八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 巧用三角形中位線試題 （新版）青島版.doc

巧用三角形中位線 1. 三角形中位線定義 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫中位線。 注意：（1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開(kāi)。 （2）三角形有三條中位線。 2. 定理 三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。 如果EF為△ABC的中位線，則EF∥BC且EF=BC。 注意：位置關(guān)系——平行 數(shù)量關(guān)系——等于第三邊的一半 3. 三角形中位線定理的應(yīng)用： （1）證明角相等關(guān)系； （2）證明線段的倍分以及相等關(guān)系； （3）證明線段平行關(guān)系。 例題1 如圖，自△ABC的頂點(diǎn)A，向∠B和∠C的平分線作垂線，垂足分別為D、E。 求證：DE∥BC。 解析：欲證ED//BC我們可想到有關(guān)平行的判定，但要找到有關(guān)角的關(guān)系很難，這時(shí)只要通過(guò)延長(zhǎng)AD、AE，交BC與CB的延長(zhǎng)線于G與H，通過(guò)證明三線合一易證D是AG的中點(diǎn)，同理E為AH的中點(diǎn)，故，ED是△AHG的中位線，當(dāng)然有DE∥BC。 答案：證明：延長(zhǎng)AD、AE交BC、CB的延長(zhǎng)線于G、H， ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2， 又∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠BDG=90 ∴△ABG為等腰三角形 ∴AD=DG，同理可證，AE=GE， ∴D，E分別為AG，AH的中點(diǎn)， ∴ED∥BC 點(diǎn)撥：本題巧妙地應(yīng)用了等腰三角形的三線合一，但最終還是利用中位線的性質(zhì)得出結(jié)論。 例題2 如圖，已知平行四邊形ABCD中，BD為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交BD于M點(diǎn)。 求證：（1）BM=BD；（2）ME=MF。 解析：（1）由E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)想到連結(jié)AC，由平行線等分線段定理可證得BM=MO。又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。（2）由問(wèn)題(1)中的輔助線，即連結(jié)AC，由三角形中位線定理可得，又由平行四邊形對(duì)角線互相平分即可得到問(wèn)題（2）的結(jié)論。 答案：證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)， ∵E、F分別為AB、BC中點(diǎn)， ∴EF∥AC， ∴BM=MO= BO 又∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴BO=OD=BD，AO=OC=AC， ∴BM=BO=BD； （2）∵M(jìn)是BO的中點(diǎn)，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)。 ∴ME=AO，MF=OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}（1）運(yùn)用了三角形中位線的位置關(guān)系，即三角形的中位線平行于底邊，而問(wèn)題（2）直接運(yùn)用了三角形中位線的數(shù)量關(guān)系。 三角形中位線定理及其應(yīng)用，在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，如何正確添加輔助線構(gòu)造三角形中位線是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)。要善于覺(jué)察圖形中的有關(guān)定理的基本圖形，涉及到中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要及時(shí)聯(lián)想到有關(guān)定理。 例題 如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，直線EF分別交BC、AD的延長(zhǎng)線于S、T兩點(diǎn)，求證：∠ATF=∠BSF。 解析：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥AD，EH=AD，F(xiàn)H∥BC，F(xiàn)H=BC，然后求出EH=FH，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EFH=∠FEH，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代換即可得證。 答案：證明：如圖，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH， ∵E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)， ∴EH、FH分別是△ACD和△ABC的中位線， ∴EH∥AD，EH=AD，F(xiàn)H∥BC，F(xiàn)H=BC ∵AD=BC， ∴EH=FH， ∴∠EFH=∠FEH， 又∵EH∥AD，F(xiàn)H∥BC， ∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH， ∴∠ATF=∠BSF。 點(diǎn)撥：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線，考慮利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1.（宜昌）如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離。有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（　?。? A. AB=24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2 2.（瀘州）如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則∠DEC的度數(shù)為（　?。? A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 3.（泰安）如圖，∠ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DC并延長(zhǎng)到E，使CE=CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F。若AB=6，則BF的長(zhǎng)為（　?。? A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 4. （福州模擬）如圖，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，連結(jié)OA，點(diǎn)G、F分別為OC、OB的中點(diǎn)，BC=4，AO=3，則四邊形DEFG的周長(zhǎng)為（　?。? A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 5.（邢臺(tái)二模）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，如果AC=8，BD=10，那么四邊形A1B1C1D1的面積為（　?。? A. 20 B. 40 C. 36 D. 10 二、填空題 6. （懷化）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC=　_________　。 7.（邵陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E?！螦=30，AB=8，則DE的長(zhǎng)度是_________。 8.（沈陽(yáng)）如圖，△ABC三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)組成△DEF，△DEF三邊的中點(diǎn)M，N，P組成△MNP，將△FPM與△ECD涂成陰影。假設(shè)可以隨意在△ABC中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為_(kāi)________。 9.（天橋區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，如果EF=2，那么菱形的周長(zhǎng)為_(kāi)________。 10.（海門(mén)市模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB=52，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)。若點(diǎn)F在線段DE上，且∠AFC=90，則∠FAE的度數(shù)為_(kāi)________。 三、解答題 11.（南京）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F。 （1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形； （2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？ 12.（鞍山一模）（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD。（提示取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，HE作輔助線） （2）如圖2所示，在△ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線OE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AB=DC=5，∠OEC=60，求OE的長(zhǎng)度。  一、選擇題 1. D 解析：∵M(jìn)、N分別是AC，BC的中點(diǎn)， ∴MN∥AB，MN=AB， ∴AB=2MN=212=24m， △CMN∽△CAB， ∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)， ∴CM=MA， ∴CM：MA=1：1， 故描述錯(cuò)誤的是D選項(xiàng)。 2. C 解析：由等邊△ABC得∠C=60， 由三角形中位線的性質(zhì)得DE∥BC， ∴∠DEC=180﹣∠C=180﹣60=120， 3. C 解析：如圖，∵∠ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，AB=6， ∴CD=AB=3。 又CE=CD， ∴CE=1， ∴ED=CE+CD=4。 又∵BF∥DE，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， ∴ED是△AFB的中位線， ∴BF=2ED=8。 4.B 解析：∵BD，CE是△ABC的中線， ∴ED∥BC且ED=BC， ∵F是BO的中點(diǎn)，G是CO的中點(diǎn)， ∴FG∥BC且FG=BC， ∴ED=FG=BC=2， 同理GD=EF=AO=1.5， ∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)為1.5+1.5+2+2=7。 5. A 解：∵A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，AC=8，BD=10， ∴A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1∥BD∥B1C1，A1B1∥AC∥C1D1， ∵四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直， ∴四邊形A1B1C1D1是矩形， ∴SA1B1C1D1=54=20。 二、填空題 6. 1：4 解析：∵D、E是邊AB、AC上的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC=（1：2）2=1：4。 7. 2 解析：∵D為AB的中點(diǎn)，AB=8， ∴AD=4， ∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∠A=30， ∴DE=AD=2。 8. 解析：∵D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴ED∥AB，且DE=AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴==， ∴S△CDE=S△CBA。 同理，S△FPM=S△FDE=S△CBA， ∴S△FPM+S△CDE=S△CBA， 則=。 9. 16 解析：∵菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EF=2， ∴BC=2EF=22=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周長(zhǎng)為4BC=44=16。 10. 64 解析：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)， ∴DE是三角形ABC的中位線， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠AFC=90，E為AC的中點(diǎn)， ∴EF=AC，AE=CE， ∴EF=CE， ∴∠EFC=∠ECF， ∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26， ∴∠FAE的度數(shù)為90﹣26=64， 三、解答題 11. 解：（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC， 又∵EF∥AB， ∴四邊形DBFE是平行四邊形； （2）解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形。 理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)， ∴BD=AB， ∵DE是△ABC的中位線， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四邊形DBFE是平行四邊形， ∴四邊形DBFE是菱形。 12.（1）證明：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH。 ∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)， ∴EH∥AB，EH=AB，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H=CD， ∵∠BME=∠CNE，∠BME=∠HEF，∠CNE=∠HFE，∴∠HEF=∠HFE。 ∴HE=HF， ∴AB=CD； （2）解：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH， ∴EH∥AB，EH=AB，HO∥DC，HO=DC。 ∵AB=CD， ∴HO=HE， ∴∠HOE=∠HEO， ∵∠OEC=60， ∴∠HEO=∠AGO=60， ∴△OEH是等邊三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE=。