2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第31課時(shí)圓的基本性質(zhì).doc
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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第31課時(shí)圓的基本性質(zhì).doc
2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第31課時(shí)圓的基本性質(zhì)
【精學(xué)】
考點(diǎn)一、圓的概念及相關(guān)定義
1、圓的定義
在一個(gè)個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓,固定的端點(diǎn)O叫做圓心,線段OA叫做半徑。
2、圓的幾何表示
以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”,讀作“圓O”
3、弦
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)
4、直徑
經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)
直徑等于半徑的2倍。
5、半圓
圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。
6、弧、優(yōu)弧、劣弧
圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧。
弧用符號(hào)“⌒”表示,以A,B為端點(diǎn)的弧記作“”,讀作“圓弧AB”或“弧AB”。
大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示);小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示)
考點(diǎn)二、垂徑定理及其推論
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
垂徑定理及其推論可概括為:
過圓心
垂直于弦
直徑 平分弦 知二推三
平分弦所對(duì)的優(yōu)弧
平分弦所對(duì)的劣弧
考點(diǎn)三、圓的對(duì)稱性
1、圓的軸對(duì)稱性
圓是軸對(duì)稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。
2、圓的中心對(duì)稱性
圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。
考點(diǎn)四、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理
1、圓心角
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
2、弦心距
從圓心到弦的距離叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理
在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦想等,所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
考點(diǎn)五、圓周角定理及其推論
1、圓周角
頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
2、圓周角定理
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。
3、圓內(nèi)接四邊形
在同圓內(nèi),四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形
(1).圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)
(2).圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角
【巧練】
題型一 垂徑定理及推論
例1(xx湖北黃石)如圖所示,⊙O的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=( ?。?
A.5 B.7 C.9 D.11
【分析】根據(jù)⊙O的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ON⊥AB,可以求得AN的長(zhǎng),從而可以求得ON的長(zhǎng).
【解答】解:由題意可得,
OA=13,∠ONA=90,AB=24,
∴AN=12,
∴ON=,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理,解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容,利用垂徑定理解答問題.
題型二 圓心(周)角、弧、弦之間的關(guān)系
例2.(xx山東濟(jì)寧)如圖,在⊙O中, =,∠AOB=40,則∠ADC的度數(shù)是( ?。?
A.40 B.30 C.20 D.15
【答案】C
【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出∠AOC=∠AOB=50,再由圓周角定理即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵在⊙O中, =,
∴∠AOC=∠AOB,
∵∠AOB=40,
∴∠AOC=40,
∴∠ADC=∠AOC=20,
故選C.
【方法技巧規(guī)律】 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理,提供了從圓心角到弧到弦的轉(zhuǎn)化方式,為我們證明角相等、線段相等和弧相等提供了新思路,解題時(shí)要根據(jù)具體條件靈活選擇應(yīng)用.若其中一組量相等,則考慮其他的量相等,將問題轉(zhuǎn)化.
題型三 圓周角定理及推論
例3.(xx廣西南寧)如圖,點(diǎn)A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40,則∠P的度數(shù)為( ?。?
A.140 B.70 C.60 D.40
【答案】B.
【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠DOE的度數(shù),再由圓周角定理即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40,
∴∠DOE=180﹣40=140,
∴∠P=∠DOE=70.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理,熟知在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.
題型四 圓內(nèi)接四邊形
例4. (xx蘭州)如圖,四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O, 四邊形 ABCO 是 平行四邊形,則 ∠ ADC= ( )
A.45 B. 50
C. 60 D. 75
【答案】C
【解析】:連接 OB,則∠OAB=∠OBA, ∠OCB=∠OBC
∵四邊形 ABCO 是平行四邊形,則∠OAB=∠OBC
∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC
∴∠ABC=∠AOC=120
∴∠OAB=∠OCB=60
連接 OD,則∠OAD=∠ODC,∠OCD=∠ODC
由四邊形的內(nèi)角和等于 360 可知,
∠ADC=360 -∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD
∴∠ADC=60
【限時(shí)突破】
1. (xx浙江省紹興市)如圖,BD是⊙O的直徑,點(diǎn)A、C在⊙O上, =,∠AOB=60,則∠BDC的度數(shù)是( ?。?
A.60 B.45 C.35 D.30
2. (xx陜西)如圖,⊙O的半徑為4,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與∠BOC互補(bǔ),則弦BC的長(zhǎng)為( ?。?
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(xx?浙江省舟山)把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則的度數(shù)是( ?。?
A.120 B.135 C.150 D.165
4.(xx山東聊城)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,F(xiàn)是上一點(diǎn),且=,連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.若∠ABC=105,∠BAC=25,則∠E的度數(shù)為( ?。?
A.45 B.50 C.55 D.60
5.(xx?山東泰安)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠B=60,⊙O的半徑為4,則AC的長(zhǎng)等于( ?。?
A. 4 B. 6 C. 2 D. 8
6.(xx廣西百色)如圖,⊙O的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E,若∠C=25,則∠D= .
7. (xx吉林)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠DAB=130,連接OC,點(diǎn)P是半徑OC上任意一點(diǎn),連接DP,BP,則∠BPD可能為 度(寫出一個(gè)即可).
8. (xx青海西寧)⊙O的半徑為1,弦AB=,弦AC=,則∠BAC度數(shù)為 .
9. (xx四川涼山州)如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,A是的中點(diǎn),AE⊥AC于A,與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E,且.
(1)求證:△ADC∽△EBA;
(2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.
【答案解析】
1.【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.
2.【分析】首先過點(diǎn)O作OD⊥BC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理,可求得∠BOC的度數(shù),然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求得∠OBC的度數(shù),利用余弦函數(shù),即可求得答案.
【解答】解:過點(diǎn)O作OD⊥BC于D,
則BC=2BD,
∵△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC與∠BOC互補(bǔ),
∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180,
∴∠BOC=120,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB==30,
∵⊙O的半徑為4,
∴BD=OB?cos∠OBC=4=2,
∴BC=4.
故選:B.
3.【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD=30,再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案.
故選:C.
4.【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù),再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠ABC=105,
∴∠ADC=180﹣∠ABC=180﹣105=75.
∵=,∠BAC=25,
∴∠DCE=∠BAC=25,
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75﹣25=50.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵.
5. 答案:A
分析: 首先連接OA,OC,過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,由圓周角定理可求得∠AOC的度數(shù),進(jìn)而可在構(gòu)造的直角三角形中,根據(jù)勾股定理求得弦AC的一半,由此得解.
故選A.
6.【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù),再由垂徑定理求出∠AED的度數(shù),進(jìn)而可得出結(jié)論.
【解答】解:∵∠C=25,
∴∠A=∠C=25.
∵⊙O的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E,
∴AB⊥CD,
∴∠AED=90,
∴∠D=90﹣25=65.
故答案為:65.
7.【分析】連接OB、OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù),根據(jù)圓周角定理求出∠DOB的度數(shù),得到∠DCB<∠BPD<∠DOB.
【解答】解:連接OB、OD,
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠DAB=130,
∴∠DCB=180﹣130=50,
由圓周角定理得,∠DOB=2∠DCB=100,
∴∠DCB<∠BPD<∠DOB,即50<∠BPD<100,
∴∠BPD可能為80,
故答案為:80.
8.【分析】連接OA,過O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根據(jù)垂徑定理求出AE、FA值,根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出∠OAB和∠OAC,然后分兩種情況求出∠BAC即可.
【解答】解:有兩種情況:
∴∠OAE=30,∠OAF=45,∴∠BAC=30+45=75;
②如圖2所示:
連接OA,過O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∴∠OEA=∠OFA=90,
由垂徑定理得:AE=BE=,AF=CF=,
cos∠OAE═=,cos∠OAF==,
∴∠OAE=30,∠OAF=45,
∴∠BAC=45﹣30=15;
故答案為:75或15.
9.【分析】(1)欲證△ADC∽△EBA,只要證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以.可以轉(zhuǎn)化為證明且就可以;
(2)A是的中點(diǎn),的中點(diǎn),則AC=AB=8,根據(jù)△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC,求得AE,根據(jù)正切三角函數(shù)的定義就可以求出結(jié)論.