解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(解析幾何)

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 專題升級訓(xùn)練 　解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(解析幾何) 1.已知m∈R,直線l:mx-(m2+1)y=4m和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0有公共點(diǎn). (1)求直線l斜率的取值范圍; (2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧?為什么? 2.已知☉C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0. (1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同交點(diǎn)A,B; (2)求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線? 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,記二次函數(shù)f(x)=x

2、2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn),經(jīng)過三個交點(diǎn)的圓記為C. (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍; (2)求圓C的方程. 4.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-1,0),離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 5.已知兩點(diǎn)A,B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動,且|AB|=,動點(diǎn)P滿足2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P的軌跡記為曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l,與橢圓+y2=1交于M,N兩點(diǎn),求證:為定值. 6. (20xx

3、山東煙臺模擬,21)如圖,已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸正半軸相交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)),且|MN|=3,已知橢圓D:=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點(diǎn). (1)求圓C和橢圓D的方程; (2)若過點(diǎn)M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A,B兩點(diǎn),求證:直線AN與直線BN的傾斜角互補(bǔ). 7.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1. (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求的最小值. 8.已知點(diǎn)F1,F2分別為橢圓C

4、:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓C上的一點(diǎn),且|F1F2|=2,∠F1PF2=,△F1PF2的面積為. (1)求橢圓C的方程; (2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,過點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),對于任意的k∈R,是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由. ## 1.解:(1)直線l的方程可化為y=x-, 直線l的斜率k=. 因?yàn)閨m|≤(m2+1), 所以|k|=,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時等號成立. 所以斜率k的取值范圍是. (2)不能. 由(1)知直線l的方程為y=k(x-4),其中|k|≤. 圓C的圓心為C(4,-2),半徑r=2. 圓心C到直線

5、l的距離d=. 由|k|≤,得d≥>1,即d>. 從而,若l與圓C相交,則圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于. 所以l不能將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧. 2. 解: (1)證明:圓心C(0,1),半徑r=, 則圓心到直線l的距離d=<1,∴d

6、交點(diǎn)為(1,3),(1,-1), 故M的坐標(biāo)為(1,1). 當(dāng)x=0時,直線l與圓的交點(diǎn)為(-,1),(,1),故M的坐標(biāo)為(0,1). 綜上,弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程為+(y-1)2=,表示圓心坐標(biāo)是,半徑是的圓. 3.解:(1)令x=0,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0,b); 函數(shù)f(x)=x2+2x+b與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn), 由題意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0. (2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0得x2+Dx+F=0, 這與x2+2x+b=0是同一個方程,故D=2,F=b. 令x=0得y2+Ey+F=0,[來源:] 此方程有一個根為b,

7、代入得出E=-b-1. 所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. 4.解:(1)由題意可知:c=1,a2=b2+c2,e=, 解得a=,b=1. 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0), 聯(lián)立,得 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. ∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F, ∴方程有兩個不等實(shí)根. 記A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)N(x0,y0), 則x1+x2=,x0=,y0=,垂直平分線NG的方程為y-y0=-(x-x0). 令y=0,得x=x0+ky0=-=-=-. ∵k≠0,∴-<

8、x<0. ∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為. 5.解:(1)方法一:設(shè)P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2). ∵2,∴P是線段AB的中點(diǎn),∴ ∵|AB|=,∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=.∴(2y)2+(2x)2=. ∴化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=. 方法二:∵2, ∴P為線段AB的中點(diǎn). ∵A,B分別在直線y=x和y=-x上, ∴∠AOB=90. 又|AB|=,∴|OP|=. ∴點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上. ∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=. (2)證明:當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l:y=kx+m. ∵l與C相切,∴, ∴m2=(1

9、+k2). 聯(lián)立 ∴ 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1x2=,y1y2=.[來源: ∴=x1x2+y1y2=. 又m2=(1+k2),∴=0,[來源:] 當(dāng)直線l的斜率不存在時,l的方程為x=,代入橢圓方程得M,N或M,N, 此時,=0. 綜上所述,為定值0. 6.解:(1)設(shè)圓的半徑為r,由題意,圓心為(r,2). 因?yàn)閨MN|=3,所以r2=+22=,所以r=. 故圓C的方程是+(y-2)2=.① 在①中,令y=0,解得x=1或x=4, 所以N(1,0),M(4,0). 由 得c=1,a2=4, b2=3. 所以橢圓D的方程為=1. (2

10、)證明:設(shè)直線l的方程為y=k(x-4). 由得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=. 當(dāng)x1≠1且x2≠1時, 因?yàn)閗AN+kBN= =k =[2x1x2-5(x1+x2)+8] = =0, 所以kAN=-kBN. 當(dāng)x1=1或x2=1時,k=,此時方程Δ=0,不合題意, 所以直線AN與直線BN的傾斜角互補(bǔ). 7.解:(1)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 由題意得-|x|=1. 化簡得y2=2x+2|x|, 當(dāng)x≥0時,y2=4x;當(dāng)x<0時,y=0. 所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程

11、為y2=4x(x≥0)和y=0(x<0). (2)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0, 設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實(shí)根, 于是x1+x2=2+,x1x2=1. 因?yàn)閘1⊥l2,所以l2的斜率為-. 設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1. =()() ==||||+|||| =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =1++1+1+(2+4k2)+1 =8+4≥8+42 =16, 故

12、當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=1時,取最小值16. 8.解:(1)設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2中,由余弦定理得22=m2+n2-2mncos, 化簡得,m2+n2-mn=4. 由,得mnsin.化簡得mn=. 于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8. ∴m+n=2,由此可得,a=. 又∵半焦距c=1,∴b2=a2-c2=1. 因此,橢圓C的方程為+y2=1. (2)由已知得F2(1,0),直線l的方程為y=k(x-1),[來源:] 由消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. ∵ =+y1y2 =+k2(x1-1)(x2-1) =(k2+1)x1x2-(x1+x2)++k2 =(k2+1)+k2 ==-.由此可知=-為定值.