九年級數學上冊 專題突破講練 解決仰角、俯角問題試題 （新版）青島版.doc

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解決仰角、俯角問題 仰角、俯角 1. 鉛垂線：重力線方向的直線； 2. 水平線：垂直于鉛垂線的直線； 3. 仰角：視線在水平線上方的角叫做仰角； 4. 俯角：視線在水平線下方的角叫做俯角。 方法歸納： （1）仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”； （2）實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形或轉化到直角三角形中運用，注意確定水平線。 總結： 1. 能夠分清仰角和俯角，正確解答與仰角和俯角有關的三角函數問題。 2. 在測量物體的高時，要善于將實際問題抽象為數學問題。 例題 我國為了維護對釣魚島（點P）的主權，決定對釣魚島進行常態(tài)化的立體巡航。在一次巡航中，輪船和飛機的航向相同（AP∥BD），當輪船航行到距釣魚島20km的A處時，飛機在B處測得輪船的俯角是45；當輪船航行到C處時，飛機在輪船正上方的E處，此時EC＝5000m。輪船到達釣魚島P時，測得D處的飛機的仰角為30。試求飛機的飛行距離BD（結果保留根號）。 解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分別求出BF、GD的值，由BF＋FG＋DG求BD的長。 答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，由題意得：AF＝PG＝CE＝5000m，F(xiàn)G＝AP＝20km，在Rt△AFB中，∠B＝45，則∠BAF＝45，∴BF＝AF＝5。 ∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30，在Rt△PGD中，tan∠D＝，即tan30＝， ∴GD＝5，則BD＝BF＋FG＋DG＝5＋20＋5＝25＋5（km）。 答：飛機的飛行距離BD為25＋5km。 點撥：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形，然后解直角三角形，雖然難度一般，但非常具有代表性。 用三角函數測量建筑物的高度，常見類型如下： （1）＝l，h＝ltanα； （2）－＝l，h＝l； （3）＋＝l，h＝l。 滿分訓練 閱讀材料： 關于三角函數還有如下的公式： sin（αβ）＝sinαcosβcosαsinβ；tan（αβ）＝。 利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值。例：tan15＝tan（45－30）＝＝＝＝2－。 根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式解答下面的問題： （1）計算：sin15； （2）烏蒙鐵塔是六盤水市的標志性建筑物之一（圖1），小華想用所學知識來測量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂的仰角為75，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度。（精確到0.1米，參考數據：＝1.732，＝1.414）。 解析：（1）把15化為45－30以后，再利用公式sin（αβ）＝sinαcosβcosαsinβ計算，即可求出sin15的值；（2）先根據銳角三角函數的定義求出BE的長，再根據AB＝AE＋BE計算塔高。 答案：（1）sin15＝sin（45－30）＝sin45cos30－cos45sin30＝－＝－＝； （2）在Rt△BDE中，∵∠BED＝90，∠BDE＝75，DE＝AC＝7米， ∴BE＝DE?tan∠BDE＝DE?tan75。 ∵tan75＝tan（45＋30）＝＝＝＝2＋， ∴BE＝7（2＋）＝14＋7，∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7（米）。 答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米。 點撥：本題考查了解直角三角形的應用－仰角、俯角問題，以及特殊角的三角函數值的應用，屬于新題型，解題的關鍵是根據題目中所給信息結合特殊角的三角函數值來求解。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 1. 如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30，看這棟高樓底部C的俯角為60，熱氣球A與高樓的水平距離為210m，這棟高樓BC的高度為（ ） A. 70m B. 210m C. 280m D. 160m **2. 如圖，測量隊為了測量某地區(qū)山頂P的海拔高度，選M點作為觀測點，從M點測量山頂P的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）為30，在比例尺為1：50000的該地區(qū)的等高線地形圖上，量得這兩點的圖上距離為6厘米，則山頂P的海拔高度為（ ） A. 1732米 B. 1982米 C. 3000米 D. 3250米 **3. 如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60，又從A點測得D點的俯角β為30，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（ ） A. 20米 B. 10米 C. 15米 D. 5米 **4. 如圖，在一個房間內，有一把梯子MC斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時梯子的傾斜角為75，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45，則這間房子的寬AB為（ ） A. 米 B. 米 C. b米 D. a米 二、填空題 5. 九年級三班的小亮同學學習了“測量物體的高度”這節(jié)課后，他為了測得如圖所放風箏的高度，進行了如下操作： （1）在放風箏的點A處安置測傾器，測得風箏C的仰角∠CBD＝60； （2）根據手中剩余的線的長度求出風箏線BC的長度為70米； （3）量出測傾器的高度AB＝1.5米。根據測量數據，計算出風箏的高度CE約為__________米。（精確到0.1米，≈1.73） 6. 如圖1所示，把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，另一端系一個小重物，制成簡單的測角儀，若細線正好和60重合，則此時的仰角α是__________，若細線所在位置刻度模糊，請在圖2中添加一條直線，就能求出此時的仰角α。 *7. 某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為__________米。 **8. 如圖，在小山的東側A點有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30米/分的速度沿與地面成75角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30，則小山東西兩側A、B兩點間的距離為__________米。 三、解答題 9. 國家海洋局將中國釣魚島的最高峰命名為“高華峰”，并對釣魚島進行常態(tài)化立體巡航。如圖1，在一次巡航過程中，巡航飛機的飛行高度為2001米，在點A測得高華峰頂F點的俯角為30，保持方向不變前進1200米到達B點后測得F點的俯角為45，如圖2。請據此計算釣魚島的最高海拔高度為多少米。（結果保留整數，參考數值：≈1.732，≈1.414） *10. （舟山中考）某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米。校門關閉時，每個菱形的銳角度數為60（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數從60縮小為10（如圖3）。問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數據：sin5≈0.0872，cos5≈0.9962，sin10≈0.1736，cos10≈0.9848）。 *11. 小強在教學樓的點P處觀察對面的辦公大樓。為了測量點P到對面辦公大樓上部AD的距離，小強測得辦公大樓頂部點A的仰角為45，測得辦公大樓底部點B的俯角為60，已知辦公大樓高46米，CD＝10米。求點P到AD的距離（用含根號的式子表示）。 *12. 小亮和小紅在公園放風箏，不小心讓風箏掛在樹梢上，風箏固定在A處（如圖），為測量此時風箏的高度，他倆按如下步驟操作： 第一步：小亮在測點D處用測角儀測得仰角∠ACE＝β。 第二步：小紅量得測點D處到樹底部B的水平距離BD＝a。 第三步：量出測角儀的高度CD＝b。 之后，他倆又將每個步驟都測量了三次，把三次測得的數據繪制成如下的條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖。 請你根據兩個統(tǒng)計圖提供的信息解答下列問題。 （1）把統(tǒng)計圖中的相關數據填入相應的表格中： a b β 第一次 第二次 第三次 平均值 （2）根據表中得到的樣本平均值計算出風箏的高度AB（參考數據：≈1.732，≈1.414，結果保留3個有效數字）。  1. C 解析：過A作AD⊥BC，垂足為D。在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30，AD＝210m，∴BD＝AD?tan30＝210＝70m。在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60，AD＝210m，∴CD＝AD?tan60＝210＝210m，∴BC＝BD＋CD＝70＋210＝280m，故選C。 2. B 解析：∵兩點的圖上距離為6厘米，比例尺為1：50000，∴兩點間的實際距離為：6＝3000米，∵從M點測量山頂P的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）為30，∴MP＝3000tan30＝3000＝1732米，∵點M的海拔為250米，∴山頂P的海拔高度為＝1732＋250＝1982米。故選B。 3. A 解析：根據題意可知：GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15米，AB＝2GE＝30米。過點D作DF垂直于過A點的水平線于點F，則AF＝BC＝ABtan∠ACB＝30＝10米，DF＝AF?tan30＝10＝10米，CD＝AB－DF＝30－10＝20米。 4. D 解析：過N點作MA的垂線，垂足為點D，連接NM?！摺螹CN＝180－∠MCA－∠NCB＝180－75－45＝60，MC＝NC，∴△MNC是等邊三角形，∴MN＝MC，∠MNC＝60?！螹ND＝∠MNC－∠DNC，而∠DNC＝∠NCB＝45，∴∠MND＝60－45＝15。在Rt△MND中，DN＝MNcos∠MND＝MNcos15。在Rt△MCA中，∵∠MCA＝75，∴∠AMC＝15，∴AM＝MCcos15。∴AB＝DN＝AM＝a（米）。本題也可證明△MND≌△CMA。 5. 62.1 解析：在Rt△CBD中，DC＝BC?sin60＝70≈60.55?！逜B＝1.5，∴CE＝60.55＋1.5≈62.1（米）。 6. 30，如圖所示：作線段BA關于BC的對稱線段，對稱線段所在的直線即是需要添加的直線，讀出∠ABF的度數，α＝90－∠ABF。（也可過點B作AC的平行線） 7. 9 解析：過B作BE⊥CD于點E，設旗桿AB的高度為x，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，所以AC＝＝＝＝x，在Rt△BDE中，BE＝AC＝x，∠BDE＝60，tan∠BDE＝，所以DE＝＝x，因為CE＝AB＝x，所以DC＝CE－DE＝x－x＝6，所以x＝9，故旗桿的高度為9米。 8. 750 解析：如圖（略），過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75－30＝45，AC＝3025＝750（米），∴AD＝AC?sin45＝375（米）。在Rt△ABD中，∵∠B＝30，∴AB＝2AD＝750（米）。 9. 解：設CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30，∠CBF＝45，∴BC＝CF＝x，＝tan30，即AC＝x，∵AC－BC＝1200，∴x－x＝1200，解得：x＝600（＋1），則DF＝h－x＝2001－600（＋1）≈362（米）。答：釣魚島的最高海拔高度約362米。 10. 解：如題圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD。根據題意，得∠BAD＝60，AB＝0.3米?！咴诹庑蜛BCD中，AB＝AD，∴△BAD是等邊三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大門的寬是0.320≈6（米）；校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1。根據題意，得∠B1A1D1＝10，A1B1＝0.3米。∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，設A1C1與B1D1相交于點O1，則∠B1A1O1＝5，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1?A1B1＝sin50.3＝0.02616（米），∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸縮門的寬是：0.0523220＝1.0464米。∴校門打開的寬度為：6－1.0464＝4.9536≈5（米）。故校門打開了5米。 11. 解：延長BC交PM于點E，在Rt△BEP中，∠BPE＝60∴BE＝PEtan60＝PE。在Rt△AMP中，∠APM＝45，∴AM＝PM＝PE＋EM＝PE＋CD＝PE＋10。又樓高＝AM＋BE，∴PE＋10＋PE＝46，∴PE＝18（－1），∴PM＝PE＋EM＝18（－1）＋10＝18－8，即點P到AD的距離為（18－8）米。 12. 解：（1）填寫表格如圖： a b β 第一次 15.71 1.31 29.5 第二次 15.83 1.33 30.8 第三次 15.89 1.32 29.7 平均值 15.81 1.32 30 （2）過C作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，∴CE＝BD＝a，BE＝CD＝b，在Rt△AEC中，∵β＝30，a＝15.81，∴AE＝BEtan30＝15.81≈9.128（米），則AB＝AE＋EB＝9.128＋1.32＝10.448≈10.4（米）。答：風箏的高度AB為10.4米。