2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第31課時(shí)圓的基本性質(zhì).doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第31課時(shí)圓的基本性質(zhì) 【精學(xué)】 考點(diǎn)一、圓的概念及相關(guān)定義 1、圓的定義 在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。 2、圓的幾何表示 以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O” 3、弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB） 4、直徑 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD） 直徑等于半徑的2倍。 5、半圓 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。 6、弧、優(yōu)弧、劣弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。 弧用符號(hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。 大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示） 考點(diǎn)二、垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 垂徑定理及其推論可概括為： 過圓心 垂直于弦 直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧 考點(diǎn)三、圓的對(duì)稱性 1、圓的軸對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。 2、圓的中心對(duì)稱性 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。 考點(diǎn)四、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 1、圓心角 頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。 2、弦心距 從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 考點(diǎn)五、圓周角定理及其推論 1、圓周角 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。 2、圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 3、圓內(nèi)接四邊形 在同圓內(nèi)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 （1）.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) （2）.圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角 【巧練】 題型一 垂徑定理及推論 例1（xx湖北黃石）如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長(zhǎng)度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（　?。? A．5 B．7 C．9 D．11 【分析】根據(jù)⊙O的半徑為13，弦AB的長(zhǎng)度是24，ON⊥AB，可以求得AN的長(zhǎng)，從而可以求得ON的長(zhǎng)． 【解答】解：由題意可得， OA=13，∠ONA=90，AB=24， ∴AN=12， ∴ON=， 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問題． 題型二 圓心(周)角、弧、弦之間的關(guān)系 例2．（xx山東濟(jì)寧）如圖，在⊙O中， =，∠AOB=40，則∠ADC的度數(shù)是（　?。? A．40 B．30 C．20 D．15 【答案】C 【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出∠AOC=∠AOB=50，再由圓周角定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在⊙O中， =， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=40， ∴∠AOC=40， ∴∠ADC=∠AOC=20， 故選C． 【方法技巧規(guī)律】 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，提供了從圓心角到弧到弦的轉(zhuǎn)化方式，為我們證明角相等、線段相等和弧相等提供了新思路，解題時(shí)要根據(jù)具體條件靈活選擇應(yīng)用．若其中一組量相等，則考慮其他的量相等，將問題轉(zhuǎn)化. 題型三 圓周角定理及推論 例3．（xx廣西南寧）如圖，點(diǎn)A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40，則∠P的度數(shù)為（　?。? A．140 B．70 C．60 D．40 【答案】B． 【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠DOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40， ∴∠DOE=180﹣40=140， ∴∠P=∠DOE=70． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵． 題型四 圓內(nèi)接四邊形 例4. (xx蘭州)如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O, 四邊形 ABCO 是 平行四邊形，則 ∠ ADC= （ ） A．45 B． 50 C． 60 D． 75 【答案】C 【解析】：連接 OB,則∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四邊形 ABCO 是平行四邊形，則∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120 ∴∠OAB＝∠OCB＝60 連接 OD，則∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC 由四邊形的內(nèi)角和等于 360 可知， ∠ADC＝360 －∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60 【限時(shí)突破】 1. （xx浙江省紹興市）如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C在⊙O上， =，∠AOB=60，則∠BDC的度數(shù)是（　　） A．60 B．45 C．35 D．30 2. （xx陜西）如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，則弦BC的長(zhǎng)為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（xx?浙江省舟山）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是（　?。? A．120 B．135 C．150 D．165 4．（xx山東聊城）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且=，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC．若∠ABC=105，∠BAC=25，則∠E的度數(shù)為（　?。? A．45 B．50 C．55 D．60 5.（xx?山東泰安）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60，⊙O的半徑為4，則AC的長(zhǎng)等于（　?。? A． 4 B． 6 C． 2 D． 8 6.（xx廣西百色）如圖，⊙O的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E，若∠C=25，則∠D=　 ?。? 7. （xx吉林）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAB=130，連接OC，點(diǎn)P是半徑OC上任意一點(diǎn)，連接DP，BP，則∠BPD可能為　 　度（寫出一個(gè)即可）． 8. （xx青海西寧）⊙O的半徑為1，弦AB=，弦AC=，則∠BAC度數(shù)為　 ?。? 9. （xx四川涼山州）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E，且． （1）求證：△ADC∽△EBA； （2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值． 【答案解析】 1.【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解． 2.【分析】首先過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案． 【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于D， 則BC=2BD， ∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補(bǔ)， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180， ∴∠BOC=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB==30， ∵⊙O的半徑為4， ∴BD=OB?cos∠OBC=4=2， ∴BC=4． 故選：B． 3.【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD=30，再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案． 故選：C． 4.【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=105， ∴∠ADC=180﹣∠ABC=180﹣105=75． ∵=，∠BAC=25， ∴∠DCE=∠BAC=25， ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75﹣25=50． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵． 5. 答案：A 分析： 首先連接OA，OC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由圓周角定理可求得∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而可在構(gòu)造的直角三角形中，根據(jù)勾股定理求得弦AC的一半，由此得解． 故選A． 6.【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù)，再由垂徑定理求出∠AED的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠C=25， ∴∠A=∠C=25． ∵⊙O的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E， ∴AB⊥CD， ∴∠AED=90， ∴∠D=90﹣25=65． 故答案為：65． 7.【分析】連接OB、OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠DOB的度數(shù)，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB． 【解答】解：連接OB、OD， ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAB=130， ∴∠DCB=180﹣130=50， 由圓周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100， ∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50＜∠BPD＜100， ∴∠BPD可能為80， 故答案為：80． 8.【分析】連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據(jù)垂徑定理求出AE、FA值，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出∠OAB和∠OAC，然后分兩種情況求出∠BAC即可． 【解答】解：有兩種情況： ∴∠OAE=30，∠OAF=45，∴∠BAC=30+45=75； ②如圖2所示： 連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∴∠OEA=∠OFA=90， 由垂徑定理得：AE=BE=，AF=CF=， cos∠OAE═=，cos∠OAF==， ∴∠OAE=30，∠OAF=45， ∴∠BAC=45﹣30=15； 故答案為：75或15． 9.【分析】（1）欲證△ADC∽△EBA，只要證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以．可以轉(zhuǎn)化為證明且就可以； （2）A是的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則AC=AB=8，根據(jù)△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義就可以求出結(jié)論．