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九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似中的“射影定理”試題 (新版)青島版.doc

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九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似中的“射影定理”試題 (新版)青島版.doc

相似中的“射影定理” 1. 射影定理 直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下: (1) ?。?)  (3) △ABC∽△ABD∽△DAC 注意: (1)在Rt△ABC中,AD為斜邊BC上的高,圖中共有6條線段:AC、BC、CD、AD、DB、AB,已知任意兩條,便可求出其余四條; (2)射影定理的每個乘積式中含三條線段,若已知兩條線段,可求第三條; (3)平方項一定是兩相似三角形的公共邊。 2. 定理推論 在△ABC中,D是BC邊上的一點,且滿足,則有。 △ABD∽△CBA 例題1 已知CD是△ABC的高,DE⊥CA,DF⊥CB,求證:△CEF∽△CBA。 解析:根據(jù)△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得和利用等量代換和變形,即可證明△CEF∽△CBA。 答案:證明:在Rt△ADC中,由射影定律得,, 在Rt△BCD中, ∴ ∴ ∵ ∴△CEF∽△CBA 點撥:本題主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的應(yīng)用。做題時要善于發(fā)現(xiàn)相似,找出等量關(guān)系,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍? 例題2 已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AC為弦,CD⊥AB于D。若AE=AC,BE交⊙O于點F,連接CF、DE。 求證:(1) (2) 解析:(1)根據(jù)AE=AC,可以把結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明,只需連接BC,證明△ACD∽△ABC即可。(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可證明三角形ADE相似于三角形AEB,得到∠AED=∠B,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可證明。 答案:(1)連接BC, ∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB, ∴△ACD∽△ABC, ∴ ∵AC=AE, ∴ (2)∵,∠EAD=∠BAE, ∴△ADE∽△AEB, ∴∠AED=∠B ∵∠ACF=∠B,∴∠ACF=∠AED 點撥:本題主要考查了對相似三角形的判定和性質(zhì)的掌握和應(yīng)用,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵。 【要點總結(jié)】 射影定理是相似三角形中的特殊形式,經(jīng)常結(jié)合圓、矩形、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)考查,因此要善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)滿足射影定理的模型,并對其進(jìn)行代數(shù)式的變形,以及等量代換,從而達(dá)到解題目的。 例題 如圖,在Rt△ABC中,CD,CE分別是斜邊AB上的高和中線,BC=a,AC=b(b>a),若,求的值。 解析:在Rt△ABC中,利用射影定理得到,進(jìn)而得到BD的表達(dá)式,由面積法可求出CD的長,根據(jù)CE為中線,建立關(guān)系式DE=BE﹣BD,再根據(jù)正切函數(shù)的定義,建立關(guān)于a、b的關(guān)系式。 答案:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90,CD⊥AB∴, 即:。由等面積法知:,∴。 又因為CE是中線,則。 在Rt△CDE中,, 得:, 解得,于是有或(舍負(fù)值)。 點撥:本題考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形,綜合性較強(qiáng),要認(rèn)真對待。 (答題時間:30分鐘) 一、選擇題 1. 在Rt△ABC中,∠C=90,CD⊥AB,垂足為點D,若AD:BD=9:4,則AC:BC的值為( ) A. 9:4 B. 3:2 C. 4:9 D. 2:3 *2. 在Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點D,若,則=( ) A. B. C. D. *3. 已知:在△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于D,M為BC中點。下列關(guān)系式中正確的是( ) A. B. C. D. **4. 若正實數(shù)x,y,z滿足①, ②。則下列關(guān)系式中正確的是( ) A. B. C. D. 無法確定 二、填空題 *5. 如圖,△ABC中,點D在BC上,以為直徑作⊙O,恰過A點,若AC與⊙O相切,則AB的長為 。 *6. 如圖,矩形ABCD中, ,點E在BC上,點F在CD上,且,,F(xiàn)G⊥AE于G,則AG:GE=   。 *7. 兩個任意大小的正方形,都可以適當(dāng)剪開,拼成一個較大的正方形,如用兩個邊長分別為a,b的正方形拼成一個大正方形。圖中Rt△ABC的斜邊AB的長等于 (用a,b的代數(shù)式表示)。 *8. Rt△ABC中,∠BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則 三者之間的等量關(guān)系式為 。 三、解答題 *9. 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,CD⊥AB于點D,交AE于點G,弦CE交AB于點F,求證:。 *10. (沈陽模擬)已知Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC,垂足為D,DF⊥AC,垂足為F,DE⊥AB,垂足為E。 求證:(Ⅰ) (Ⅱ) **11. 已知:如圖,BD、CE是△ABC的高,DG⊥BC與CE交于F,GD的延長線與BA的延長線交于點H。求證:。 **12. (莆田)(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90,BD⊥AC于點D。求證:; (2)如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90,點D為BC邊上的點,BE⊥AD于點E,延長BE交AC于點F。,求的值; (3)在Rt△ABC中,∠ABC=90,點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合),直線BE⊥AD于點E,交直線AC于點F。若,請?zhí)骄坎⒅苯訉懗龅乃锌赡艿闹担ㄓ煤琻的式子表示),不必證明。 1. B 解析:由射影定理得,又∵, ∴,∴,故選B。 2. C 解析:由勾股定理得: ∵,可得:△ABC∽△DBA∽△DAC ∴, ,選C。 3. A 解析:由∠BAC=90,AD⊥BC, ∴△ABC∽△DBA∽△DAC, 可得,。 又∵M(jìn)為BC中點,可得, ∴。 4. B 解析:如圖,由條件①可構(gòu)造Rt△ABC, 由條件②聯(lián)想到射影定理,作斜邊z上的高r, 由三角形的面積可得:,即。 5. 解析:連接AD,作于H點, 設(shè),, 由△CAD∽△CBA 得:① 由射影定理得:,故, 又知H為BC中點,故,即②   由①、②解得:。 6. 4∶1 解析:矩形ABCD中,,點E在BC上,點F在CD上,且,,F(xiàn)G⊥AE于G,∴,∴,,∴, 又∵∠ECF=∠FDA,∴△CEF∽△DFA,∴,∠AFD=∠FEC, ∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90,∴∠AFE=90 又∵FG⊥AE,∴△AFE∽△AGF,△AFG∽△FEG, ∴,則AG=2FG,=2,∴, ∴AG=4EG,AG:GE=4:1。 7. 解析:Rt△ABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a,由BC2=a?AB可得。 8. 解析:由射影定理可得:,,; ∴, 化簡可得。 9. 證明:延長CG,交⊙O于點M,∵AB⊥CM,∴,∴∠ACG=∠E 又∵∠CAG=∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴ 10. 證明:(Ⅰ)因為Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC。顯然△ABD∽△CBA ∴,即 (Ⅱ)∵由射影定理知 又由三角形相似可知,且DF=AE ∴,結(jié)合射影定理 ∴ 11. 證明:∵BD⊥AC,DG⊥BC,∴∠DGC=∠DGB=90,∠CDB=90, 由射影定理得:△CGD∽△DGB,∴ , ∵CE⊥AB,∴∠ECB+∠CBE=90, 又∠H+∠GBH=90,∴∠ECB=∠H,∠FGC=∠HGB=90, ∴△CGF∽△HGB,∴, ∴ ∴ 12. (1)證明:如圖①,∵BD⊥AC,∠ABC=90,∴∠ADB=∠ABC, 又∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,∴,∴。 (2)解:方法一: 如圖②,過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G,∵BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90,CG∥BF。 ∵,∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC, 又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDG,∴ 由(1)可得:,, ∴,∴AE=4DE,∴。 ∵CG∥BF,∴。 方法二: 如圖③,過點D作DG∥BF,交AC于點G, ∵,∴,AB=BC。 ∵DG∥BF,∴,F(xiàn)C=2FG。 由(1)可得:,, ∴, ∵DG∥BF,∴,∴。 (3)解:點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合),有三種情況: (I)當(dāng)點D在線段BC上時,如圖④所示: 過點D作DG∥BF,交AC邊于點G。 ∵,∴ ∵DG∥BF,∴,∴ 由(1)可得:,, ∴; ∵DG∥BF,∴,即,化簡得:; (Ⅱ)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖⑤所示: 過點D作DG∥BE,交AC邊的延長線于點G。同理可求得:; (Ⅲ)當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,如圖⑥所示: 過點D作DG∥BF,交CA邊的延長線于點G。同理可求得:。

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