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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

3.3.1 單調(diào)性 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實例,直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式.3.會用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次). 知識點 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系 思考1 觀察下列各圖,完成表格內(nèi)容. 函數(shù)及其圖象 切線斜率k正負(fù) 導(dǎo)數(shù)正負(fù) 單調(diào)性 正 正 [1,+∞)上單調(diào)遞增 正 正 R上單調(diào)遞增 負(fù) 負(fù) (0,+∞)上單調(diào)遞減 負(fù) 負(fù) (0,+∞)上單調(diào)遞減 負(fù) 負(fù) (-∞,0)上單調(diào)遞減 思考2 依據(jù)上述分析,可得出什么結(jié)論? 答案 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上, ①如果f′(x)>0,則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增; ②如果f′(x)<0,則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減. 梳理 (1) 導(dǎo)數(shù)值 切線的斜率 傾斜角 曲線的變化趨勢 函數(shù)的單調(diào)性 f′(x)>0 k>0 銳角 上升 單調(diào)遞增 f′(x)<0 k<0 鈍角 下降 單調(diào)遞減 (2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系: 函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)遞增 f′(x) ≥0,且f′(x)在(a,b)的任何子區(qū)間上都不恒為零 單調(diào)遞減 f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)的任何子區(qū)間上都不恒為零 常函數(shù) f′(x)=0 1.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上都有f′(x)>0,那么f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.( √ ) 2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,那么它在區(qū)間(a,b)上都有f′(x)>0.(  ) 3.函數(shù)y=x3+x2-5x-5的單調(diào)遞增區(qū)間是和(1,+∞).( √ ) 4.函數(shù)f(x)=lnx-ax(a>0)的單調(diào)增區(qū)間為.(  ) 類型一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例1 求f(x)=3x2-2lnx的單調(diào)區(qū)間. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 解 f(x)=3x2-2lnx的定義域為(0,+∞). f′(x)=6x-= =, 由x>0,解f′(x)>0,得x>; 由x>0,解f′(x)<0,得0<x<. 所以函數(shù)f(x)=3x2-2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. 反思與感悟 求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù); (4)解不等式f′(x)<0,函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為減函數(shù). 跟蹤訓(xùn)練1 求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 解 函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,2)∪(2,+∞). f′(x)==. 因為x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0. 由f′(x)>0,得x>3, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞); 由f′(x)<0,得x<3. 又函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,2)∪(2,+∞), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2)和(2,3). 例2 討論函數(shù)f(x)=x2-alnx(a≥0)的單調(diào)性. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=2x-=. 設(shè)g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2x2=a. 當(dāng)a=0時,f′(x)=2x>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù); 當(dāng)a>0時,由g(x)=0,得x=或x=-(舍去). 當(dāng)x∈時,g(x)<0,即f′(x)<0; 當(dāng)x∈時,g(x)>0,即f′(x)>0. 所以當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù). 綜上,當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞); 當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. 引申探究 若將本例改為f(x)=ax2-lnx(a∈R)呢? 解 f′(x)=2ax-=, 當(dāng)a≤0時,且x∈(0,+∞),f′(x)<0, ∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù); 當(dāng)a>0時,令f′(x)=0, 解得x=或x=-(舍去). 當(dāng)x∈時,f′(x)<0,∴f(x)為減函數(shù); 當(dāng)x∈時,f′(x)>0,∴f(x)為增函數(shù). 綜上所述,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù); 當(dāng)a>0時,f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù). 反思與感悟 (1)在判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時,不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍,而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來確定f′(x)的符號,否則會產(chǎn)生錯誤. (2)分類討論是把整個問題劃分為若干個局部問題,在每一個局部問題中,原先的不確定因素就變成了確定性因素,當(dāng)這些局部問題都解決了,整個問題就解決了. 跟蹤訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,其中x∈R,t∈R.當(dāng)t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 f′(x)=12x2+6tx-6t2 =6(x+t)(2x-t), 令f′(x)=0,得x1=-t,x2=. 當(dāng)t<0,x∈時,f′(x)<0,此時f(x)為減函數(shù); 當(dāng)x∈時,f′(x)>0,此時f(x)為增函數(shù), 同理當(dāng)x∈(-t,+∞)時,f(x)也為增函數(shù). ∴當(dāng)t<0時,f(x)的增區(qū)間為和(-t,+∞), f(x)的減區(qū)間為; 當(dāng)t>0,x∈時,f′(x)<0,此時f(x)為減函數(shù), 當(dāng)x∈(-∞,-t)和x∈時,f′(x)>0,此時f(x)為增函數(shù), ∴當(dāng)t>0時,f(x)的增區(qū)間為(-∞,-t),, f(x)的減區(qū)間為. 綜上所述,①當(dāng)t<0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,(-t,+∞),單調(diào)減區(qū)間是. ②當(dāng)t>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-t),,單調(diào)減區(qū)間是. 類型二 證明函數(shù)的單調(diào)性問題 例3 證明:函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 證明函數(shù)的單調(diào)性 證明 f′(x)=,又x∈, 則cosx<0,sinx>0,∴xcosx-sinx<0, ∴f′(x)<0, ∴f(x)在上是減函數(shù). 反思與感悟 關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的問題 (1)首先考慮函數(shù)的定義域,所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個前提下進(jìn)行. (2)f′(x)>(或<)0,則f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù);但要特別注意,f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù),則f′(x)≥(或≤)0. 跟蹤訓(xùn)練3 證明:函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù). 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 證明函數(shù)的單調(diào)性 證明 ∵f(x)=,∴f′(x)==. 又0<x<e,∴l(xiāng)nx<lne=1. ∴f′(x)=>0,故f(x)在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù). 類型三 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 例4 已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0,常數(shù)a∈R).若函數(shù)f(x)在x∈[2,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 解 f′(x)=2x-=. 要使f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0在x∈[2,+∞)時恒成立, 即≥0在x∈[2,+∞)時恒成立. ∵x2>0,∴2x3-a≥0, ∴a≤2x3在x∈[2,+∞)時恒成立. ∴a≤(2x3)min. ∵當(dāng)x∈[2,+∞)時,y=2x3是單調(diào)遞增的, ∴(2x3)min=16,∴a≤16. 當(dāng)a=16時,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞)),有且只有 f′(2)=0,∴a的取值范圍是(-∞,16]. 反思與感悟 已知函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍,可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或減),轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間I上恒成立,再用有關(guān)方法可求出參數(shù)的取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練4 已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-(a+1)x+2在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 解 方法一 f′(x)=x2-ax-(a+1), 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù), 所以f′(x)≤0,即x2-ax-(a+1)≤0,解得a≥x-1. 因為在[1,2]上,a≥x-1恒成立, 所以a≥(x-1)max=1. 所以a的取值范圍是[1,+∞). 方法二 f′(x)=(x+1)[x-(a+1)], 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù), 所以f′(x)≤0,當(dāng)a>-2時,解得-1≤x≤a+1, 即減區(qū)間為[-1,a+1],則[1,2]?[-1,a+1],得a≥1. 當(dāng)a≤-2時,解得減區(qū)間為[a+1,-1], 則函數(shù)f(x)不可能在[1,2]上為減函數(shù),故a≥1. 所以實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞). 1.函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1的單調(diào)遞增區(qū)間是________,單調(diào)遞減區(qū)間是________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 答案 (-∞,0)和(1,+∞) (0,1) 解析 ∵f′(x)=6x2-6x, 令f′(x)>0,得x<0或x>1, 令f′(x)<0,得0<x<1. 2.函數(shù)f(x)=(x-1)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 答案 (0,+∞) 解析 f′(x)=(x-1)′ex+(x-1)(ex)′=xex, 令f′(x)>0,解得x>0. 3.函數(shù)f(x)=lnx-ax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 答案  解析 f(x)的定義域為{x|x>0}, 由f′(x)=-a>0,得0<x<. 4.若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案 [3,+∞) 解析 y′=3x2-2ax=x(3x-2a), 由題意知x∈(0,2),y′≤0, 即x(3x-2a)≤0,得0≤x≤a, 則≥2,即a≥3. 5.求函數(shù)f(x)=(x-k)ex的單調(diào)區(qū)間. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 f′(x)=ex+(x-k)ex=(x-k+1)ex, 當(dāng)x<k-1時,f′(x)<0; 當(dāng)x>k-1時,f′(x)>0, 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(k-1,+∞). 1.導(dǎo)數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度. 2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x); (3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; (4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 一、填空題 1.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是________.(填序號) ①在區(qū)間(-2,1)上f(x)是減函數(shù); ②在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù); ③在區(qū)間(2,5)上f(x)是減函數(shù); ④在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù). 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性 答案 ④ 解析 由題圖知,當(dāng)x∈(4,5)時,f′(x)>0,所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù). 2.函數(shù)f(x)=x-2sinx在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 答案  解析 令f′(x)=1-2cosx>0,得cosx<, 又x∈(0,π),所以<x<π. 3.函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 答案 (0,1) 解析 ∵y=x2-lnx的定義域為(0,+∞), ∴y′=x-,令y′<0,即x-<0, 解得0<x<1或x<-1. 又x>0,∴0<x<1. 4.若函數(shù)f(x)=x2-在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案 [-2,+∞) 解析 f′(x)=2x+. 令f′(x)≥0,即2x+≥0,則a≥-2x3, 由于g(x)=-2x3在(1,+∞)上滿足g(x)<g(1)=-2, ∴要使a≥-2x3在(1,+∞)上恒成立,應(yīng)有a≥-2. 5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+4,則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的________條件. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案 充分不必要 解析 f′(x)=x2+a,當(dāng)a≥0時,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件. 6.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式<0的解集為________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 解不等式 答案 (-3,-1)∪(0,1) 解析 由題圖知,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(-1,1)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(-3,-1)∪(1,+∞)時,f′(x)>0, 故不等式<0的解集為(-3,-1)∪(0,1). 7.若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為__________. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案  解析 ∵f′(x)=6x2-6mx+6, 當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)≥0恒成立, 即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立. 令g(x)=x+,g′(x)=1-, ∴當(dāng)x>2時,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增, ∴m≤2+=. 8.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當(dāng)x∈時,f(x)=ex+sinx,則f(1),f(2),f(3)的大小關(guān)系為________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 比較函數(shù)值的大小 答案 f(2)>f(1)>f(3) 解析 由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),由f(x)=ex+sinx得函數(shù)在上單調(diào)遞增,又-<π-3<1<π-2<,∴f(π-2)>f(1)>f(π-3),∴f(2)>f(1)>f(3). 9.若函數(shù)f(x)=x2-9lnx在區(qū)間[a-1,a+1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案 (1,2] 解析 ∵f(x)=x2-9lnx,∴f′(x)=x-(x>0). 令x-≤0,解得0<x≤3, 即f(x)在(0,3]上單調(diào)遞減. 又f(x)在[a-1,a+1]上單調(diào)遞減, ∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2. 10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,f′(x)<2,則滿足f(x)>2x-1的x的取值范圍為________. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 解不等式 答案 (-∞,1) 解析 令g(x)=f(x)-2x+1, 則g′(x)=f′(x)-2<0,所以g′(x)是減函數(shù), 又g(1)=f(1)-21+1=0, 當(dāng)g(x)>g(1)=0時,x<1,所以f(x)-2x+1>0, 即f(x)>2x-1的解集為(-∞,1). 二、解答題 11.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均為常數(shù),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y-1=0. (1)求a,b,c的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 單調(diào)性的綜合運用 解 (1)因為f′(x)=3ax2+2bx, 所以f′(1)=3a+2b. 又因為切線x+y=1的斜率為-1, 所以3a+2b=-1,又a+b=0, 解得a=-1,b=1,所以f(1)=a+b+c=c. 由點(1,c)在直線x+y=1上,可得1+c=1,即c=0, 所以a=-1,b=1,c=0. (2)由(1)知,f(x)=-x3+x2, 令f′(x)=-3x2+2x=0,解得x1=0,x2=. 當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)<0; 當(dāng)x∈時,f′(x)>0; 當(dāng)x∈時,f′(x)<0, 所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為(-∞,0)和. 12.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,求a的取值范圍; (2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 解 (1)求導(dǎo)得f′(x)=3x2-a, 因為f(x)在R上是增函數(shù), 所以f′(x)≥0在R上恒成立. 即3x2-a≥0在R上恒成立. 即a≤3x2,而3x2≥0,所以a≤0. 當(dāng)a=0時,f(x)=x3-1在R上單調(diào)遞增,符合題意. 所以a的取值范圍是(-∞,0]. (2)假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減, 則f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立. 即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2, 又因為在(-1,1)上,0≤3x2<3,所以a≥3. 當(dāng)a=3時,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,即a=3符合題意. 所以存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,且a的取值范圍是[3,+∞). 13.已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx. (1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)g(x)=+f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 考點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 題點 不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間 解 (1)f′(x)=2x+=,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞). ①當(dāng)a≥0時,f′(x)>0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞); ②當(dāng)a<0時,f′(x)=, 當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (0,) (,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,), 單調(diào)遞增區(qū)間是(,+∞). (2)由g(x)=+x2+2alnx, 得g′(x)=-+2x+, 已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù), 則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立, 即a≤-x2在[1,2]上恒成立. 令h(x)=-x2, 則h′(x)=--2x=-<0,x∈[1,2], 所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù),h(x)min=h(2)=-, 所以a≤-. 故實數(shù)a的取值范圍為. 三、探究與拓展 14.若φ(x)=-lnx在[1,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為________. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案 (-∞,2] 解析 ∵φ(x)=-lnx在[1,+∞)上是減函數(shù). ∴φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立. 即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立, 則2m-2≤x+,x∈[1,+∞), ∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2. 故實數(shù)m的取值范圍為(-∞,2]. 15.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍. 考點 利用函數(shù)單調(diào)性求變量 題點 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x)=. 當(dāng)a>0時,f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞); 當(dāng)a<0時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1); 當(dāng)a=0時,f(x)不是單調(diào)函數(shù). (2)由(1)及題意得f′(2)=-=1,即a=-2, ∴f(x)=-2lnx+2x-3,f′(x)=. ∴g(x)=x3+x2-2x, ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù), 即g′(x)=0在區(qū)間(t,3)上有變號零點. ∵g′(0)=-2,∴ 當(dāng)g′(t)<0,即3t2+(m+4)t-2<0對任意t∈[1,2]恒成立,由于g′(0)<0, 故只要g′(1)<0且g′(2)<0, 即m<-5且m<-9,即m<-9; 由g′(3)>0,即m>-. ∴-<m<-9. 即實數(shù)m的取值范圍是.

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本文(2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx)為本站會員(xt****7)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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