九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 剖析與圓有關(guān)的計(jì)算試題 （新版）青島版.doc

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剖析與圓有關(guān)的計(jì)算 圓中有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題主要涉及以下三個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解題，必須確定出直角三角形，根據(jù)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出未知線(xiàn)段；或者用同一字母表示出三條邊長(zhǎng)，并根據(jù)勾股定理列出方程求解； 2. 利用三角函數(shù)：利用三角函數(shù)求線(xiàn)段長(zhǎng)也必須在直角三角形中才能實(shí)施，在直角三角形中知道一角一邊即可解此直角三角形得出未知的角和邊，因此熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)； 注意：在圓中，往往利用垂徑定理和直徑所對(duì)的圓周角以及切線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形。 3. 利用相似三角形：利用相似三角形求線(xiàn)段長(zhǎng)是圓中最重要的一種解題方法和思路。因此要善于發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造相似三角形。 常見(jiàn)的相似三角形模型有： 例題 （南充）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EP＝EG， （1）求證：直線(xiàn)EP為⊙O的切線(xiàn)； （2）點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2＝BF?BO。試證明BG＝PG； （3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB＝。求弦CD的長(zhǎng)。 解析：（1）連結(jié)OP，先由EP＝EG，證出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90，推出∠EPG＋∠OPB＝90來(lái)求證。 （2）連結(jié)OG，由BG2＝BF?BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90，根據(jù)垂線(xiàn)定理可得出結(jié)論。 （3）連結(jié)AC、BC、OG，由sinB＝，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，F(xiàn)A，利用直角三角形來(lái)求斜邊上的高，再乘以2得出CD長(zhǎng)度。 解答：（1）證明：連結(jié)OP， ∵EP＝EG， ∴∠EPG＝∠EGP， 又∵∠EGP＝∠BGF， ∴∠EPG＝∠BGF， ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠OBP， ∵CD⊥AB， ∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90， ∴∠EPG＋∠OPB＝90， ∴直線(xiàn)EP為⊙O的切線(xiàn)； （2）證明：如圖，連結(jié)OG，OP， ∵BG2＝BF?BO， ∴， ∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO＝∠BFG＝90， 由垂線(xiàn)定理知：BG＝PG； （3）解：如圖，連結(jié)AC、BC、OG、OP， ∵sinB＝， ∴， ∵OB＝r＝3， ∴OG＝， 由（2）得∠EPG＋∠OPB＝90， ∠B＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90， ∴∠B＝∠OGF， ∴sin∠OGF＝＝ ∴OF＝1， ∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，F(xiàn)A＝OF＋OA＝1＋3＝4， 在Rt△BCA中， CF2＝BF?FA， ∴CF＝。 ∴CD＝2CF＝。 點(diǎn)撥：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線(xiàn)，找準(zhǔn)角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用直角三角形中的正弦值。 【解題技巧】 1. 充分利用直徑，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。 2. 已知條件中的三角函數(shù)值，要轉(zhuǎn)化為直角三角形中對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系。 3. 善于利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解決問(wèn)題。 例題 （北京）如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。 （1）求證：∠EPD＝∠EDO； （2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的長(zhǎng)。 解析：（1）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理和切線(xiàn)的性質(zhì)即可證明：∠EPD＝∠EDO； （2）連接OC，利用，可求出CD＝4，再證明△OED∽△DEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)。 答案：（1）證明：∵PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C ∴PA＝PC，∠APO＝∠EPD ∵AB是⊙O的直徑 ∴PA⊥AB ∵DE⊥PO ∴∠A＝∠E＝90 ∵∠POA＝∠DOE ∴∠APO＝∠EDO ∴∠EPO＝∠EDO （2）解：連結(jié)OC，則OC⊥PD 在Rt△PAD中，∠A＝90，PA＝PC＝6，tan∠PDA＝ 可得AD＝8，PD＝10 ∴CD＝4 在Rt△OCD中，∠OCD＝90，CD＝4，tan∠ODC＝ 可得OC＝3，OD＝5 在Rt△PCO中，由勾股定理得 PO＝ 可證Rt△DEO∽R(shí)t△PCO ∴，即 ∴OE＝ 點(diǎn)撥：本題綜合考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. （張家港市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（－4，0），⊙O與x軸的負(fù)半軸交于B（－2，0）。點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA的中點(diǎn)為Q。當(dāng)點(diǎn)Q也落在⊙O上時(shí)，cos∠OQB的值等于（　　） A. B. C. D. 2. （梧州一模）如圖，過(guò)等腰△ABC三邊的中點(diǎn)D、F、G作⊙O，并與兩腰AB、AC分別相交于點(diǎn)H、E，若∠B＝72，則∠BDH＝（　?。? A. 32 B. 34 C. 36 D. 72 3. 已知在△ABC中，∠BAC＝90，M是邊BC的中點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)N滿(mǎn)足AM⊥AN?！鰽BC的內(nèi)切圓與邊AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EF分別與AN、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P、Q，則＝（　?。? A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5 *4. 一張半徑為2的半圓圖紙，沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點(diǎn)分直徑之比為3：1，則折痕長(zhǎng)為（　　） A. 3 B. C. D. **5.（北塘區(qū)二模）如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90。點(diǎn)B是弧MN上一動(dòng)點(diǎn)，BA⊥OM于點(diǎn)A，BC⊥ON于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F、G分別是線(xiàn)段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P，DE與AG相交于點(diǎn)Q。當(dāng)四邊形EPGQ是矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)為（　　） A. B. C. D. 二、填空題 6. （甘孜州）如圖，兩個(gè)半圓外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上，并都與直線(xiàn)y＝x相切。若半圓O1的半徑為1，則半圓O2的半徑R＝　　。 7.（相城區(qū)模擬）如圖，直線(xiàn)l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），PB＝3PA，則直線(xiàn)l的解析式為　　。 8.（西湖區(qū)一模）如圖，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90。O是AB的中點(diǎn)，⊙O與AC，BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E。點(diǎn)F是⊙O與AB的一個(gè)交點(diǎn)，連DF并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G。則∠CDG＝　　，若AB＝，則BG＝　　。 9.（上城區(qū)二模）如圖，⊙O的半徑OD經(jīng)過(guò)弦AB（不是直徑）的中點(diǎn)C，OE∥AB交⊙O于點(diǎn)E，PE∥OD，延長(zhǎng)直徑AG，交PE于點(diǎn)H，直線(xiàn)DG交OE于點(diǎn)F，交PE于K。若EF＝2，F(xiàn)O＝1，則KH的長(zhǎng)度等于　　。 三、解答題 10. （遵義）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，且∠ABC＝60，AB＝BC，△ACD的外接圓⊙O交BC于E點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AC于P點(diǎn)，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F。 （1）求證：CF＝DB； （2）當(dāng)AD＝時(shí)，試求E點(diǎn)到CF的距離。 *11. （襄陽(yáng)）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠BPC＝60，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交BP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D。 （1）求證：△ADP∽△BDA； （2）試探究線(xiàn)段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）若AD＝2，PD＝1，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)。 **12. （荊門(mén)）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E。 （1）求證：OF∥BE； （2）設(shè)BP＝x，AF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍； （3）延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線(xiàn)DC于H（圖2），問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。  一、選擇題 1. C 解析：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到恰好點(diǎn)Q落在⊙O上，連接QO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連接QB，OP，BC，則∠CBQ＝90（直徑所對(duì)的圓周角是直角） ∵B、Q分別是OA、AP的中點(diǎn)， ∴BQ∥OP， ∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（－4，0），⊙O與x軸的負(fù)半軸交于B（－2，0）。 ∴OP＝OB＝BA＝OA＝2， ∴QB＝1 在Rt△CQB中，∠CBQ＝90 ∴cos∠OQB＝＝。 2. C 解：如圖，連接AD、GD， ∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝72， ∴∠BAD＝90－∠B＝90－72＝18， ∵G是AB的中點(diǎn)， ∴DG＝AG， ∴∠BAD＝∠ADG， ∴∠BGD＝∠BAD＋∠ADG＝18＋18＝36， ∵G、F分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴GF是△ABC的中位線(xiàn)， ∴AD垂直平分GF， ∴AD經(jīng)過(guò)圓心O， ∴∠BDH＝∠BGD＝36。 3. A 解：取△ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，作NA的延長(zhǎng)線(xiàn)AG， 則OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF， ∵∠BAC＝90， ∴四邊形AEOF是正方形， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠BAC＝90，M為斜邊BC上中線(xiàn)， ∴AM＝CM＝BM， ∴∠MAC＝∠MCA， ∵∠BAC＝90，AN⊥AM， ∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90， ∴∠GAE＋∠EAM＝90，∠EAM＋∠MAC＝90，∠MAC＋∠CAN＝90， ∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP， ∵∠GAE＝∠APE＋∠AEP，∠MCA＝∠Q＋∠CFQ， ∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ， ∴∠Q＝∠NPQ， ∴PN＝QN， ∴＝1 4. C 解：過(guò)O作弦BC的垂線(xiàn)OP，垂足為D，與弧的交點(diǎn)分別為A、G，過(guò)切點(diǎn)F作PF⊥半徑OE交OP于P點(diǎn)，如圖， ∵OP⊥BC， ∴BD＝DC，即OP為BC的中垂線(xiàn)， ∴OP必過(guò)弧BGC所在圓的圓心， 又∵OE為弧BGC所在圓的切線(xiàn)，PF⊥OE， ∴PF必過(guò)弧BGC所在圓的圓心， ∴點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心， ∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC， ∴⊙P的半徑等于⊙O的半徑，即PF＝PG＝OE＝2，并且AD＝GD， ∴OG＝AP， 而F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分， ∴OF＝1， 在Rt△OPF中，設(shè)OG＝x，則OP＝x＋2， ∴OP2＝OF2＋PF2，即（x＋2）2＝12＋22，解得x＝－2， ∴AG＝2－（－2）＝4－， ∴DG＝＝2－， ∴OD＝OG＋DG＝－2＋2－＝， 在Rt△OBD中，BD2＝OB2－OD2，即BD2＝22－（）2， ∴BD＝， ∴BC＝2BD＝。 5. A 解：如圖，連結(jié)OB。 ∵四邊形EPGQ是矩形。 ∴∠AED＋∠CEB＝90。 又∵∠DAE＝∠EBC＝90， ∴∠AED＝∠BCE。 ∴△AED∽△BCE， ∴， 設(shè)OA＝x，AB＝y(tǒng)，則：＝：x， 得y2＝2x2， 又∵OA2＋AB2＝OB2， 即x2＋y2＝12。 ∴x2＋2x2＝1， 解得：x＝。 即當(dāng)四邊形EPGQ是矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)度為。 二、填空題 6. 3＋2解析：作O1A⊥直線(xiàn)y＝x于A，作O2B⊥直線(xiàn)y＝x于B，O1C⊥O2B于C，如圖， 則O1C∥直線(xiàn)y＝x， ∴∠CO1O2＝∠AOO1， ∵直線(xiàn)y＝x平分∠x(chóng)Oy， ∴∠AOO1＝45， ∴∠CO1O2＝45， ∴△CO1O2為等腰直角三角形， ∵⊙O1和⊙O2與直線(xiàn)y＝x相切， ∴O1A＝1，O2B＝R， ∴BC＝1，O2C＝R－1， 而⊙O1和⊙O2外切， ∴O1O2＝R＋1， ∴O1O2＝O2C，即R＋1＝（R－1）， ∴R＝3＋2。 7. y＝x＋2 解析：過(guò)A作AD⊥x軸于D，BE⊥y軸于E，AD與BE相交于C，連結(jié)OA、OB，如圖， ∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）， ∴OD＝1，AD＝3， ∴EC＝1， ∵AC∥PE， ∴PA：PB＝CE：BE， 而PB＝3PA， ∴BE＝3CE＝3， 在Rt△OAD中，OA＝， ∴OB＝OA＝， 在Rt△OBE中，OE＝ ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，－1）， 設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx＋b， 把A（1，3）和B（－3，－1）代入得，解得， ∴直線(xiàn)l的解析式為y＝x＋2。 8. 67.5，－2 解析：連接OD。 ∵CD切⊙O于點(diǎn)D， ∴∠ODA＝90，∠DOA＝45， ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD＝∠DOA＝22.5， ∴∠CDG＝∠CDO－∠ODF＝90－22.5＝67.5。 ∵AC為圓O的切線(xiàn)， ∴OD⊥AC， 又O為AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO＝AB＝2， ∴圓的半徑DO＝FO＝AOsinA＝2＝2， ∴BF＝OB－OF＝2－2。 ∵GC⊥AC，OD⊥AC， ∴OD∥CG， ∴∠ODF＝∠G，又∠OFD＝∠BFG， ∴△ODF∽△BGF， ∴，即， ∴BG＝2－2。 9. 2 解析：∵EF＝2，OF＝1， ∴EO＝DO＝3， ∵PE∥OD， ∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG， ∴△OFD∽△EFK， ∴EF：OF＝KE：OD＝2：1 ∴KE＝6， ∵AC＝BC，AB不是直徑， ∴OD⊥AB，∠PCO＝90， ∵PE∥OD， ∴∠P＝90， ∵EO∥AB， ∴∠PEO＝90， ∵OG＝OD， ∴∠OGD＝∠ODG， ∵PE∥OD， ∴∠K＝∠ODG， ∵∠OGD＝∠HGK， ∴∠K＝∠HGK， ∴HK＝HG， 設(shè)KH＝HG＝x， 則HE＝6－x，HO＝3＋x，EO＝3， 則EO2＋HE2＝HO2， 即32＋（6－x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， 故KH的長(zhǎng)度等于2。 三、解答題 10.（1）證明：連結(jié)AE，如圖， ∵∠ABC＝60，AB＝BC， ∴△ABC為等邊三角形， ∵AB∥CD，∠DAB＝90， ∴∠ADC＝∠DAB＝90， ∴AC為⊙O的直徑， ∴∠AEC＝90，即AE⊥BC， ∴BE＝CE， CD∥BF， ∴∠DCE＝∠FBE， 在△DCE和△FBE中， ∴△DCE≌△FBE（ASA）， ∴DE＝FE， ∴四邊形BDCF為平行四邊形， ∴CF＝DB； （2）解：作EH⊥CF于H，如圖， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC＝60， ∴∠DAC＝30， 在Rt△ADC中，AD＝， ∴DC＝1 AC＝2CD＝2， ∴AB＝AC＝2，BF＝CD＝1， ∴AF＝3， 在Rt△ABD中，BD＝， 在Rt△ADF中，DF＝＝2， ∴CF＝BD＝，EF＝DF＝， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE＝∠BAE＝30， ∴∠EDC＝∠CAE＝30， 而∠DCA＝∠BAC＝60， ∴∠DPC＝90， 在Rt△DPC中，DC＝1，∠CDP＝30， ∴PC＝DC＝， ∵∠HFE＝∠PFC， ∴Rt△FHE∽R(shí)t△FPC， ∴，即， ∴EH＝， 即E點(diǎn)到CF的距離為。 11. （1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE， ∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線(xiàn)， ∴∠DAE＝∠APE＝90， ∴∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90， ∴∠PAD＝∠E， ∵∠PBA＝∠E，∴∠PAD＝∠PBA， ∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP＝∠BDA， ∴△ADP∽△BDA； （2）PA＋PB＝PC， 證明：在線(xiàn)段PC上截取PF＝PB，連接BF， ∵PF＝PB，∠BPC＝60， ∴△PBF是等邊三角形， ∴PB＝BF，∠BFP＝60， ∴∠BFC＝180－∠PFB＝120， ∵∠BPA＝∠APC＋∠BPC＝120， ∴∠BPA＝∠BFC， 在△BPA和△BFC中，， ∴△BPA≌△BFC（AAS）， ∴PA＝FC， ∴PA＋PB＝PF＋FC＝PC； （3）解：∵△ADP∽△BDA， ∴， ∵AD＝2，PD＝1， ∴BD＝4，AB＝2AP， ∴BP＝BD－DP＝3， ∵∠APD＝180－∠BPA＝60， ∴∠APD＝∠APC， ∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E， ∴∠PAD＝∠PCA， ∴△ADP∽△CAP， ∴， ∴AP2＝CP?PD， ∴AP2＝（3＋AP）?1， 解得：AP＝或AP＝（舍去）， ∴BC＝AB＝2AP＝1＋。 12. （1）證明：連接OE FE、FA是⊙O的兩條切線(xiàn) ∴∠FAO＝∠FEO＝90 在Rt△OAF和Rt△OEF中， ∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）， ∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE， ∴∠AOF＝∠ABE， ∴OF∥BE （2）解：過(guò)F作FQ⊥BC于Q ∴PQ＝BP－BQ＝x－y PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y ∵在Rt△PFQ中 ∴FQ2＋QP2＝PF2 ∴22＋（x－y）2＝（x＋y）2 化簡(jiǎn)得：（1＜x＜2） （3）解：存在這樣的P點(diǎn)， 理由：∵∠EOF＝∠AOF， ∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF， 當(dāng)∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF時(shí)， 即∠EOF＝30時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG， 此時(shí)Rt△AFO中， y＝AF＝OA?tan30＝， ∴ ∴當(dāng)時(shí)，△EFO∽△EHG。