE=BC，證出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出△ADE的面積：△ABC的面積=1：4，即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的面積：△ABC的面積=（）2=1：4， ∴△ADE的面積：四邊形BCED的面積=1：3； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟記三角形中位線定理，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 題型四、相似多邊形與位似圖形 例4．（20xx?東營(yíng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】D 【分析】利用位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k進(jìn)行求解． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k． 題型五、相似三角形的應(yīng)用 例5.（20xx?甘肅天水）如圖是一位同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測(cè)得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么該古城墻的高度CD是　 米． 【答案】8 【分析】首先證明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案． ∵AB=2米，BP=3米，PD=12米， ∴=， CD=8米， 故答案為：8． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例． 【限時(shí)突破】 1．（20xx?哈爾濱）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。? A． = B． C． D． 2．（20xx?安徽）如圖，△ABC中，AD是中線，BC=8，∠B=∠DAC，則線段AC的長(zhǎng)為（　?。? A．4 B．4 C．6 D．4 3．（20xx?煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。? A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 4．（20xx?海南）如圖，點(diǎn)P是?ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有（　?。? A． 0對(duì) B． 1對(duì) C． 2對(duì) D． 3對(duì) 5．（20xx?金華）在四邊形ABCD中，∠B=90，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足．設(shè)AB=x，AD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（　　） A． B． C． D． 6．（20xx山西）寬與長(zhǎng)的比是（約為0．618）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱(chēng)的美感．我們可以用這樣的方法畫(huà)出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF；以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G；作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則圖中下列矩形是黃金矩形的是（ D ） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 7. （20xx?江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，=，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于　 ?。? 8.（20xx黑龍江齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F． （1）求證：△ACD∽△BFD； （2）當(dāng)tan∠ABD=1，AC=3時(shí)，求BF的長(zhǎng)． 9. （20xx廣西崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上． （1）求證：△AEF∽△ABC； （2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)； （3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？ 10. （20xx四川眉山）如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90，AC=4，點(diǎn)P為線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點(diǎn)F （1）求證：； （2）連接BD，請(qǐng)你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說(shuō)明理由； （3）設(shè)PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式． 【答案解析】 1.【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．注意掌握各線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵． 2.【分析】根據(jù)AD是中線，得出CD=4，再根據(jù)AA證出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可． 【解答】解：∵BC=8，∴CD=4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B=∠DAC，∠C=∠C， ∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD?BC=48=32， ∴AC=4； 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AA證出△CBA∽△CAD，是一道基礎(chǔ)題． 3.【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△OAD∽△OBG，進(jìn)而得出AO的長(zhǎng)，即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴=， ∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG， ∴=，∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出AO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 4.分析： 利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質(zhì)得出即可． 解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB， ∴△EDC∽△CBP， 故有3對(duì)相似三角形． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 5.【分析】由△DAH∽△CAB，得=，求出y與x關(guān)系，再確定x的取值范圍即可解決問(wèn)題． ∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90， ∴△DAH∽△CAB， ∴=， ∴=， ∴y=， ∵AB＜AC， ∴x＜4， ∴圖象是D． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題科學(xué)相似三角形的判定和性質(zhì)、相等垂直平分線性質(zhì)、反比例函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，注意自變量的取值范圍的確定，屬于中考?？碱}型． 6.分析：由作圖方法可知DF=CF，所以CG=，且GH=CD=2CF 從而得出黃金矩形 解答：CG=，GH=2CF ∴ ∴矩形DCGH是黃金矩形 選D． 7.分析： 首先根據(jù)=設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然后根據(jù)射影定理得到BC2=CE?CA，AB2=AE?AC從而求得CE=，AE=，得到=，利用△CEF∽△AEB，求得=（）2=． 解答： 解：∵=， ∴設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=2a， ∴AC=a， ∵BF⊥AC， ∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC， ∴BC2=CE?CA，AB2=AE?AC ∴a2=CE?a，2a2=AE?a， ∴CE=，AE=， ∴=， ∵△CEF∽△AEB， ∴=（）2=， 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定，能夠牢記射影定理的內(nèi)容對(duì)解決本題起到至關(guān)重要的作用，難度不大． 8.【分析】（1）由∠C+∠DBF=90，∠C+∠DAC=90，推出∠DBF=∠DAC，由此即可證明． （2）先證明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解決問(wèn)題． （2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90 ∴=1， ∴AD=BD， ∵△ACD∽△BFD， ∴==1， ∴BF=AC=3． 9.【思路分析】（1）根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．(2) 設(shè)EG=EF=x，用x表示AK，根據(jù)△AEF∽△ABC列比例式可計(jì)算正方形邊長(zhǎng).(3) 設(shè)EG=KD=x，根據(jù)△AEF∽△ABC用x表示EF，根據(jù)矩形面積公式可以寫(xiě)出矩形面積關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值. 解：（1）：（1）∵四邊形EFGH為正形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）設(shè)邊長(zhǎng)為xmm， ∵矩形為正方形， ∴EF∥BC，EG∥AD， 答：若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是48mm． (3) 設(shè)EG=KD=x，則AK=80-x. ∵△AEF∽△ABC， ∴， 即， ∴EF=80-， ∴矩形面積S=x(120-)=-2+120x=-2+2400, 故當(dāng)x=40時(shí)，此時(shí)矩形的面積最大，最大面積為2400mm2． 點(diǎn)評(píng)：（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比；（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)列比例式求解未知數(shù)是列方程一種重要根據(jù)；（3）最值問(wèn)題一般都是通過(guò)把未知量用二次函數(shù)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值來(lái)解答. 10.【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，進(jìn)而得出答案； （2）首先得出△PCE∽△DCB，進(jìn)而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC與BD的位置關(guān)系； （3）首先利用相似三角形的性質(zhì)表示出BD，PM的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出△PBD的面積． 【解答】（1）證明：∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形， ∴∠ECB=∠PCD=45，∠CEB=∠CPD=90， ∴△BCE∽△DCP， ∴=； （2）解：AC∥BD， 理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45， ∴∠PCE=∠BCD， 又∵=， ∴△PCE∽△DCB， ∴∠CBD=∠CEP=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠CBD， ∴AC∥BD； ∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45，BP=BE+PE=4+x， ∴PM=， ∴△PBD的面積S=BD?PM=x=x2+2x． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似形綜合、平行線的判定方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確表示出PM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 13 / 13