中考數(shù)學試題分類43 開放型問題

第43章 開放型問題 1. （2011四川宜賓,22,7分）如圖，飛機沿水平方向（A，B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN．飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求： （1）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）； （2）用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟． 【答案】解：此題為開放題，答案不惟一，只要方案設(shè)計合理，可參照給分 ⑴如圖，測出飛機在A處對山頂?shù)母┙菫椋瑴y出飛機在B處對山頂?shù)母┙菫?，測出AB的距離為d，連接AM，BM． ⑵第一步，在中， ∴ 第二步，在中， ∴ 其中，解得． （第25題解答圖） 2. （2011山東濟寧，22，8分）數(shù)學課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形 的邊長為，為邊延長線上的一點，為的中點，的垂直平分線交邊于，交邊的延長線于.當時，與的比值是多少？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，，如圖，則可得：，因為，所以.可求出和的值，進而可求得與的比值. (1) 請按照小明的思路寫出求解過程. (2) 小東又對此題作了進一步探究，得出了的結(jié)論.你認為小東的這個結(jié)論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由. (第22題) （1）解：過作直線平行于交，分別于點，， 則，，. ∵，∴. 2分 ∴，. ∴. 4分 （2）證明：作∥交于點， 5分 則，. ∵， ∴. ∵，， ∴.∴. 7分 ∴. 8分 (第22題) 3. （2011山東威海，24，11分）如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK． （1）若∠1=70，求∠MNK的度數(shù)． （2）△MNK的面積能否小于？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由． （3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值． （備用圖） 【答案】 解：∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70， ∴∠KNM=∠KMN=70． ∴∠MNK=40． （2）不能． 過M點作ME⊥DN，垂足為點E，則ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN． ∴MK=NK． 又MK≥ME, ∴NK≥1． ∴． ∴△MNK的面積最小值為，不可能小于． （3）分兩種情況： 情況一：將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合． 設(shè)MK=MD=x，則AM=5-x，由勾股定理，得 , 解得，． 即． ∴． （情況一） 情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC． 設(shè)MK=AK= CK=x，則DK=5-x，同理可得 即． ∴． ∴△MNK的面積最大值為1.3． （情況二） 4. （2011山東煙臺，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求證：AB＝BC； A B C D E （2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD． 【答案】（1）證明：連接AC， ∵∠ABC＝90， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC. （2）證明：過C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90，∠ABE＋∠CBF＝90， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD. 4. （2011湖北襄陽，21，6分） 如圖6，點D，E在△ABC的邊BC上，連接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設(shè)，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個命題：①②③；①③②；②③①. （1）以上三個命題是真命題的為（直接作答） ； （2）請選擇一個真命題進行證明（先寫出所選命題，然后證明）. 圖6 【答案】（1）①②③；①③②；②③①. 3分 （2）（略） 6分