2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第3章函數(shù)第16課時(shí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì).doc
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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第3章函數(shù)第16課時(shí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì).doc
2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第3章函數(shù)第16課時(shí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)
【精學(xué)】
考點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像
1、二次函數(shù)的概念
一般地,如果,那么y叫做x 的二次函數(shù)。
叫做二次函數(shù)的一般式。
2、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線,這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特征:
①有開口方向;②有對(duì)稱軸;③有頂點(diǎn)。
3、二次函數(shù)圖像的畫法
五點(diǎn)法:
(1)先根據(jù)函數(shù)解析式,求出頂點(diǎn)坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線畫出對(duì)稱軸
(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來,并向上或向下延伸,就得到二次函數(shù)的圖像。
當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí),描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像,可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,然后順次連接五點(diǎn),畫出二次函數(shù)的圖像。
考點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式
二次函數(shù)的解析式有三種形式:
(1)一般式:
(2)頂點(diǎn)式:
(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí),即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí),根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式,二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn),則不能這樣表示。
考點(diǎn)三、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1、二次函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
二次函數(shù)
圖像
a>0
a<0
性質(zhì)
(1)拋物線開口向上,并向上無限延伸;
(2)對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,);
(3)在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而減小;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而增大,簡記左減右增;
(4)拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x=時(shí),y有最小值,
(1)拋物線開口向下,并向下無限延伸;
(2)對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,);
(3)在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而增大;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而減小,簡記左增右減;
(4)拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x=時(shí),y有最大值,
2、二次函數(shù)中,的含義:
表示開口方向:>0時(shí),拋物線開口向上
<0時(shí),拋物線開口向下
與對(duì)稱軸有關(guān):對(duì)稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo):(0,)
考點(diǎn)四、二次函數(shù)圖象的平移變換
(1)具體步驟:
先利用配方法把二次函數(shù)化成的形式,確定其頂點(diǎn),然后做出二次函數(shù)的圖像,將拋物線平移,使其頂點(diǎn)平移到.具體平移方法如圖所示:
(2)平移規(guī)律:在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”.
【巧練】
題型一、二次函數(shù)圖象的平移
例1.(xx上海市)如果將拋物線向下平移1個(gè)單位,那么所得新拋物線的表達(dá)式是( ?。?
A. B.
C. D.
【答案】C.
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握函數(shù)“上加下減、左加右減”的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵。
題型二、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)
例2.(xx湖南懷化)二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是( ?。?
A.開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣4) B.開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)
C.開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4) D.開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣4)
【答案】A.
【解析】
例3.(xx?甘肅蘭州)點(diǎn)P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+c的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是( ?。?
A.y3>y2>y1 B.y3>y1=y2
C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn),其對(duì)稱軸為x=1,圖象開口向下,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知,P1(﹣1,y1)與(3,y1)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可判斷y1=y2>y3.
【解答】解:∵y=﹣x2+2x+c,
∴對(duì)稱軸為x=1,
P2(3,y2),P3(5,y3)在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知,P1(﹣1,y1)與(3,y1)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,
故y1=y2>y3,
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系,同時(shí)考查了函數(shù)的對(duì)稱性及增減性.
題型三、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
例4.(xx?常德)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正確的個(gè)數(shù)是( ?。?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】由二次函數(shù)的開口方向,對(duì)稱軸0<x<1,以及二次函數(shù)與y的交點(diǎn)在x軸的上方,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)等條件來判斷各結(jié)論的正誤即可.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小:當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口;②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置:當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右.(簡稱:左同右異)③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn). 拋物線與y軸交于(0,c).
題型四、二次函數(shù)與一次函數(shù)及反比例函數(shù)的結(jié)合
例5.(xx山東威海)已知二次函數(shù)y=﹣(x﹣a)2﹣b的圖象如圖所示,則反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是( )
B. C. D.
【答案】B.
【點(diǎn)評(píng)】同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的函數(shù)圖像問題,首先要對(duì)題干所給函數(shù)圖像判斷出參數(shù)的取值范圍,再根據(jù)該范圍對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選,排除法是最常用切有效的方法。掌握各類函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
【限時(shí)突破】
1.(xx?甘肅蘭州)二次函數(shù)y=x2﹣2x+4化為y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正確的是( ?。?
A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x﹣1)2+3 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x﹣2)2+4
2.(xx山東濱州)在平面直角坐標(biāo)系中,把一條拋物線先向上平移3個(gè)單位長度,然后繞原點(diǎn)選擇180得到拋物線y=x2+5x+6,則原拋物線的解析式是( ?。?
A.y=﹣(x﹣)2﹣ B.y=﹣(x+)2﹣
C.y=﹣(x﹣)2﹣ D.y=﹣(x+)2+
3.(xx?遼寧沈陽)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的圖象如圖所示,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),其中﹣3≤x1<x2≤0,則下列結(jié)論正確的是( )
A.y1<y2 B.y1>y2
C.y的最小值是﹣3 D.y的最小值是﹣4
4.(xx湖北襄陽)一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
5.(xx?煙臺(tái))二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.
其中正確的有( ?。?
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
6.(xx河南)已知A(0,3),B(2,3)是拋物線上兩點(diǎn),該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________.
7.(xx四川省涼山州)將拋物線先向下平移2個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為 .
8.(xx山東省菏澤市)如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180得到C3,交x軸于A3;…如此進(jìn)行下去,直至得到C6,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m= .
9.(xx河南)(10分)某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究,探究過程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下:
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…
其中,=____________.
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),并畫出了函數(shù)圖像的一部分,請(qǐng)畫出該圖像的另一部分.
(3)觀察函數(shù)圖像,寫出兩條函數(shù)的性質(zhì):
(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn):
①函數(shù)圖像與軸有__________個(gè)交點(diǎn),所以對(duì)應(yīng)方程有___________個(gè)實(shí)數(shù)根;
②方程有___________個(gè)實(shí)數(shù)根;
③關(guān)于的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,的取值范圍是_______________________
10.(xx山東淄博)(8分)如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).
(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
【答案解析】
1.【分析】根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)式函數(shù)解析式.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的形式你,配方法是解題關(guān)鍵.
2.【答案】A.
【解析】
試題分析:已知拋物線的解析式為y=x2+5x+6,它繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后變?yōu)閥=﹣x2+5x﹣6,即y=﹣(x﹣)2+,再向下平移3個(gè)單位長度的解析式為y=﹣(x﹣)2+﹣3=﹣(x﹣)2﹣.故答案選A.
3.【分析】根據(jù)拋物線解析式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)圖象的增減性進(jìn)行解答.
【解答】解:y=x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1),
則該拋物線與x軸的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是﹣3、1.
又y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1,﹣4),對(duì)稱軸為x=﹣1.
A、無法確定點(diǎn)A、B離對(duì)稱軸x=﹣1的遠(yuǎn)近,故無法判斷y1與y2的大小,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、無法確定點(diǎn)A、B離對(duì)稱軸x=﹣1的遠(yuǎn)近,故無法判斷y1與y2的大小,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、y的最小值是﹣4,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y的最小值是﹣4,故本選項(xiàng)正確.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的最值,解題時(shí),利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.
4.【答案】C.
【解析】
試題分析:由圖可知:,所以,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,排除D,由c>0,排除A,對(duì)稱軸>0,所以,排除B,故答案選C.
考點(diǎn):一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比函數(shù)的圖象及其性質(zhì).
5.【分析】根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可判斷①正確,根據(jù)x=﹣1,y<0,即可判斷②錯(cuò)誤,根據(jù)對(duì)稱軸x>1,即可判斷③正確,由此可以作出判斷.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)解決問題,屬于中考??碱}型.
6.【答案】(1,4).
【解析】
試題分析:把A(0,3),B(2,3)代入拋物線可得b=2,c=3,所以=,即可得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).
7.【答案】.
【解析】
試題分析:拋物線先向下平移2個(gè)單位,再向右平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為即,故答案為:.
8.【答案】﹣1.
【解析】
故答案為:一1.
考點(diǎn):1.二次函數(shù)圖象與幾何變換;2.拋物線與x軸的交點(diǎn);3.規(guī)律型
9.【答案】(1)0;(2)圖見解析;(3)答案不唯一,合理即可;(4)①3,3;②2;③-1<a<0.
【解析】
試題分析:(1)觀察表格,根據(jù)對(duì)稱性即可得m=0;(2)根據(jù)表格描點(diǎn),畫出圖象即可,(3)觀察圖象,寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)即可,可從函數(shù)的最值,增減性,圖象的對(duì)稱性等方面闡述,答案不唯一,合理即可,(4)①觀察函數(shù)圖像可得函數(shù)圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn),所以對(duì)應(yīng)方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根,②由圖象可知,函圖像與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根,③方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,說明函數(shù)的圖象與直線y=a有4個(gè)交點(diǎn),由此可得a的取值范圍是一1<a<0.
試題解析:(1)0;
(正確補(bǔ)全圖象);
(可從函數(shù)的最值,增減性,圖象的對(duì)稱性等方面闡述,答案不唯一,合理即可);
(4)①3,3;②2;③-1<a<0.
10.【答案】(1)y=x2+2x+1;(2)y=2x+2.
【解析】
試題解析:
(1).’拋物線與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A,
..,解得..拋物線解析式為,
(2).’
..頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一1,0),
.點(diǎn)c是線段AB的中點(diǎn),
即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱,
..B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,
設(shè)直線朋的解析式為y=kx+b.,
把A(-1,,0),B(1,4)代入得,解得,
..直線AB的解析式為y=2x+2.
考點(diǎn):待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.