九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 解決圓錐問題的四字秘訣試題 (新版)青島版.doc
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九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 解決圓錐問題的四字秘訣試題 (新版)青島版.doc
解決圓錐問題的四字秘訣
關(guān)于圓錐的側(cè)面展開圖計(jì)算問題在中考中時常出現(xiàn),這類問題的解答,可以用四個字來概括:一、二、三、四。其中:
“一個轉(zhuǎn)化”,是指將圓錐側(cè)面問題轉(zhuǎn)化為平面圖形——扇形問題;
“二個對應(yīng)”,是指圓錐的底面周長對應(yīng)著扇形的弧長,圓錐的母線長對應(yīng)著扇形的半徑;
“三個圖形”,是指圓錐側(cè)面問題常常需要用到圓形、扇形、直角三角形來解決;
“四個公式”,是指圓錐側(cè)面問題需要用
①l2=r2+h2,其中,如圖,圓錐的底面半徑r,圓錐母線ι,圓錐的高h(yuǎn),構(gòu)成直角三角形;
②
③S側(cè)=2πrι=πrι
④。
圓錐側(cè)面問題公式的靈活應(yīng)用
圓錐側(cè)面問題四個公式共有5個量:l、h、r、n、S側(cè),由于每個公式中只有三個量,從而只要知道其中的兩個量,就可以將另外三個量利用方程或方程組求出來。
一、計(jì)算圓心角的度數(shù)
例題1 (浙江中考)若圓錐的軸截面為等邊三角形,則稱此圓錐為正圓錐,則正圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是( )
A. 90 B. 120 C. 150 D. 180
解析:因?yàn)榇藞A錐為正圓錐,所以圓錐底面圓的直徑等于展開圖扇形的半徑,然后利用弧長公式求解。
解:設(shè)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n,半徑為r,則圓錐的底面直徑也為r,根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長,可得,解得n=180。
答案:D
點(diǎn)撥:在解決圓錐與展開圖有關(guān)問題時,可以利用“圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長”這一規(guī)律解決問題。
二、計(jì)算圓錐的底面積
例題2 如圖,圓錐形冰淇淋盒的母線長是13cm,高是12cm,則該圓錐形底面圓的面積是( )
A. 10πcm2 B. 25πcm2 C. 60πcm2 D. 65πcm2
解析:作出圓錐的軸切面圖,再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用勾股定理求出圓錐底面圓的半徑,進(jìn)而求出其面積。
解:作出圓錐的軸切面圖及高,如圖,則AB=13cm,AD=12 cm,AD⊥BC,BC=2BD,所以BD=5 cm,因而底面圓的面積為πr2=25π(cm2),故選B。
答案:B
點(diǎn)撥:圓錐的軸切面圖為等腰三角形,等腰三角形底邊上的高為圓錐的高,腰為圓錐的母線長,底邊為圓錐底面圓的直徑,圓錐軸切面的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形,再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。
三、計(jì)算圓錐的側(cè)面積
例題3 在學(xué)校組織的實(shí)踐活動中,小新同學(xué)用紙板制作了一個圓錐模型,它的底面半徑為1,高為2,則這個圓錐的側(cè)面積( )
A. 4π B. 3π C. 2π D. 2π
解析:先根據(jù)勾股定理求得圓錐的母線長,再代入圓錐側(cè)面積的公式計(jì)算即可。
解:∵圓錐的底面半徑為r=1,高為2,∴圓錐的母線長l=,∴圓錐的側(cè)面積==π13=3π,故選B。
答案:B
點(diǎn)撥:這類題要熟記圓錐的側(cè)面積公式S=πrl及圓錐的高h(yuǎn)、母線l、底面半徑為r的關(guān)系:。解決這類問題的方法有:①列式計(jì)算,②運(yùn)用方程思想列方程來計(jì)算。
計(jì)算線路最短問題
滿分訓(xùn)練 如圖,圓錐的母線長是3,底面半徑是1,A是底面圓周上一點(diǎn),一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā),繞側(cè)面爬行一周,再回到點(diǎn)A的最短的路線長是多少?
解析:我們知道“兩點(diǎn)之間,線段最短”,沿母線SA作側(cè)面展開圖如圖,本題實(shí)際是求將圓錐的側(cè)面沿著母線OA展開,求點(diǎn)A到A′的距離AA′。
解:將圓錐沿母線SA作側(cè)面展開圖,得扇形O AA′,
設(shè)扇形的圓心角為θ,因?yàn)閳A錐的底面半徑為r=1,母線長為3,根據(jù)2πr=,得
2π1=,所以θ=120。即扇形的圓心角∠AOA′為120,作OD⊥AA′,垂足為D,在Rt△AOD中,∠OAD=30,OA=3。 所以O(shè)D=,據(jù)勾股定理,得可求得AD=,所以AA′=2AD=。
答案:
點(diǎn)撥:小蟲從點(diǎn)A出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行,從圓錐上看是曲線,而在側(cè)面展開圖上看是直線,“化曲為直”是解決此類問題的關(guān)鍵。
(答題時間:30分鐘)
1. 用半徑為3cm,圓心角是120的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,則這個圓錐的底面半徑為( )
A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm
2. 已知圓錐的底面半徑為6cm,高為8cm,則這個圓錐的母線長為( )。
A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm
3. 圓錐底面圓的半徑為3cm,其側(cè)面展開圖是半圓,則圓錐母線長為( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 若圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,則該圓錐的母線l與底面半徑r的關(guān)系是( )
A. l=2r B. l=3r C. l=r D. l=
*5. 一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角是 。
6. 圓錐的側(cè)面積為6cm2,底面圓的半徑為2cm,則這個圓錐的母線長為 cm
*7. 已知一個扇形的半徑為60厘米,圓心角為150。用它圍成一個圓錐的側(cè)面,那么圓錐的底面半徑為厘米。
*8. 若圓錐的母線長為5cm,底面圓的半徑為3cm,則它的側(cè)面展開圖的面積為 cm2(結(jié)果保留π)。
*9. 用半徑為10cm,圓心角為216的扇形作一個圓錐的側(cè)面,求這個圓錐的高。
**10. 如圖所示的一扇形紙片,圓心角∠AOB為120,弦AB的長為,用它圍成一個圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計(jì)),求該圓錐底面的半徑。
*11. 已知圓錐的底面周長是10π,其側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為90,求該圓錐的母線長。
**12. 如圖,圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,求母線AB與高AO的夾角。
1. D 解析:依題意,得這個圓錐的底面半徑=2π=1,故選D。
2. B 解析:先根據(jù)半徑與高互相垂直,然后利用勾股定理求母線長?!?r2+h2=l2,∴ 62+82=l2,∴ l=10㎝,故選B。
3. B 解析:圓錐的母線長=圓錐的底面周長=2π3=6cm。故選B。
4. A 解析:根據(jù)以上分析,則圓錐的底面周長為,展開圖扇形弧長是,因此,則 l=2r,故選A。
*5. 180 解析:設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為r, 圓心角n,則,即,∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n=360=180。故答案為180。
6. 3 解析:設(shè)圓錐的母線長為R,因底面圓的半徑為2cm,所以底面圓的周長=側(cè)面扇形的弧長=22=4,又扇形的面積=4R=6,解得R=3,故填3。
*7. 25 解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的母線長R=60 cm,因?yàn)閳A錐的底面周長等于其側(cè)面展開圖的弧長,所以2πr=,解得r=25。
*8. 15π 解析:∵圓錐的側(cè)面積S=πrl,,r=3 cm,l=5∴S=15π cm2。
*9. 解析:扇形的弧長是:=12π(cm),設(shè)圓錐的底面半徑是r,則2πr=12π,解得:r=6cm,則圓錐的高是:=8(cm)。
**10. 解析:過O點(diǎn)作OE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,∵OA=OB,AB=cm,∴AE=cm,∠AOE=60,∴OA=2cm,∴弧AB的長,設(shè)該圓錐底面的半徑為r,∴,∴r=cm。
*11. 解析:設(shè)圓錐的母線長為l?!邎A錐的底面周長是10π,∴圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的弧長是10π?!邆?cè)面展開后所得扇形的圓心角為90,∴?!鄉(xiāng)=20,即該圓錐的母線長是20。
**12. 解析:因?yàn)?r=l。 所以l=2r,所以sin∠BAO=,所以∠BAO=30,所以母線AB與高AO的夾角為30。