2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第27課時(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第27課時(shí)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用 【精學(xué)】 考點(diǎn)一、解直角三角形應(yīng)用題 1.常用基礎(chǔ)知識(shí) (1)仰角和俯角 在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，視線在水平線下方的叫俯角 (2)坡度和坡角 坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫(xiě)成的形式，如等。 把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。 (3)方向角(或方位角): 指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角叫做方向角。 如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30（東北方向） ， 南偏東45（東南方向），南偏西60（西南方向）， 北偏西60（西北方向）。 2．解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 描述：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟： ①弄清題中的名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形．建立數(shù)學(xué)模型； ②將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線．把它們分割成直角三角形或矩形； ③尋找基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形． 【巧練】 題型一、方位角 例1．（xx?山東泰安）如圖，輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行，在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68方向上，航行2小時(shí)后到達(dá)N處，觀測(cè)燈塔P在西偏南46方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為（由科學(xué)計(jì)算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（　?。? A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63 【答案】B 【分析】過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A，則若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置為PA的長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A， MN=302=60（海里）， ∵∠MNC=90，∠CPN=46， ∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136， ∵∠BMP=68， ∴∠PMN=90﹣∠BMP=22， ∴∠MPN=180﹣∠PMN﹣∠PNM=22， ∴∠PMN=∠MPN， ∴MN=PN=60（海里）， ∵∠CNP=46， ∴∠PNA=44， ∴PA=PN?sin∠PNA=600.6947≈41.68（海里） 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問(wèn)題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 題型二、俯角和仰角 例2．（xx?山東聊城）聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，長(zhǎng)為110米的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33，測(cè)得圓心O的仰角為21，則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為（tan33≈0.65，tan21≈0.38）（　?。? A．169米 B．204米 C．240米 D．407米 【答案】B 【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得 AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33，在Rt△BCO中，求得 OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21，列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：過(guò)C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33， 在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21， ∵AB=110m， ∴AO=55m， ∴A0=AD﹣OD=CD?tan33﹣CD?tan21=55m， ∴CD==≈204m， 答：小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為204m． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了仰角與俯角的問(wèn)題，利用兩個(gè)直角三角形擁有公共直角邊，能夠合理的運(yùn)用這條公共邊是解答此題的關(guān)鍵． 題型三、 坡度和坡角 例3．（xx?重慶）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹(shù)CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹(shù)頂端C的仰角為36，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹(shù)腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大樹(shù)CD的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin36≈0.59，cos36≈0.81，tan36≈0.73）（　　） A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米 【答案】Ａ 【分析】作BF⊥AE于F，則FE=BD=6米，DE=BF，設(shè)BF=x米，則AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的長(zhǎng)度，在Rt△ACE中，由三角函數(shù)求出CE，即可得出結(jié)果． 【解答】解：作BF⊥AE于F，如圖所示： 則FE=BD=6米，DE=BF， ∵斜面AB的坡度i=1：2.4， ∴AF=2.4BF， 設(shè)BF=x米，則AF=2.4x米， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132， 解得：x=5， ∴DE=BF=5米，AF=12米， ∴AE=AF+FE=18米， 在Rt△ACE中，CE=AE?tan36=180.73=13.14米， ∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米； 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)；由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【限時(shí)突破】 1．（xx?黑龍江綏化）如圖，小雅家（圖中點(diǎn)O處）門(mén)前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔（圖中點(diǎn)A處）在距她家北偏東60方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（　　） A．250米 　　　　B．250米 C．米 　　　　D．500米 2．（xx?四川巴中）一個(gè)公共房門(mén)前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是（　　） A．斜坡AB的坡度是10 B．斜坡AB的坡度是tan10 C．AC=1.2tan10米 D．AB=米 ３．（xx?廣西南寧）如圖，廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的跨度BC=10米，∠B=36，則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)是（　?。? A．5sin36米 　　　B．5cos36米 C．5tan36米 　　　D．10tan36米 ４.（xx河南）如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45.升旗時(shí)，國(guó)旗上端懸掛在距地面2.25米處. 若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起，并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？ （參考數(shù)據(jù)：sian37=0.60，cos37=0.80，tan37=0.75） ５．（xx?海南）如圖，某漁船在小島O南偏東75方向的B處遇險(xiǎn)，在小島O南偏西45方向A處巡航的中國(guó)漁政船接到求救信號(hào)后立刻前往救援，此時(shí)，中國(guó)漁政船與小島O相距8海里，漁船在中國(guó)漁政船的正東方向上． （1）求∠BAO與∠ABO的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案）； （2）若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能否在1小時(shí)內(nèi)趕到？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：tan75≈3.73，tan15≈0.27，≈1.41，≈2.45） ６．（xx?遼寧本溪）張老師利用休息時(shí)間組織學(xué)生測(cè)量山坡上一棵大樹(shù)CD的高度，如圖，山坡與水平面成30角（即∠MAN=30），在山坡底部A處測(cè)得大樹(shù)頂端點(diǎn)C的仰角為45，沿坡面前進(jìn)20米，到達(dá)B處，又測(cè)得樹(shù)頂端點(diǎn)C的仰角為60（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)），求這棵大樹(shù)CD的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 【答案解析】 １.【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30可知AB=AO，由此即可解決問(wèn)題． 【解答】解：由題意∠AOB=90﹣60=30，OA=500， ∵AB⊥OB， ∴∠ABO=90， ∴AB=AO=250米． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是搞清楚方向角的定義，利用直角三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． ２.【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值，可得答案． 【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正確； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解題關(guān)鍵． ３.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進(jìn)行計(jì)算即可得到AD的長(zhǎng)度． 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米， ∴DC=BD=5米， 在Rt△ADC中，∠B=36， ∴tan36=，即AD=BD?tan36=5tan36（米）． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題． ４.【答案】國(guó)旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升. 【解析】 試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD土幼，垂足為D，即可得DB=9，在RT△CBD中，可求得CD＝ＢＤ＝９。在RT△ACD中∠AcD=37，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AD。再由速度=路程時(shí)間即可得。 解:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9. 在Rt△CBD中,∠BCD=45,∴CD=BD=9 在Rt△ACD中,∠ACD=37, ∴AD=CDtan37≈90.75=6.75. ∴AB=AD+DB≈6.75+9=15.75. (15.75－2.25)45=0.3(米/秒). ∴國(guó)旗應(yīng)以約0.3米/秒的速度勻速上升. ５.分析： （1）作OC⊥AB于C，根據(jù)方向角的定義得到∠AOC=45，∠BOC=75，由直角三角形兩銳角互余得出∠BAO=90﹣∠AOC=45，∠ABO=90﹣∠BOC=15； （2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC?tan∠BOC≈21.0372海里，那么AB=AC+BC≈26.6772海里，再根據(jù)時(shí)間=路程速度求出中國(guó)漁政船趕往B處救援所需的時(shí)間，與1小時(shí)比較即可求解． 解答： 解：（1）如圖，作OC⊥AB于C，由題意得，∠AOC=45，∠BOC=75， ∵∠ACO=∠BCO=90， ∴∠BAO=90﹣∠AOC=90﹣45=45， ∠ABO=90﹣∠BOC=90﹣75=15； （2）若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能在1小時(shí)內(nèi)趕到．理由如下： ∵在Rt△OAC中，∠ACO=90，∠AOC=45，OA=8海里， ∴AC=OC=OA≈41.41=5.64海里． ∵在Rt△OBC中，∠BCO=90，∠BOC=75，OC=4海里， ∴BC=OC?tan∠BOC≈5.643.73=21.0372海里， ∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里， ∵中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援， ∴中國(guó)漁政船所需時(shí)間：26.677228≈0.953小時(shí)＜1小時(shí)， 故若中國(guó)漁政船以每小時(shí)28海里的速度沿AB方向趕往B處救援，能在1小時(shí)內(nèi)趕到． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． ６.分析： 過(guò)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于E，由∠CAN=45，∠MAN=30，得到∠CAB=15，由∠CBD=60，∠DBE=30，得到∠CBD=30于是有∠CAB=∠ACB=15所以AB=BC=20，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE﹣DE即得到樹(shù)高CD． 解答： 解：如圖，過(guò)B作BE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于E， ∵∠CAN=45，∠MAN=30， ∴∠CAB=15 ∵∠CBD=60，∠DBE=30， ∴∠CBD=30， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∴∠CAB=∠ACB=15， ∴AB=BC=20， 在Rt△BCE中，∠CBE=60，BC=20， ∴CE=BCsin∠CBE=20BE=BCcos∠CBE=200.5=10， 在Rt△DBE中，∠DBE=30，BE=10， ∴DE=BEtan∠DBE=10， ∴CD=CE﹣DE=≈11.5， 答：這棵大樹(shù)CD的高度大約為11.5米． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．