2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第27課時(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.doc
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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第27課時(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.doc
2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第27課時(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
【精學(xué)】
考點(diǎn)一、解直角三角形應(yīng)用題
1.常用基礎(chǔ)知識(shí)
(1)仰角和俯角
在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的叫仰角,視線在水平線下方的叫俯角
(2)坡度和坡角
坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示,即。坡度一般寫成的形式,如等。
把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角),那么。
(3)方向角(或方位角):
指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角叫做方向角。
如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是:北偏東30(東北方向) , 南偏東45(東南方向),南偏西60(西南方向), 北偏西60(西北方向)。
2.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用
描述:解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟:
①弄清題中的名詞、術(shù)語(yǔ)的意義,如仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念,然后根據(jù)題意畫出幾何圖形.建立數(shù)學(xué)模型;
②將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形中元素之間的關(guān)系,當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí),可添加適當(dāng)?shù)妮o助線.把它們分割成直角三角形或矩形;
③尋找基礎(chǔ)直角三角形,并解這個(gè)三角形.
【巧練】
題型一、方位角
例1.(xx?山東泰安)如圖,輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行,在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68方向上,航行2小時(shí)后到達(dá)N處,觀測(cè)燈塔P在西偏南46方向上,若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置,則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為(由科學(xué)計(jì)算器得到sin68=0.9272,sin46=0.7193,sin22=0.3746,sin44=0.6947)( ?。?
A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A,則若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置為PA的長(zhǎng)度,利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可
【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A,
MN=302=60(海里),
∵∠MNC=90,∠CPN=46,
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136,
∵∠BMP=68,
∴∠PMN=90﹣∠BMP=22,
∴∠MPN=180﹣∠PMN﹣∠PNM=22,
∴∠PMN=∠MPN,
∴MN=PN=60(海里),
∵∠CNP=46,
∴∠PNA=44,
∴PA=PN?sin∠PNA=600.6947≈41.68(海里)
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題,熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
題型二、俯角和仰角
例2.(xx?山東聊城)聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一,也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo),如圖,點(diǎn)O是摩天輪的圓心,長(zhǎng)為110米的AB是其垂直地面的直徑,小瑩在地面C點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33,測(cè)得圓心O的仰角為21,則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為(tan33≈0.65,tan21≈0.38)( ?。?
A.169米 B.204米 C.240米 D.407米
【答案】B
【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,求得
AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33,在Rt△BCO中,求得
OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21,列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:過(guò)C作CD⊥AB于D,
在Rt△ACD中,AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33,
在Rt△BCO中,OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21,
∵AB=110m,
∴AO=55m,
∴A0=AD﹣OD=CD?tan33﹣CD?tan21=55m,
∴CD==≈204m,
答:小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為204m.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了仰角與俯角的問題,利用兩個(gè)直角三角形擁有公共直角邊,能夠合理的運(yùn)用這條公共邊是解答此題的關(guān)鍵.
題型三、 坡度和坡角
例3.(xx?重慶)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng),如圖,在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么大樹CD的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin36≈0.59,cos36≈0.81,tan36≈0.73)( ?。?
A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米
【答案】A
【分析】作BF⊥AE于F,則FE=BD=6米,DE=BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4米,在Rt△ABF中,由勾股定理得出方程,解方程求出DE=BF=5米,AF=12米,得出AE的長(zhǎng)度,在Rt△ACE中,由三角函數(shù)求出CE,即可得出結(jié)果.
【解答】解:作BF⊥AE于F,如圖所示:
則FE=BD=6米,DE=BF,
∵斜面AB的坡度i=1:2.4,
∴AF=2.4BF,
設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:x2+(2.4x)2=132,
解得:x=5,
∴DE=BF=5米,AF=12米,
∴AE=AF+FE=18米,
在Rt△ACE中,CE=AE?tan36=180.73=13.14米,
∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米;
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù);由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵.
【限時(shí)突破】
1.(xx?黑龍江綏化)如圖,小雅家(圖中點(diǎn)O處)門前有一條東西走向的公路,經(jīng)測(cè)得有一水塔(圖中點(diǎn)A處)在距她家北偏東60方向的500米處,那么水塔所在的位置到公路的距離AB是( ?。?
A.250米 B.250米
C.米 D.500米
2.(xx?四川巴中)一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米,臺(tái)階拆除后,換成供輪椅行走的斜坡,數(shù)據(jù)如圖所示,則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是( ?。?
A.斜坡AB的坡度是10
B.斜坡AB的坡度是tan10
C.AC=1.2tan10米
D.AB=米
3.(xx?廣西南寧)如圖,廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米,∠B=36,則中柱AD(D為底邊中點(diǎn))的長(zhǎng)是( ?。?
A.5sin36米 B.5cos36米
C.5tan36米 D.10tan36米
4.(xx河南)如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45.升旗時(shí),國(guó)旗上端懸掛在距地面2.25米處. 若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起,并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?
(參考數(shù)據(jù):sian37=0.60,cos37=0.80,tan37=0.75)
5.(xx?海南)如圖,某漁船在小島O南偏東75方向的B處遇險(xiǎn),在小島O南偏西45方向A處巡航的中國(guó)漁政船接到求救信號(hào)后立刻前往救援,此時(shí),中國(guó)漁政船與小島O相距8海里,漁船在中國(guó)漁政船的正東方向上.
(1)求∠BAO與∠ABO的度數(shù)(直接寫出答案);
(2)若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,能否在1小時(shí)內(nèi)趕到?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):tan75≈3.73,tan15≈0.27,≈1.41,≈2.45)
6.(xx?遼寧本溪)張老師利用休息時(shí)間組織學(xué)生測(cè)量山坡上一棵大樹CD的高度,如圖,山坡與水平面成30角(即∠MAN=30),在山坡底部A處測(cè)得大樹頂端點(diǎn)C的仰角為45,沿坡面前進(jìn)20米,到達(dá)B處,又測(cè)得樹頂端點(diǎn)C的仰角為60(圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)),求這棵大樹CD的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.732)
【答案解析】
1.【分析】在RT△AOB中,由∠AOB=30可知AB=AO,由此即可解決問題.
【解答】解:由題意∠AOB=90﹣60=30,OA=500,
∵AB⊥OB,
∴∠ABO=90,
∴AB=AO=250米.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形,方向角,直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí),解題的關(guān)鍵是搞清楚方向角的定義,利用直角三角形性質(zhì)解決問題,屬于中考??碱}型.
2.【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值,可得答案.
【解答】解:斜坡AB的坡度是tan10=,故B正確;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度坡角,利用坡度是坡角的正切值是解題關(guān)鍵.
3.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DC=BD=5米,在Rt△ABD中,利用∠B的正切進(jìn)行計(jì)算即可得到AD的長(zhǎng)度.
【解答】解:∵AB=AC,AD⊥BC,BC=10米,
∴DC=BD=5米,
在Rt△ADC中,∠B=36,
∴tan36=,即AD=BD?tan36=5tan36(米).
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
4.【答案】國(guó)旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升.
【解析】
試題分析:如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD土幼,垂足為D,即可得DB=9,在RT△CBD中,可求得CD=BD=9。在RT△ACD中∠AcD=37,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AD。再由速度=路程時(shí)間即可得。
解:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9.
在Rt△CBD中,∠BCD=45,∴CD=BD=9
在Rt△ACD中,∠ACD=37,
∴AD=CDtan37≈90.75=6.75.
∴AB=AD+DB≈6.75+9=15.75.
(15.75-2.25)45=0.3(米/秒).
∴國(guó)旗應(yīng)以約0.3米/秒的速度勻速上升.
5.分析: (1)作OC⊥AB于C,根據(jù)方向角的定義得到∠AOC=45,∠BOC=75,由直角三角形兩銳角互余得出∠BAO=90﹣∠AOC=45,∠ABO=90﹣∠BOC=15;
(2)先解Rt△OAC,得出AC=OC=OA≈5.64海里,解Rt△OBC,求出BC=OC?tan∠BOC≈21.0372海里,那么AB=AC+BC≈26.6772海里,再根據(jù)時(shí)間=路程速度求出中國(guó)漁政船趕往B處救援所需的時(shí)間,與1小時(shí)比較即可求解.
解答: 解:(1)如圖,作OC⊥AB于C,由題意得,∠AOC=45,∠BOC=75,
∵∠ACO=∠BCO=90,
∴∠BAO=90﹣∠AOC=90﹣45=45,
∠ABO=90﹣∠BOC=90﹣75=15;
(2)若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,能在1小時(shí)內(nèi)趕到.理由如下:
∵在Rt△OAC中,∠ACO=90,∠AOC=45,OA=8海里,
∴AC=OC=OA≈41.41=5.64海里.
∵在Rt△OBC中,∠BCO=90,∠BOC=75,OC=4海里,
∴BC=OC?tan∠BOC≈5.643.73=21.0372海里,
∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里,
∵中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,
∴中國(guó)漁政船所需時(shí)間:26.677228≈0.953小時(shí)<1小時(shí),
故若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,能在1小時(shí)內(nèi)趕到.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題,直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
6.分析: 過(guò)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于E,由∠CAN=45,∠MAN=30,得到∠CAB=15,由∠CBD=60,∠DBE=30,得到∠CBD=30于是有∠CAB=∠ACB=15所以AB=BC=20,解Rt△BCE,可求得CE,解Rt△DBE可求得DE,CE﹣DE即得到樹高CD.
解答: 解:如圖,過(guò)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于E,
∵∠CAN=45,∠MAN=30,
∴∠CAB=15
∵∠CBD=60,∠DBE=30,
∴∠CBD=30,
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,
∴∠CAB=∠ACB=15,
∴AB=BC=20,
在Rt△BCE中,∠CBE=60,BC=20,
∴CE=BCsin∠CBE=20BE=BCcos∠CBE=200.5=10,
在Rt△DBE中,∠DBE=30,BE=10,
∴DE=BEtan∠DBE=10,
∴CD=CE﹣DE=≈11.5,
答:這棵大樹CD的高度大約為11.5米.
點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.