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高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一匯總[共18頁]

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高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一匯總[共18頁]

高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一 一 試 (考試時(shí)間:80分鐘 滿分100分) 一、填空題(共8小題,分) 1、已知,點(diǎn)在直線 上移動(dòng),當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 。 2、設(shè)為正整數(shù)n(十進(jìn)制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和,比如 。記,,,則 。 3、如圖,正方體中,二面角的度數(shù)是 。 4、在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù),能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。 5、若正數(shù)滿足,則的最大值是 。 6、在平面直角坐標(biāo)系中,給定兩點(diǎn)和,點(diǎn)在軸上移動(dòng),當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 。 7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且,則的值是 。 8、函數(shù)在時(shí)的最小值為 。 二、解答題(共3題,) 9、設(shè)數(shù)列滿足條件:,且) 求證:對(duì)于任何正整數(shù)n,都有: 10、已知曲線,,為正常數(shù).直線與曲線的實(shí)軸不垂直,且依次交直線、曲線、直線于、、、4個(gè)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)。 (1)若,求證:的面積為定值; (2)若的面積等于面積的,求證: 11、已知、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根,函數(shù) 的定義域?yàn)? (Ⅰ)求 (Ⅱ)證明:對(duì)于,若,則. 二 試 (考試時(shí)間:150分鐘 總分:200分) E F A B C G H P O1。 。O2 一、(本題50分)如圖,和與的三邊所在的三條直線都相切,為切點(diǎn),并且、的延長線交于點(diǎn)。 求證:直線與垂直。 二、(本題50分)正實(shí)數(shù),滿足。證明: 三、(本題50分)對(duì)每個(gè)正整數(shù),定義函數(shù) (其中表示不超過的最大整數(shù),。試求:的值。 四、(本題50分)在世界杯足球賽前,國的教練員為了考察這七名隊(duì)員,準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場,假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻,這些隊(duì)員都有且只有一人在場上,并且每人上場的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被7整除,每人上場的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除.如果每場換人的次數(shù)不限,那么,按每名隊(duì)員上場的總時(shí)間計(jì),共有多少種不同的情況? 答案與解析 一、填空題 1、。.時(shí)取最小值, 此時(shí)=。 2、4。 解: 將記做,于是有 從89開始,是周期為8的周期數(shù)列。故 。 3、。 解:連結(jié),作,垂足為,延長交于,則,連結(jié),由對(duì)稱性知是二面角的平面角。 連結(jié),設(shè),則 中,, 在 的補(bǔ)角,。 4、。 解:三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,設(shè)為 ,按題意必須滿足 。 對(duì)于給定的可以取. 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。 5、。 解:由條件,有, 令; 則, 從而原條件可化為: 令則,解得, 故 6、解:經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上,設(shè)圓心為,則圓的方程為: 對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值時(shí),經(jīng)過三點(diǎn)的圓S必與軸相切于點(diǎn),即圓的方程中的值必須滿足解得 或. 即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和,而過點(diǎn)的圓的半徑大于過點(diǎn)的圓的半徑,所以,故點(diǎn)為所求,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 7、. 解:設(shè) 即 故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列, 。 。 8、解: (由調(diào)和平均值不等式) 要使上式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng) (1) -(2)得到, 即得。因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí),。所以。 二、解答題 9、證明:令 ,則有 ,且 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式,可得 注意到 ,可知 B A C Q P y O C x D B A ,即 10、解:(1)設(shè)直線:代入得:,得:, 設(shè),,則有,, 設(shè),, 易得:,, 由得, 故, 代入得, 整理得:, 又,,, 為定值. (2)設(shè)中點(diǎn)為,中點(diǎn)為 則,, 所以,、重合,從而, 從而,又的面積等于 面積的,所以, 從而. 11、解:(Ⅰ)設(shè) 則 又 故在區(qū)間上是增函數(shù)。 (Ⅱ)證: , 而均值不等式與柯西不等式中,等號(hào)不能同時(shí)成立, 二 試 一、證明:延長交于,則和分別是 與的截線,由梅涅勞斯定理得: ① ② P 都是的旁切圓, ③H G O2 O1 A 于是由①、②、③得: F E D C B = 又 ∴ == 而三點(diǎn)共線,且 ∴ 二、證明:原不等式可變形為 即 由柯西不等式以及可得 即 同理 上面三式相加并利用得 三、解:對(duì)任意,若,則,設(shè) 則 讓a跑遍區(qū)間)中的所有整數(shù), 則 于是……① 下面計(jì)算畫一張的表,第行中,凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號(hào),則這行的“*”號(hào)共個(gè),全表的“*”號(hào)共個(gè);另一方面,按列收集“*”號(hào)數(shù),第列中,若有個(gè)正因數(shù),則該列使有個(gè)“*”號(hào),故全表的“*”號(hào)個(gè)數(shù)共 個(gè),因此 示例如下: 1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 4 * 5 6 * 則 ……② 由此, ……③ 記易得的取值情況如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 因此,……④ 據(jù)定義, 又當(dāng), , ,則……⑤ 從則 四、解:設(shè)各人上場時(shí)間分別為 (為正整數(shù)). 得方程 令得方程. 即求此方程滿足的整數(shù)解. 即 相應(yīng)的 的解只有1種,的解有種, 的解有種; 的解有種, 的解有種, 的解有種. ∴ 共有種。 18

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