九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似中的“射影定理”試題 (新版)青島版.doc
-
資源ID:3382149
資源大?。?span id="rq4bsme" class="font-tahoma">235.50KB
全文頁數(shù):8頁
- 資源格式: DOC
下載積分:9.9積分
快捷下載

會員登錄下載
微信登錄下載
微信掃一掃登錄
友情提示
2、PDF文件下載后,可能會被瀏覽器默認(rèn)打開,此種情況可以點擊瀏覽器菜單,保存網(wǎng)頁到桌面,就可以正常下載了。
3、本站不支持迅雷下載,請使用電腦自帶的IE瀏覽器,或者360瀏覽器、谷歌瀏覽器下載即可。
4、本站資源下載后的文檔和圖紙-無水印,預(yù)覽文檔經(jīng)過壓縮,下載后原文更清晰。
5、試題試卷類文檔,如果標(biāo)題沒有明確說明有答案則都視為沒有答案,請知曉。
|
九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似中的“射影定理”試題 (新版)青島版.doc
相似中的“射影定理”
1. 射影定理
直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:
(1) ?。?) (3)
△ABC∽△ABD∽△DAC
注意:
(1)在Rt△ABC中,AD為斜邊BC上的高,圖中共有6條線段:AC、BC、CD、AD、DB、AB,已知任意兩條,便可求出其余四條;
(2)射影定理的每個乘積式中含三條線段,若已知兩條線段,可求第三條;
(3)平方項一定是兩相似三角形的公共邊。
2. 定理推論
在△ABC中,D是BC邊上的一點,且滿足,則有。
△ABD∽△CBA
例題1 已知CD是△ABC的高,DE⊥CA,DF⊥CB,求證:△CEF∽△CBA。
解析:根據(jù)△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得和利用等量代換和變形,即可證明△CEF∽△CBA。
答案:證明:在Rt△ADC中,由射影定律得,,
在Rt△BCD中,
∴
∴
∵
∴△CEF∽△CBA
點撥:本題主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的應(yīng)用。做題時要善于發(fā)現(xiàn)相似,找出等量關(guān)系,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?
例題2 已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AC為弦,CD⊥AB于D。若AE=AC,BE交⊙O于點F,連接CF、DE。
求證:(1) (2)
解析:(1)根據(jù)AE=AC,可以把結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明,只需連接BC,證明△ACD∽△ABC即可。(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可證明三角形ADE相似于三角形AEB,得到∠AED=∠B,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可證明。
答案:(1)連接BC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB,
∴△ACD∽△ABC,
∴
∵AC=AE,
∴
(2)∵,∠EAD=∠BAE,
∴△ADE∽△AEB,
∴∠AED=∠B
∵∠ACF=∠B,∴∠ACF=∠AED
點撥:本題主要考查了對相似三角形的判定和性質(zhì)的掌握和應(yīng)用,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵。
【要點總結(jié)】
射影定理是相似三角形中的特殊形式,經(jīng)常結(jié)合圓、矩形、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)考查,因此要善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)滿足射影定理的模型,并對其進(jìn)行代數(shù)式的變形,以及等量代換,從而達(dá)到解題目的。
例題 如圖,在Rt△ABC中,CD,CE分別是斜邊AB上的高和中線,BC=a,AC=b(b>a),若,求的值。
解析:在Rt△ABC中,利用射影定理得到,進(jìn)而得到BD的表達(dá)式,由面積法可求出CD的長,根據(jù)CE為中線,建立關(guān)系式DE=BE﹣BD,再根據(jù)正切函數(shù)的定義,建立關(guān)于a、b的關(guān)系式。
答案:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90,CD⊥AB∴,
即:。由等面積法知:,∴。
又因為CE是中線,則。
在Rt△CDE中,, 得:,
解得,于是有或(舍負(fù)值)。
點撥:本題考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形,綜合性較強(qiáng),要認(rèn)真對待。
(答題時間:30分鐘)
一、選擇題
1. 在Rt△ABC中,∠C=90,CD⊥AB,垂足為點D,若AD:BD=9:4,則AC:BC的值為( )
A. 9:4 B. 3:2 C. 4:9 D. 2:3
*2. 在Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點D,若,則=( )
A. B. C. D.
*3. 已知:在△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于D,M為BC中點。下列關(guān)系式中正確的是( )
A. B.
C. D.
**4. 若正實數(shù)x,y,z滿足①, ②。則下列關(guān)系式中正確的是( )
A. B. C. D. 無法確定
二、填空題
*5. 如圖,△ABC中,點D在BC上,以為直徑作⊙O,恰過A點,若AC與⊙O相切,則AB的長為 。
*6. 如圖,矩形ABCD中, ,點E在BC上,點F在CD上,且,,F(xiàn)G⊥AE于G,則AG:GE= 。
*7. 兩個任意大小的正方形,都可以適當(dāng)剪開,拼成一個較大的正方形,如用兩個邊長分別為a,b的正方形拼成一個大正方形。圖中Rt△ABC的斜邊AB的長等于 (用a,b的代數(shù)式表示)。
*8. Rt△ABC中,∠BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則 三者之間的等量關(guān)系式為 。
三、解答題
*9. 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,CD⊥AB于點D,交AE于點G,弦CE交AB于點F,求證:。
*10. (沈陽模擬)已知Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC,垂足為D,DF⊥AC,垂足為F,DE⊥AB,垂足為E。
求證:(Ⅰ)
(Ⅱ)
**11. 已知:如圖,BD、CE是△ABC的高,DG⊥BC與CE交于F,GD的延長線與BA的延長線交于點H。求證:。
**12. (莆田)(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90,BD⊥AC于點D。求證:;
(2)如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90,點D為BC邊上的點,BE⊥AD于點E,延長BE交AC于點F。,求的值;
(3)在Rt△ABC中,∠ABC=90,點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合),直線BE⊥AD于點E,交直線AC于點F。若,請?zhí)骄坎⒅苯訉懗龅乃锌赡艿闹担ㄓ煤琻的式子表示),不必證明。
1. B 解析:由射影定理得,又∵,
∴,∴,故選B。
2. C 解析:由勾股定理得:
∵,可得:△ABC∽△DBA∽△DAC
∴,
,選C。
3. A 解析:由∠BAC=90,AD⊥BC,
∴△ABC∽△DBA∽△DAC,
可得,。
又∵M(jìn)為BC中點,可得,
∴。
4. B 解析:如圖,由條件①可構(gòu)造Rt△ABC,
由條件②聯(lián)想到射影定理,作斜邊z上的高r,
由三角形的面積可得:,即。
5. 解析:連接AD,作于H點,
設(shè),,
由△CAD∽△CBA
得:①
由射影定理得:,故,
又知H為BC中點,故,即②
由①、②解得:。
6. 4∶1 解析:矩形ABCD中,,點E在BC上,點F在CD上,且,,F(xiàn)G⊥AE于G,∴,∴,,∴,
又∵∠ECF=∠FDA,∴△CEF∽△DFA,∴,∠AFD=∠FEC,
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90,∴∠AFE=90
又∵FG⊥AE,∴△AFE∽△AGF,△AFG∽△FEG,
∴,則AG=2FG,=2,∴,
∴AG=4EG,AG:GE=4:1。
7. 解析:Rt△ABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a,由BC2=a?AB可得。
8.
解析:由射影定理可得:,,;
∴,
化簡可得。
9. 證明:延長CG,交⊙O于點M,∵AB⊥CM,∴,∴∠ACG=∠E
又∵∠CAG=∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴
10. 證明:(Ⅰ)因為Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC。顯然△ABD∽△CBA
∴,即
(Ⅱ)∵由射影定理知
又由三角形相似可知,且DF=AE
∴,結(jié)合射影定理
∴
11. 證明:∵BD⊥AC,DG⊥BC,∴∠DGC=∠DGB=90,∠CDB=90,
由射影定理得:△CGD∽△DGB,∴ ,
∵CE⊥AB,∴∠ECB+∠CBE=90,
又∠H+∠GBH=90,∴∠ECB=∠H,∠FGC=∠HGB=90,
∴△CGF∽△HGB,∴,
∴ ∴
12. (1)證明:如圖①,∵BD⊥AC,∠ABC=90,∴∠ADB=∠ABC,
又∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,∴,∴。
(2)解:方法一:
如圖②,過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G,∵BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90,CG∥BF。
∵,∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC,
又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDG,∴
由(1)可得:,,
∴,∴AE=4DE,∴。
∵CG∥BF,∴。
方法二:
如圖③,過點D作DG∥BF,交AC于點G,
∵,∴,AB=BC。
∵DG∥BF,∴,F(xiàn)C=2FG。
由(1)可得:,,
∴,
∵DG∥BF,∴,∴。
(3)解:點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合),有三種情況:
(I)當(dāng)點D在線段BC上時,如圖④所示:
過點D作DG∥BF,交AC邊于點G。
∵,∴
∵DG∥BF,∴,∴
由(1)可得:,,
∴;
∵DG∥BF,∴,即,化簡得:;
(Ⅱ)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖⑤所示:
過點D作DG∥BE,交AC邊的延長線于點G。同理可求得:;
(Ⅲ)當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,如圖⑥所示:
過點D作DG∥BF,交CA邊的延長線于點G。同理可求得:。