2019年高考數(shù)學試題分類匯編 C單元 三角函數(shù)（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學試題分類匯編 C單元 三角函數(shù)（含解析） C1 角的概念及任意角的三角函數(shù) 2 C2 同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式 2 C3 三角函數(shù)的圖象與性質 2 C4　函數(shù)的圖象與性質 2 C5 兩角和與差的正弦、余弦、正切 2 C6 二倍角公式 2 C7 三角函數(shù)的求值、化簡與證明 2 C8　解三角形 2 C9 單元綜合 2 C1 角的概念及任意角的三角函數(shù) 【文浙江效實中學高二期末xx】1．已知角的終邊與單位圓相交于點，則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】三角函數(shù)的定義 【答案解析】D解析：解：，所以選D. 【思路點撥】一般知道角的終邊位置求角的三角函數(shù)值，可用定義法解答. 【理浙江效實中學高二期末`xx】11．若的終邊所在直線經(jīng)過點，則__ ▲ _． 【知識點】三角函數(shù)定義 【答案解析】解析：解：由已知得直線經(jīng)過二、四象限，若的終邊在第二象限，因為點P到原點的距離為1，則，若的終邊在第四象限，則的終邊經(jīng)過點P關于原點的對稱點，所以，綜上可知 sinα=. 【思路點撥】一般已知角的終邊位置求角的三角函數(shù)值通常利用三角函數(shù)的定義求值，本題應注意所求角終邊所在的象限有兩個. 【吉林一中高一期末xx】21. 利用三角函數(shù)線證明：|sinα|＋|cosα|≥1. 【知識點】三角函數(shù)線的定義和應用. 【答案解析】見解析 解析 ：解：證明：當角α的終邊在坐標軸上時，正弦線(余弦線)變成一個點，而余弦線(正弦線)的長等于r(r＝1)， 所以|sinα|＋|cosα|＝1.當角α的終邊落在四個象限時，設角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，過P作PM⊥x軸于點M(如圖)， 則|sinα|＝|MP|，|cosα|＝|OM|，利用三角形兩邊之和大于第三邊有：|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|>1， 綜上有|sinα|＋|cosα|≥1. 【思路點撥】分兩種情況：當角α的終邊在坐標軸上時，|sinα|＋|cosα|＝1. 當角α的終邊落在四個象限時，利用三角形兩邊之和大于第三邊可得|sinα|＋|cosα|>1，綜合兩種情況即可得到證明. C2 同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式 【重慶一中高一期末xx】【學生時代讓人頭疼的各種符號】 α 阿爾法 β 貝塔 γ 伽瑪 δ 德爾塔 ε 伊普西隆 ζ 澤塔 η 伊塔 θ 西塔 ι 約塔 κ 卡帕 λ 蘭姆達 μ 米歐 ν 紐 ξ 克西 ο 歐米克隆 π 派 ρ 柔 σ 西格瑪 τ 陶 υ 玉普西隆 φ 弗愛 χ 凱 ψ 普賽 ，大家還能讀出多少呢？讀不出來的請默默轉回去復習。 【重慶一中高一期末xx】11. 在△中，角所對的邊分別為，已知，，．則= . 【知識點】余弦定理;特殊角的三角函數(shù)值. 【答案解析】解析 ：解：∵，，， ∴由余弦定理得：，則b=． 故答案為： 【思路點撥】利用余弦定理列出關系式，將a，c及cosB代入計算即可求出b的值． 【浙江寧波高一期末xx】18.（本題滿分14分） (Ⅰ)已知，，求的值； (Ⅱ)已知，，，求的值. 【知識點】同角三角函數(shù)基本關系；三角恒等變形. 【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析 ：解：（1）法1∵，兩邊平方得，……3分∴…..4分 又∵，∴，，∴，……………6分 ∴； 7分 法2：∵，兩邊平方得，……………3分 因為，，所以，, ……5分 . ………………………………………………7分 （2）因為且，所以， ……………………………9分 因為，所以， 又,所以，所以，……11分 所以.……………………………14分 【思路點撥】（1）根據(jù)結合已知條件可知，只需求得的值即可，因此可以考慮將已知等式兩邊平方，得到，從而，再由可知，從而得到結果；（2）已知條件中給出了與的三角函數(shù)值，結合問題，考慮到，因此考慮采用兩角和的正切公式進行求解，利用同角三角函數(shù)的基本關系，結合已知條件中給出的角的范圍易得，，進而求得結果. 【文浙江效實中學高二期末xx】21．在中，、、分別為內角所對的邊，且滿足: 第21題圖 ． (1) 證明：； (2) 如圖，點是外一點，設， ，當時，求平面四邊形面積的最大值． 【知識點】正弦定理、余弦定理、三角形面積公式 【答案解析】B解析：解： （1）證明：由已知得： ， （2）由余弦定理得，則= ，當即時， 【思路點撥】再解三角形問題時，恰當?shù)睦谜叶ɡ砘蛴嘞叶ɡ磉M行邊角的轉化是解題的關鍵.在求三角形的面積時，若已知內角，可考慮用含夾角的面積公式進行計算. 【文浙江效實中學高二期末xx】19．中，內角的對邊分別為，已知，求和． 【知識點】余弦定理、正弦定理 【答案解析】； 解析：解：由余弦定理得， 即，又sinC=，由c＜a，得C＜A，所以C為銳角，則，所以B=180－C－A=75. 【思路點撥】在解三角形問題中，結合已知條件恰當?shù)倪x擇余弦定理或正弦定理進行轉化是解題的關鍵. 【文浙江效實中學高二期末xx】2．若是第二象限角，且，則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式 【答案解析】D解析：解：因為，得tanα=－，而 －sinα＜0，所以排除A、C，由正切值可知該角不等于，則排除B，所以選D 【思路點撥】遇到三角函數(shù)問題，有誘導公式特征的應先用誘導公式進行化簡，能用排除法解答的優(yōu)先用排除法解答. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】11．的值等于__________； 【知識點】誘導公式. 【答案解析】解析 ：解：由誘導公式可得：，故答案為：. 【思路點撥】直接使用誘導公式化簡在求值即可. 【文四川成都高三摸底xx】11．已知a∈，則 。 【知識點】誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式. 【答案解析】解析：解：因為，所以. 【思路點撥】在三角求值中有誘導公式特征的應先用誘導公式化簡，本題先化簡再利用同角三角函數(shù)中的余弦和正弦的平方關系計算，注意開方時要結合角所在的象限確定開方的符號. 【理浙江效實中學高二期末`xx】20．已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）記函數(shù)，若，求函數(shù)的值域． 【知識點】三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質的應用 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：解： （Ⅰ）因為，所以 ； （Ⅱ） ∵ ∴ ∴ 所以的值域為 【思路點撥】研究三角函數(shù)的性質，一般先利用三角恒等變換把函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)，再進行解答. 【理浙江效實中學高二期末`xx】19．中，內角的對邊分別為，已知，求和． 【知識點】余弦定理、正弦定理 【答案解析】； 解析：解：由余弦定理得， 即，又sinC=，由c＜a，得C＜A，所以C為銳角，則，所以B=180－C－A=75. 【思路點撥】在解三角形問題中，結合已知條件恰當?shù)倪x擇余弦定理或正弦定理進行轉化是解題的關鍵. 【理浙江效實中學高二期末`xx】6．已知，且，則的值為 （A） （B）或 （C） （D）或 【知識點】同角三角函數(shù)基本關系式、三角函數(shù)的性質 【答案解析】C解析：解：因為0＜＜1，而，得，所以，則選C 【思路點撥】熟悉的值與其角θ所在象限的位置的對應關系是本題解題的關鍵. 【理浙江效實中學高二期末`xx】2．若是第二象限角，且，則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式 【答案解析】D解析：解：因為，得tanα=－，而 －sinα＜0，所以排除A、C，由正切值可知該角不等于，則排除B，所以選D 【思路點撥】遇到三角函數(shù)問題，有誘導公式特征的應先用誘導公式進行化簡，能用排除法解答的優(yōu)先用排除法解答. 【理浙江紹興一中高二期末xx】11．的值等于 ▲ ． 【知識點】誘導公式. 【答案解析】解析 ：解：由誘導公式可得：，故答案為：. 【思路點撥】直接使用誘導公式化簡在求值即可. 【理浙江寧波高二期末`xx】18.(本題滿分14分)已知函數(shù). （I）求函數(shù)的最小正周期； （II）在中,若角的值. 【知識點】誘導公式；最小正周期；正弦定理. 【答案解析】（I）（II） 解析 ：解：（I）因為= ………………………5分 所以函數(shù)的最小正周期為， （Ⅱ）由(I)得， 由已知，，又角C為銳角，所以 ……………11分 有正弦定理得 ……………14分 【思路點撥】（I）先把原函數(shù)式化簡整理得再利用公式即可；（Ⅱ）先解出，進而可得C的值，再利用正弦定理可求的結果. 【理四川成都高三摸底xx】11．已知a∈，則 。 【知識點】誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式. 【答案解析】解析：解：因為，所以. 【思路點撥】在三角求值中有誘導公式特征的應先用誘導公式化簡，本題先化簡再利用同角三角函數(shù)中的余弦和正弦的平方關系計算，注意開方時要結合角所在的象限確定開方的符號. 【理吉林長春十一中高二期末xx】17.（滿分12分）在中，角所對的邊分別為，已知， （Ⅰ）求的大??； （Ⅱ）若，求的取值范圍. 【知識點】正弦定理;余弦定理. 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）由已知條件結合正弦定理有：，從而： ， （Ⅱ）由正弦定理得：， ，即： 【思路點撥】（Ⅰ）由條件結合正弦定理得，， 求得tanA＝，可得A的值． （Ⅱ）由正弦定理得：,從而得到的解析式，然后求出其取值范圍． 【理吉林長春十一中高二期末xx】5.設的內角所對邊的長分別為，若，，則角（　?。? A. B. C. D. 【知識點】余弦定理；正弦定理． 【答案解析】A解析 ：解：∵的內角所對邊的長分別為，由，， 結合正弦定理可得，化簡可得 ． 再由余弦定理可得，故， 故選B． 【思路點撥】由條件利用正弦定理可得，再由余弦定理求得的值，即可求得角C的值． 【典型總結】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，已知三角函數(shù)值求角的大?。? 【黑龍江哈六中高一期末xx】15．已知分別為的三個內角的對邊，，且，則面積的最大值為 【知識點】正弦定理的應用;基本不等式. 【答案解析】解析 ：解：△ABC中，∵，且 ∴利用正弦定理可得即． 再利用基本不等式可得，∴，當且僅當時取等號， 此時，△ABC為等邊三角形，它的面積為=22=， 故答案為：． 【思路點撥】由條件利用正弦定理可得;再利用基本不等式可得，當且僅當時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積的值． 【黑龍江哈六中高一期末xx】4．鈍角三角形的面積是，，，則( ) （A）5 （B） （C）2 （D）1 【知識點】余弦定理；三角形面積公式；以及同角三角函數(shù)間的基本關系. 【答案解析】B解析 ：解：∵鈍角三角形ABC的面積是，，， ∴，即， 當B為鈍角時，， 利用余弦定理得：，即， 當B為銳角時，， 利用余弦定理得：，即， 此時，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去， 則. 故選：B． 【思路點撥】利用三角形面積公式列出關系式，將已知面積，AB，BC的值代入求出的值，分兩種情況考慮：當B為鈍角時；當B為銳角時，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出的值，利用余弦定理求出AC的值即可． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】2．的值為 （ ） A． B． C． D．－ 【知識點】兩角和與差的余弦函數(shù)． 【答案解析】A解析 ：解： . 故選A． 【思路點撥】由題意知本題是一個三角恒等變換，解題時注意觀察式子的結構特點，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系，把的正弦變?yōu)榈挠嘞遥训挠嘞易優(yōu)榈恼?，根?jù)兩角和的余弦公式逆用，得到特殊角的三角函數(shù)，得到結果． 【典型總結】本題考查兩角和與差的公式，是一個基礎題，解題時有一個整理變化的過程，把式子化歸我可以直接利用公式的形式是解題的關鍵，熟悉公式的結構是解題的依據(jù)． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】1．若為第三象限，則的值為 （ ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【知識點】同角三角函數(shù)的基本關系；平方關系. 【答案解析】B解析 ：解：∵為第三象限，∴， 則=． 故選B． 【思路點撥】對于根號內的三角函數(shù)式，通過平方關系去掉根號，注意三角函數(shù)值的正負號，最后化簡即得． 【福建南安一中高一期末xx】21. 在△中，角所對的邊分別為，已知． （1）求的值； （2）若，，求△的面積. 【知識點】正弦定理，余弦定理，三角形面積公式 【答案解析】（1）2；（2） 解析：解： （1）由正弦定理，設 則 所以 即， 化簡可得 又，所以 因此 （2）由得由余弦定理 解得=1。因此c=2 又因為，且，所以 因此 【思路點撥】在解三角形問題中，一般遇到邊角混合條件可先考慮利用正弦定理或余弦定理把條件轉化為單一的角的關系或單一的邊的關系再進行解答；在求三角形面積時，若已知一內角可考慮用含夾角的面積公式進行計算. 【福建南安一中高一期末xx】17．在△中，角所對的邊分別為，已知,，． （1）求的值； （2）求的值. 【知識點】余弦定理，正弦定理 【答案解析】（1）；（2）解析：解：（1）由余弦定理得，所以； （2）因為，由正弦定理 ，即 . 【思路點撥】三角形已知兩邊及夾角的余弦求第三邊用余弦定理，已知兩邊及一邊所對角的正弦，求另一邊所對角的正弦值用正弦定理. 【福建南安一中高一期末xx】9. 已知兩座燈塔A、B與C的距離都是，燈塔A在C的北偏東20，燈塔B在C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為 ( ) A． B. C. D． 【知識點】利用余弦定理解三角形 【答案解析】D 解析：解：因為燈塔A在C的北偏東20，燈塔B在C的南偏東40，所以∠ACB=120，由余弦定理得，則，所以選D. 【思路點撥】根據(jù)A、B與C的方位角及距離，把三個點放在三角形中，已知兩邊及其夾角求第三邊，用余弦定理求AB距離. 【福建南安一中高一期末xx】8. 在△中，角所對的邊分別為.若，則( ) A．－ B. C．－ D. 【知識點】余弦定理、三角形內角和公式、誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式 【答案解析】B 解析：解：因為，所以，，則sin(B+C)=sinA=，所以選B. 【思路點撥】結合余弦定理可由條件直接得出cosA，再利用角形內角和公式、誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式進行計算. 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】18. （本題滿分12分）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，，， （1）求B； （2）若△ABC的面積S＝，＝4，求邊的長度. 【知識點】正弦、余弦定理;三角形面積公式. 【答案解析】（1）B＝120（2） 解析 ：解：(1)因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理得cos B＝＝－， 因此B＝120. ……………………………………………………………6分 (2)由S＝ac sin B＝ac＝ac＝4 ，得ac＝16，又a＝4，知c＝4. ……8分 所以A=C=300, 由正弦定理得b=＝4 .………………… ………12分 【思路點撥】（1）利用余弦定理表示出cosB，已知等式整理后代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；（2）利用三角形面積公式列出關系式，將sinB與a的值代入求出c的值，再利用等邊對等角確定出A=C，由正弦定理即可求出b的值． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】12．若，，則___▲___ 【知識點】平方關系；誘導公式. 【答案解析】解析 ：解： 由化簡得，又因為， 所以，故答案為. 【思路點撥】先利用誘導公式化簡得到，再用平方關系計算即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】18．（本題12分）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且滿足． （Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求bc最大值。 【知識點】余弦定理；正弦定理. 【答案解析】（Ⅰ）A=（Ⅱ）3 解析 ：解：（Ⅰ）△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得cosA==， ∴A=． （Ⅱ）若a=，∵b2+c2﹣a2=bc≥2bc﹣a2=2bc﹣3，∴bc≤3，當且僅當b=c時取等號， 故bc最大值為3． 【思路點撥】（Ⅰ）△ABC中，由條件利用余弦定理可得cosA=，從而求得A的值． （Ⅱ）由a=，b2+c2﹣a2=bc，利用基本不等式求得bc≤3，從而得到bc最大值． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】10．銳角三角形ABC中，內角的對邊分別為，若，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【知識點】正弦定理. 【答案解析】B 解析 ：解：銳角△ABC中，由于A=2B，∴0＜2B＜90，且2B+B＞90， ∴30＜B＜45，∴． 由正弦定理可得===2cosB， ∴＜2cosB＜， 故選B． 【思路點撥】由條件求得30＜B＜45，，再利用正弦定理可得==2cosB，從而求得的范圍． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】18. （本題滿分12分）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，，， （1）求B； （2）若△ABC的面積S＝，＝4，求邊的長度. 【知識點】正弦、余弦定理;三角形面積公式. 【答案解析】（1）B＝120（2） 解析 ：解：(1)因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理得cos B＝＝－， 因此B＝120. ……………………………………………………………6分 (2)由S＝ac sin B＝ac＝ac＝4 ，得ac＝16，又a＝4，知c＝4. ……8分 所以A=C=300, 由正弦定理得b=＝4 .………………… ………12分 【思路點撥】（1）利用余弦定理表示出cosB，已知等式整理后代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；（2）利用三角形面積公式列出關系式，將sinB與a的值代入求出c的值，再利用等邊對等角確定出A=C，由正弦定理即可求出b的值． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】12．若，，則___▲___ 【知識點】平方關系；誘導公式. 【答案解析】解析 ：解： 由化簡得，又因為， 所以，故答案為. 【思路點撥】先利用誘導公式化簡得到，再用平方關系計算即可. 【江西鷹潭一中高一期末xx】18．（本題12分）在中，分別為角的對邊，且滿足． （Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求bc最大值． 【知識點】余弦定理；正弦定理. 【答案解析】（Ⅰ）A=（Ⅱ）3 解析 ：解：（Ⅰ）△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得cosA==， ∴A=． （Ⅱ）若a=，∵b2+c2﹣a2=bc≥2bc﹣a2=2bc﹣3，∴bc≤3，當且僅當b=c時取等號， 故bc最大值為3． 【思路點撥】（Ⅰ）△ABC中，由條件利用余弦定理可得cosA=，從而求得A的值． （Ⅱ）由a=，b2+c2﹣a2=bc，利用基本不等式求得bc≤3，從而得到bc最大值． 【江西鷹潭一中高一期末xx】10．銳角三角形ABC中，內角的對邊分別為，若，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【知識點】正弦定理. 【答案解析】B 解析 ：解：銳角△ABC中，由于A=2B，∴0＜2B＜90，且2B+B＞90， ∴30＜B＜45，∴． 由正弦定理可得===2cosB， ∴＜2cosB＜， 故選B． 【思路點撥】由條件求得30＜B＜45，，再利用正弦定理可得==2cosB，從而求得的范圍． C3 三角函數(shù)的圖象與性質 【浙江寧波高一期末xx】8.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心是點，則函數(shù)＝的圖象的一條對稱軸是直線 【知識點】正弦函數(shù)的對稱中心；正弦函數(shù)的對稱軸. 【答案解析】D解析 ：解：因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心是點，所以即解得， 故，整理得：，所以對稱軸直線方程為，當時，一條對稱軸是直線. 故選D. 【思路點撥】先通過圖像的一個對稱中心是點求出，再代入g(x)即可求出其對稱軸. 【文浙江效實中學高二期末xx】20．已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）記函數(shù)，若，求函數(shù)的值域． 【知識點】三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質的應用 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：解： （Ⅰ）因為，所以 ； （Ⅱ） ∵ ∴ ∴ 所以的值域為 【思路點撥】研究三角函數(shù)的性質，一般先利用三角恒等變換把函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)，再進行解答. 【文浙江效實中學高二期末xx】12．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是__ ▲ _． 【知識點】余弦函數(shù)的性質 【答案解析】解析：解：因為，由，所以所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間為. 【思路點撥】一般求三角函數(shù)的單調區(qū)間，先把三角函數(shù)化成一個角的函數(shù)，再結合其對應的基本三角函數(shù)的單調區(qū)間與復合函數(shù)的單調性規(guī)律解答. 【文浙江效實中學高二期末xx】7．已知，且，則的值為 （A） （B）或 （C） （D）或 【知識點】同角三角函數(shù)基本關系式、三角函數(shù)的性質 【答案解析】C解析：解：因為0＜＜1，而，得，所以，則選C 【思路點撥】熟悉的值與其角θ所在象限的位置的對應關系是本題解題的關鍵. 【文浙江效實中學高二期末xx】4．下列函數(shù)中最小正周期是的函數(shù)是 （A） （B） （C） （D） 【知識點】三角函數(shù)的最小正周期 【答案解析】C解析：解：A、B選項由化一公式可知最小正周期為2π，C選項把絕對值內的三角函數(shù)化成一個角，再結合其圖象可知最小正周期為π，D選項可驗證為其一個周期，綜上可知選C. 【思路點撥】求三角函數(shù)的最小正周期常用方法有公式法和圖象法，公式法就是把三角函數(shù)利用三角公式化成一個角的三角函數(shù)，再利用公式計算，當化成一個角的三角函數(shù)不方便時，如絕對值函數(shù)，可用圖象觀察判斷. 【文廣東惠州一中高三一調xx】16．（本小題滿分12分）設函數(shù) （1）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調遞增區(qū)間; （2）當,且時,求的值. 【知識點】三角函數(shù)的值域；三角函數(shù)的單調區(qū)間；三角函數(shù)求值. 【答案解析】（1）函數(shù)的值域是；單調增區(qū)間為.（2）. 解析 ：解：依題意 ………2分 （1） 函數(shù)的值域是； ………4分 令，解得 ………7分 所以函數(shù)的單調增區(qū)間為. ………8分 （2）由得, 因為所以得, ………10分 ………12分 【思路點撥】（1）把原式化簡直接求值域與單調區(qū)間即可；（2）先由已知條件得到,再利用二倍角的正弦公式即可. 【理浙江效實中學高二期末`xx】4．下列函數(shù)中最小正周期是的函數(shù)是 （A） （B） （C） （D） 【知識點】三角函數(shù)的最小正周期 【答案解析】C解析：解：A、B選項由化一公式可知最小正周期為2π，C選項把絕對值內的三角函數(shù)化成一個角，再結合其圖象可知最小正周期為π，D選項可驗證為其一個周期，綜上可知選C. 【思路點撥】求三角函數(shù)的最小正周期常用方法有公式法和圖象法，公式法就是把三角函數(shù)利用三角公式化成一個角的三角函數(shù)，再利用公式計算，當化成一個角的三角函數(shù)不方便時，如絕對值函數(shù)，可用圖象觀察判斷. 【文吉林一中高二期末xx】6. 已知函數(shù)f（x）＝lnx＋tanα（α∈（0，））的導函數(shù)為，若使得＝成立的＜1，則實數(shù)α的取值范圍為（ ） A．（，） B．（0，） C．（，） D．（0，） 【知識點】導數(shù)的運算法則;對數(shù)函數(shù);正切函數(shù)的單調性;導數(shù)的運算． 【答案解析】A 解析 ：解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0）， ∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故選：A． 【思路點撥】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出． 【文吉林一中高二期末xx】5. 函數(shù)的部分圖像可能是（ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)圖象的識別和判斷. 【答案解析】D 解析 ：解：∵是奇函數(shù)， ∴圖象關于原點對稱，∴排除A． ∵函數(shù)的導數(shù)為∴函數(shù)在R上單調遞增，∴排除C． ∵∴排除B， 故選：D． 【思路點撥】利用函數(shù)的奇偶性，單調性和特殊點的函數(shù)值的對應性進行排除． 【浙江寧波高一期末xx】11.求值： ___________. 【知識點】誘導公式；兩角和的正弦公式. 【答案解析】解析 ：解：==. 故答案為; . 【思路點撥】先用誘導公式轉化，然后利用兩角和的正弦公式化簡求職即可. 【文江蘇揚州中學高二期末xx】16．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)的最小正周期為． ⑴求函數(shù)的對稱軸方程； ⑵設，，求的值． 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；兩角和與差的余弦函數(shù)． 【答案解析】⑴⑵ 解析 ：解：⑴由條件可知，， ……4分 則由為所求對稱軸方程； ……7分 ⑵， 因為，所以， ，因為，所以 … …11分 ． ……14分 【思路點撥】（1）由周期求得，由，求得對稱軸方程． （2）由，, ，可得sinα 的值，可得cosα的值．由 ，求得cosβ的值，可得sinβ 的值，從而求得 cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ 的值． 【文江蘇揚州中學高二期末xx】8．函數(shù)的值域為 ▲ ． 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)． 【答案解析】 解析 ：解：f（x）=sinx﹣cosx==， ∵∈[﹣1，1]．∴． ∴函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx的值域為． 故答案為：． 【思路點撥】由f（x）=sinx﹣cosx=，即可得出． 【理浙江效實中學高二期末`xx】12．已知在中，，則角__ ▲ _． 【知識點】兩角和的正切公式 【答案解析】解析：解：由得，又C為三角形內角，所以C=60 【思路點撥】一般遇到兩角的正切和與正切積的關系，可考慮利用兩角和的正切公式進行轉化. C3 13．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是__ ▲ _． 【知識點】余弦函數(shù)的性質 【答案解析】解析：解：因為，由，所以所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間為. 【思路點撥】一般求三角函數(shù)的單調區(qū)間，先把三角函數(shù)化成一個角的函數(shù)，再結合其對應的基本三角函數(shù)的單調區(qū)間與復合函數(shù)的單調性規(guī)律解答. 【理江蘇揚州中學高二期末xx】16．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)的最小正周期為． ⑴求函數(shù)的對稱軸方程； ⑵設，，求的值． 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；兩角和與差的余弦函數(shù)． 【答案解析】⑴⑵ 解析 ：解：⑴由條件可知，， ……4分 則由為所求對稱軸方程； ……7分 ⑵， 因為，所以， ，因為，所以 … …11分 ． ……14分 【思路點撥】（1）由周期求得，由，求得對稱軸方程． （2）由，, ，可得sinα 的值，可得cosα的值．由 ，求得cosβ的值，可得sinβ 的值，從而求得 cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ 的值． 【理江蘇揚州中學高二期末xx】8．函數(shù)的值域為 ▲ ． 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)． 【答案解析】 解析 ：解：f（x）=sinx﹣cosx==， ∵∈[﹣1，1]．∴． ∴函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx的值域為． 故答案為：． 【思路點撥】由f（x）=sinx﹣cosx=，即可得出． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】17. (本小題8分) 已知,且,，求. 【知識點】兩角差的正弦公式；平方關系. 【答案解析】 解析 ：解：∵，. ..............................2分 又∵, 又,∴, , .............................4分 ∴ . ...............................8分 【思路點撥】先利用求出與的值，再結合已知條件以及的值求出的范圍，就可以得到，代入到的展開式中即可. 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】16.已知,且為銳角,則______. 【知識點】兩角和與差的正弦余弦正切；同角三角函數(shù)的基本關系式；正弦余弦函數(shù)的誘導公式及其運用；考查正弦函數(shù)的單調性. 【答案解析】解析 ：解：,兩式平方相加得：，∵為銳角，， ∴，， ∴． 故答案為． 【思路點撥】兩式平方相加可求得，繼而可結合已知條件求得，即可求得． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】9.已知，則的值是 （ ） A． B． C． D． 【知識點】兩角和與差的正弦公式；誘導公式. 【答案解析】C解析 ：解：由化簡可得，， 則. 故選：C. 【思路點撥】先把原等式化簡，再利用誘導公式即可求值. 【吉林一中高一期末xx】10. 若函數(shù)對任意實數(shù)，都有，記，則（ ） A. B. C. D.1 【知識點】三角函數(shù)的圖象和性質; 正弦函數(shù)的對稱性． 【答案解析】C 解析 ：解：∵對任意實數(shù)均有， ∴x=是函數(shù)f（x）的對稱軸， 即則g（）=Acos（）-1=Acos（）-1=-1，k∈Z，故選C. 【思路點撥】根據(jù)條件得到f（x）的對稱軸，利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)對稱軸之間的關系即可得到結論． C4　函數(shù)的圖象與性質 【文浙江效實中學高二期末xx】6．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象 （A）向右平移個單位長度 （B）向右平移個單位長度 （C）向左平移個單位長度 （D）向左平移個單位長度 【知識點】函數(shù)圖象的應用，圖象的平移變換. 【答案解析】C解析：解：由圖象得A=1，又函數(shù)的最小正周期為，所以，將最小值點代入函數(shù)得，解得，又，則，顯然函數(shù)f（x）是用換x得到，所以是將的圖象向左平移了個單位，選C. 【思路點撥】由三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，關鍵是理解A，ω，φ與函數(shù)圖象的對應關系，判斷函數(shù)圖象的左右平移就是判斷函數(shù)解析式中x的變化. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】5．將函數(shù)y＝cos2x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的2倍（縱坐標不變），得到的函數(shù)解析式為（ ） A．y＝sinx B．y＝－cos4x C．y＝sin4x D．y＝cosx 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換. 【答案解析】A解析 ：解：函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)y=cos2（x-）=sin2x的圖象；再將所得圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象對應函數(shù)解析式為y=sinx， 故選：A． 【思路點撥】根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論． 【文浙江寧波高二期末xx】7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點的 橫坐標縮短到原來的倍，所得圖象關于直線對稱，則的最小正值為（ ） A． B． C． D． 【知識點】三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律;三角函數(shù)的圖象與性質． 【答案解析】C解析 ：解：將函數(shù)的圖象向右平移φ個單位所得圖象的解析式再將圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的倍所得圖象的解析式因為所得圖象關于直線對稱，所以當時函數(shù)取得最值，所以整理得出當k=0時，φ取得最小正值為． 故選：C． 【思路點撥】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出圖象的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質，當時函數(shù)取得最值，列出關于φ的不等式，討論求解即可． 【文四川成都高三摸底xx】8．已知函數(shù)f（x）=的圖象與直線y= -2的兩個相鄰公共點之間的距離等于x，則f（x）的單調遞減區(qū)間是 （A）,k∈z （B）,k∈z （C）,k∈z （D）,k∈z 【知識點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質 【答案解析】A解析：解：因為，則圖象與直線y= -2的兩個相鄰公共點之間的距離等于一個周期，所以，得ω=2，由，得，所以其單調遞減區(qū)間是,k∈z 選A. 【思路點撥】注意該題中直線y=－2的特殊性：－2正好為函數(shù)的最小值，所以其與函數(shù)的兩個相鄰公共點之間的距離等于函數(shù)的最小正周期. 【文江蘇揚州中學高二期末xx】18．（本小題滿分16分） 如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在y軸左側的觀光道曲線段是函數(shù)，時的圖象且最高點B（-1，4），在y軸右側的曲線段是以CO為直徑的半圓?。? ⑴試確定A，和的值； ⑵現(xiàn)要在右側的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點C與半圓弧上的一點D之間設計為直線段（造價為2萬元/米），從D到點O之間設計為沿半圓弧的弧形（造價為1萬元/米）．設(弧度)，試用來表示修建步行道的造價預算，并求造價預算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度） 4 -1 D -4 【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 【答案解析】⑴⑵在時取極大值，也即造價預算最大值為（）萬元． 解析 ：解：⑴因為最高點B（-1，4），所以A=4；又， -1 E 2 4 D F 所以， 因為 ……5分 代入點B（-1，4），， 又； ……8分 ⑵由⑴可知：，得點C即， 取CO中點F，連結DF，因為弧CD為半圓弧，所以， 即 ，則圓弧段造價預算為萬元， 中，，則直線段CD造價預算為萬元， 所以步行道造價預算，． ……13分 由得當時，， 當時，，即在上單調遞增； 當時，，即在上單調遞減 所以在時取極大值，也即造價預算最大值為（）萬元．……16分 【思路點撥】（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值． （2）由題意可得，取CO中點F，求得圓弧段造價預算為萬元，直線段CD造價預算為萬元，可得步行道造價預算， 再利用導數(shù)求出函數(shù)g（θ）的單調性，從而求得g（θ）的最大值． 【理浙江效實中學高二期末`xx】5．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象 （A）向右平移個單位長度 （B）向右平移個單位長度 （C）向左平移個單位長度 （D）向左平移個單位長度 【知識點】函數(shù)圖象的應用，圖象的平移變換. 【答案解析】B解析：解：由圖象得A=1，又函數(shù)的最小正周期為，所以，將最小值點代入函數(shù)得，解得，又，則，顯然是函數(shù)f（x）用換x得到，所以是將的圖象向右平移了個單位，選B. 【思路點撥】由三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，關鍵是理解A，ω，φ與函數(shù)圖象的對應關系，判斷函數(shù)圖象的左右平移就是判斷函數(shù)解析式中x的變化. 【理浙江紹興一中高二期末xx】6． 函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能的值為 A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；考查三角函數(shù)的奇偶性. 【答案解析】A解析 ：解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 則f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）， ∵f（x+）為偶函數(shù)，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z， ∴當k=0時，φ=．故φ的一個可能的值為． 故選A． 【思路點撥】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案． 【理四川成都高三摸底xx】8．已知函數(shù)f（x）=的圖象與直線y= -2的兩個相鄰公共點之間的距離等于π，則f（x）的單調遞減區(qū)間是 （A）,k∈z （B）,k∈z （C）,k∈z （D）,k∈z 【知識點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質 【答案解析】A解析：解：因為，則圖象與直線y= -2的兩個相鄰公共點之間的距離等于一個周期，所以，得ω=2，由，得，所以其單調遞減區(qū)間是,k∈z 選A. 【思路點撥】注意該題中直線y=－2的特殊性：－2正好為函數(shù)的最小值，所以其與函數(shù)的兩個相鄰公共點之間的距離等于函數(shù)的最小正周期 【理江蘇揚州中學高二期末xx】18．（本小題滿分16分） 4 -1 D -4 如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在y軸左側的觀光道曲線段是函數(shù)，時的圖象且最高點B（-1，4），在y軸右側的曲線段是以CO為直徑的半圓?。? ⑴試確定A，和的值； ⑵現(xiàn)要在右側的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點C與半圓弧上的一點D之間設計為直線段（造價為2萬元/米），從D到點O之間設計為沿半圓弧的弧形（造價為1萬元/米）．設(弧度)，試用來表示修建步行道的造價預算，并求造價預算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度） 【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 【答案解析】⑴⑵在時取極大值，也即造價預算最大值為（）萬元． 解析 ：解：⑴因為最高點B（-1，4），所以A=4；又， -1 E 2 4 D F 所以， 因為 ……5分 代入點B（-1，4），， 又； ……8分 ⑵由⑴可知：，得點C即， 取CO中點F，連結DF，因為弧CD為半圓弧，所以， 即 ，則圓弧段造價預算為萬元， 中，，則直線段CD造價預算為萬元， 所以步行道造價預算，． ……13分 由得當時，， 當時，，即在上單調遞增； 當時，，即在上單調遞減 所以在時取極大值，也即造價預算最大值為（）萬元．……16分 【思路點撥】（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值． （2）由題意可得，取CO中點F，求得圓弧段造價預算為萬元，直線段CD造價預算為萬元，可得步行道造價預算， 再利用導數(shù)求出函數(shù)g（θ）的單調性，從而求得g（θ）的最大值． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】14. 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如下圖所示，則f()＝　　　　； 【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；兩角和與差的正弦函數(shù)． 【答案解析】解析 ：解：根據(jù)圖象可知所以， 因為，所以， 當時，，即，可得， 所以． 故答案為：0． 【思路點撥】根據(jù)所給的圖形可以看出振幅和一個半周期，把圖象的第一個點代入，即在函數(shù)的圖象上，做出φ的值，做出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)值． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】7.函數(shù)在上單調遞增,則的取值范圍是（ ） A., B., C., D., 【知識點】二次函數(shù)的單調性;解三角不等式. 【答案解析】A解析 ：解：的圖像開口向上，對稱軸為，函數(shù)在上單調遞增，所以，，，解得 ． 故答案為：． 【思路點撥】應用二次函數(shù)的單調性的列三角不等式，再解三角不等式. 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】6. 由函數(shù)的圖象（ ） A．向左平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向右平移個單位 【知識點】圖像變換規(guī)律 【答案解析】B解析 ： 解：,據(jù)平移規(guī)則左加右減，所以將 的圖像向左平移個單位得到的圖像，故選B. 【思路點撥】先變同名函數(shù)再應用圖像變換的左加右減的規(guī)律. 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】4.單調增區(qū)間為 （ ） A．, B．, C．, D．, 【知識點】復合三角函數(shù)的單調性. 【答案解析】B解析 ：解：∵函數(shù)，即求函數(shù)的減區(qū)間． 令求得 故函數(shù)的減區(qū)間為,. 故選B． 【思路點撥】將函數(shù)轉化為，根據(jù)復合函數(shù)的單調性由，，求得的范圍，即得所求． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】4．將函數(shù)圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是( ▲ ) A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換. 【答案解析】A 解析 ：解：將函數(shù)圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象對應的解析式為 y=sin[（x+）]=sin（x+）． 令x+=kπ+，k∈z，求得 故函數(shù)的一條對稱軸的方程是， 故選：A． 【思路點撥】根據(jù)本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得所得函數(shù)的解析式為y=sin（2x+），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】6．將函數(shù)圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是(▲ ) A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換. 【答案解析】A 解析 ：解：將函數(shù)圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象對應的解析式為 y=sin[2（x+）]=sin（2x+）． 令2x+=kπ+，k∈z，求得 故函數(shù)的一條對稱軸的方程是， 故選：A． 【思路點撥】根據(jù)本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得所得函數(shù)的解析式為y=sin（2x+），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程． 【文浙江紹興一中高二期末`xx】17．（本題滿分10分）在中，角所對的邊為，且滿足 （1）求角的值； （2）若且，求的取值范圍． 【知識點】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形大邊對大角. 【答案解析】（Ⅰ）或.（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）由已知得，得，故或. （Ⅱ）由正弦定理，得，因為，所以，則 ，所以. 【思路點撥】（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式把已知條件變形，解之即可；（Ⅱ）先由正弦定理得到，再由判斷出的值，最后求出的取值范圍． 【文江蘇揚州中學高二期末xx】6．若tan+ =4則sin2= ▲ ． 【知識點】二倍角的正弦． 【答案解析】 解析 ：解：若tan+ =4，則 sin2θ=2sinθcosθ= ， 故答案為． 【思路點撥】先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以1，將1用同角三角函數(shù)關系代換，利用齊次式的方法化簡，可求出所求． 【理浙江紹興一中高二期末xx】17．（本題滿分10分） 在中，角所對的邊為，且滿足 （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若且，求的取值范圍． 【知識點】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形大邊對大角. 【答案解析】（Ⅰ）或.（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）由已知得，得，故或. （Ⅱ）由正弦定理，得，因為，所以，則 ，所以. 【思路點撥】（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式把已知條件變形，解之即可；（Ⅱ）先由正弦定理得到，再由判斷出的值，最后求出的取值范圍． 【理浙江紹興一中高二期末xx】7．已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的可能取值為 A． B． C． D． 【知識點】余弦定理;一元二次不等式的解法;二倍角的余弦函數(shù)公式;余弦函數(shù)的圖象與性質. 【答案解析】D解析 ：解：根據(jù)余弦定理得：， 已知不等式化為：， 整理得：，即， 因式分解得：，解得：或（舍去）， ∴，由為三角形的內角，則的取值范圍是． 故選D. 【思路點撥】根據(jù)余弦定理表示出，代入已知的不等式中，移項合并后，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關于的一元二次不等式，求出不等式的解集得到的范圍，由為三角形的內角，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質即可得到角的范圍． 【理江蘇揚州中學高二期末xx】6．若tan+ =4則sin2= ▲ ． 【知識點】二倍角的正弦． 【答案解析】 解析 ：解：若tan+ =4，則 sin2θ=2sinθcosθ= ， 故答案為． 【思路點撥】先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以1，將1用同角三角函數(shù)關系代換，利用齊次式的方法化簡，可求出所求． 【理廣東惠州一中高三一調xx】16．（本小題滿分12分） 已知. (1)求的值； (2)求的值．