高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步課時(shí)訓(xùn)練22
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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步課時(shí)訓(xùn)練22
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第八章 立體幾何初步
第1課時(shí) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
一、 填空題
1. 線段AB在平面α內(nèi),則直線AB與平面α的位置關(guān)系是____________.(用符號(hào)表示)
答案:AB?α
解析:由公理1可知AB?α.
2. 已知α∩β=l,m? α,n? β,m∩n=P,則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號(hào)表示為________.
答案:P∈l
解析:因?yàn)棣痢搔拢絣,m? α,n? β,m∩n=P,所以P∈m,P∈n,P∈α,P∈β,所以P∈l.
3. 設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個(gè)命題:
① 若a∥b,b∥c,則a∥c;
② 若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③ 若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;
④ 若a∥b,b⊥c,則a⊥c.
上述命題中正確的是________.(填序號(hào))
答案:①④
解析:由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時(shí),a與c可以相交、平行或異面,故②錯(cuò)誤;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行或異面,故③錯(cuò)誤;根據(jù)異面直線所成角的定義知④正確.
4. 若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是________.(填序號(hào))
① l與l1,l2都不相交;② l與l1,l2都相交;③ l至多與l1,l2中的一條相交;④ l至少與l1,l2中的一條相交.
答案:④
解析:若l與l1,l2都不相交,則l∥l1,l∥l2,所以l1∥l2,這與l1和l2是異面直線相矛盾,所以l至少與l1,l2中的一條相交.故④正確.
5. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為B1O和C1O的中點(diǎn),長(zhǎng)方體的各棱中,與EF平行的有__________條.
答案:4
解析:∵ EF是△OB1C1的中位線,∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1,∴ 與EF平行的棱共有4條.
6. 如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面的有________對(duì).
答案:3
解析:平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化,則AB,CD,EF和GH在原正方體中,顯然AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行.故互為異面的直線有且只有3對(duì).
7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方體,點(diǎn)O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是________.(填序號(hào))
① A,M,C1三點(diǎn)共線;
② M,O,A1,A四點(diǎn)共面;
③ A,O,C,M四點(diǎn)共面;
④ B,B1,O,M四點(diǎn)共面.
答案:①④
解析:作出圖形,可知②③正確.
8. 如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AA1∶AB=∶1,則異面直線AB1與BD所成的角為________.
答案:60
解析:如圖,取A1C1的中點(diǎn)E,連結(jié)B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即為所求,設(shè)AB=1,則AA1=,AB1=,B1E=,故∠AB1E=60.
9. 如圖,點(diǎn)G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________.(填序號(hào))
答案:②④
解析:圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連結(jié)MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.
10. 如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,點(diǎn)M, N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列判斷正確的是________.(填序號(hào))
① MN與CC1垂直;② MN與AC垂直;
③ MN與BD平行;④ MN與A1B1平行.
答案:①②③
解析:連結(jié)B1C,B1D1,則MN是△B1CD1的中位線,
∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,∴ MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故①②③正確.
∵ A1B1與B1D1相交,
∴ MN與A1B1不平行,因此④錯(cuò)誤.
二、 解答題
11. 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
(1) 求證:D,B,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面;
(2) 作出直線A1C與平面BDEF的交點(diǎn)R的位置.
(1) 證明:由于CC1和BF在同一個(gè)平面內(nèi)且不平行,故必相交.設(shè)交點(diǎn)為O,則OC1=C1C.同理直線DE與CC1也相交,設(shè)交點(diǎn)為O′,則O′C1=C1C,故O′與O重合.由此可證得DE∩BF=O,故D,B,F(xiàn),E四點(diǎn)共面(設(shè)為α).
(2) 解:由于AA1∥CC1,所以A1,A,C,C1四點(diǎn)共面(設(shè)為β).P∈BD,而BD?α,故P∈α.
又P∈AC,而AC?β,所以P∈β,
所以P∈α∩β,同理可證得Q∈α∩β,所以有α∩β=PQ.
因?yàn)锳1C?β,
所以A1C與平面α的交點(diǎn)就是A1C與PQ的交點(diǎn),連結(jié)A1C,則A1C與PQ的交點(diǎn)R就是所求的交點(diǎn).
12. 如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為A1A ,C1C的中點(diǎn),求證:四邊形EBFD1是菱形.
證明:如圖,取B1B的中點(diǎn)G,連結(jié)GC1,EG,
∵ GB∥C1F,且GB=C1F,
∴ 四邊形C1FBG是平行四邊形,
∴ FB∥C1G,且FB=C1G.
∵ D1C1∥EG,且D1C1=EG,
∴ 四邊形D1C1GE為平行四邊形,
∴ GC1∥D1E,且GC1=D1E,
∴ FB∥D1E,且FB=D1E,
∴ 四邊形EBFD1為平行四邊形.
∵ FB=FD1,∴ 四邊形EBFD1是菱形.
13. 已知空間四面體ABCD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=BC,CH=DC.求證:
(1) E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;
(2) 三條直線FH,EG,AC共點(diǎn).
證明:(1) 如圖,連結(jié)EF,GH.
∵ 點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),
∴ EF∥BD.
∵ CG=BC,CH=DC,
∴ GH∥BD,∴ EF∥GH,
∴ E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面.
(2) 易知FH與直線AC不平行,但共面,
∴ 設(shè)FH∩AC=M,
∴ M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
∵ 平面EFHG∩平面ABC=EG,
∴ M∈EG,∴ 直線FH,EG,AC共點(diǎn).第2課時(shí) 直線與平面的位置關(guān)系(1)
一、 填空題
1. 直線a,b為異面直線,關(guān)于過直線a 且與直線b平行的平面的情況,下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào))
① 有且只有一個(gè);② 有無(wú)數(shù)多個(gè);③ 至多一個(gè);④ 不存在.
答案:①
解析:在直線a上任選一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作b′∥b,則b′是唯一的,又a∩b′=A,所以a與b′確定一平面并且只有一個(gè)平面,故①正確.
2. 對(duì)于不同直線m,n和不同平面α,β,給出下列命題:
① ?m∥n;② ?n∥β;
③ ?m,n不共面;④ ?m∥n.
其中假命題的個(gè)數(shù)是__________.
答案:4
解析:①中m與n可能平行,也可能異面;②中可能n?β;③中可能m∥n或m與n相交;④中不知道α與β的位置,無(wú)法判斷m與n的位置關(guān)系.故四個(gè)命題都不正確.
3. 若直線l與平面α不平行,則下列結(jié)論正確的是________.(填序號(hào))
① α內(nèi)的所有直線都與直線l異面;② α內(nèi)不存在與l平行的直線;③ α內(nèi)的直線與l都相交;④ 直線l與平面α有公共點(diǎn).
答案:④
解析:直線l與平面α不平行,則直線l與平面α有如下關(guān)系:l?α或l∩α=A,故①②③均不正確,④正確.
4. 下列命題正確的是________.(填序號(hào))
① 若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面;
② 若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行;
③ 若直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④ 若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α.
答案:④
解析:根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知,④正確.
5. 已知三條直線a,b,c和平面β,則下列推論正確的是________.(填序號(hào))
① 若a∥b,b?β,則a∥β;
② 若a∥β,b∥β,則a∥b;
③ 若a?β,b∥β,a,b共面,則a∥b;
④ 若a⊥c,b⊥c,則a∥b.
答案:③
解析:對(duì)于①,可能有a?β,故①錯(cuò);對(duì)于②,a與b可能平行、相交或異面,故②錯(cuò);對(duì)于④,a與b可能平行、相交或異面,故④錯(cuò);根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知,③正確.
6. 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度為________.
答案:
解析:因?yàn)镋F∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以 EF∥AC.又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),所以點(diǎn)F是DC的中點(diǎn).所以EF=AC=.
7. 過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條.
答案:6
解析: 四條棱AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線均與平面ABB1A1平行,所以共有6條直線符合題意.
8. 如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ平行的是________.(填序號(hào))
答案:②③④
解析:因?yàn)辄c(diǎn)M,N,Q分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn),所以在①中AB與平面MNQ相交,在②③中均有AB∥MQ,在④中,有AB∥NQ,所以在②③④中均有AB與平面MNQ平行.
9. 如圖,正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M只需滿足條件________________時(shí),就有MN∥平面B1BDD1.(填上正確的一個(gè)條件即可,不必考慮全部的可能情況)
答案:點(diǎn)M與點(diǎn)H重合(或點(diǎn)M在線段FH上)
解析:當(dāng)點(diǎn)M在線段FH上時(shí),MN∥平面B1BDD1.
二、 解答題
10. 如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn).求證:EF∥平面PAB.
證明:因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn),
所以EF∥CD.
又在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB,
又AB?平面PAB,EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.
11. 如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BB1,AC的中點(diǎn).求證:BF∥平面A1EC.
證明:如圖,連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)O,連結(jié)OE,OF.
在三棱柱ABCA1B1C1中,四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以O(shè)A=OC1.
因?yàn)辄c(diǎn)F為AC的中點(diǎn),所以O(shè)F∥CC1且OF=CC1.
因?yàn)辄c(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),所以BE∥CC1且BE=CC1.
所以BE∥OF且BE=OF,
所以四邊形BEOF是平行四邊形,
所以BF∥OE.
又BF?平面A1EC,OE?平面A1EC,
所以BF∥平面A1EC.
12. 如圖,已知A,B,C,D四點(diǎn)不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G.求證:四邊形EFHG是平行四邊形.
證明:∵ AB∥α,平面ABC∩α=EG,∴ EG∥AB.
同理FH∥AB,∴ EG∥FH.
又CD∥α,平面BCD∩α=GH.
∴ GH∥CD.
同理EF∥CD,
∴ GH∥EF.
∴ 四邊形EFHG是平行四邊形.
13. 如圖,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的中點(diǎn).求證:
(1) AD1∥平面BDC1;
(2) BD∥平面AB1D1.
證明:(1) 因?yàn)辄c(diǎn)D1,D分別為A1C1與AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以C1D1∥DA,C1D1=DA,
所以四邊形ADC1D1為平行四邊形,
所以AD1∥C1D.
又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,
所以AD1∥平面BDC1.
(2) 如圖,連結(jié)D1D,
因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,
所以BB1∥D1D.
又D1,D分別為A1C1與AC的中點(diǎn),
所以BB1=DD1,
故四邊形BDD1B1為平行四邊形,
所以BD∥B1D1.
又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,
所以BD∥平面AB1D1.
第3課時(shí) 直線與平面的位置關(guān)系(2)
一、 填空題
1. 設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面α內(nèi),則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件.
答案:充分不必要
解析:l⊥α?l⊥m,l⊥n.反之,因?yàn)?m,n不一定相交,故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.
2. 下列條件中,能判定直線l⊥平面α的是________.(填序號(hào))
① l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直;
② l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直;
③ l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直;
④ l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直.
答案:④
解析:由線面垂直的定義及判定定理可知④正確.
3. 下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào))
① 若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則這條直線平行于這個(gè)平面;
② 若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這個(gè)平面的直線必垂直于這條直線;
③ 若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面.
答案:②
解析:當(dāng)這兩點(diǎn)在平面兩側(cè)時(shí),直線與平面相交,①錯(cuò)誤;②正確;③中垂直于這條直線的另一條直線可能平行于這個(gè)平面或相交但不垂直于這個(gè)平面,③錯(cuò)誤.
4. 已知平面α,β和直線m,給出條件:① m∥α;② m⊥α;③ m?α;④ α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí),有m⊥β.(填序號(hào))
答案:②④
解析:若m⊥α,α∥β,則m⊥β.故填②④.
5. 已知m,n是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,有下列四個(gè)命題:
① 若m∥α,n∥α,則m∥n;
② 若m⊥α,n⊥α,則m∥n;
③ 若m∥α,n⊥α,則m⊥n;
④ 若m⊥α,m⊥n,則n∥α.
其中真命題是____________.(填序號(hào))
答案:②③
6. 如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,∠ACB=90,點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F=________.
答案:
解析:設(shè)B1F=x,因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.
由已知,得A1B1=.設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,則DE=h.
又2=h,所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E= =.
由面積相等,得=x,解得x=.即線段B1F的長(zhǎng)為.
7. 如圖,PA⊥平面ABC,在△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________.
答案:4
解析:??BC⊥平面PAC?BC⊥PC,∴ 直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.
8. 在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為________.
答案:
解析:如圖,在平面ADD1A1中作A1E⊥AD1于點(diǎn)E,連結(jié)C1E,因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,所以A1E⊥AB.因?yàn)锳D1 ∩AB=A,AD1,AB?平面ABC1D1,則A1E⊥平面ABC1D1,所以∠A1C1E就是A1C1與平面ABC1D1所成的角,在Rt△AA1D1中,AA1=A1D1,A1E⊥AD1,所以點(diǎn)E為AD1的中點(diǎn),且A1E=AD1=A1C1,所以sin∠A1C1E==.
9. 設(shè)α,β是空間中兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β外的兩條不同的直線.從“① m⊥n;② α⊥β;③ n⊥β;④ m⊥α”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:________.(填序號(hào))
答案:①③④?②或②③④?①
解析:因?yàn)楫?dāng)n⊥β,m⊥α?xí)r,平面α及β所成的二面角與直線m,n所成的角相等或互補(bǔ),所以若m⊥n,則α⊥β,從而由①③④?②正確;同理②③④?①也正確.
10. 如圖,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=________時(shí),CF⊥平面B1DF.
答案:a或2a
解析:由題意可得B1D⊥平面A1ACC1,∴ CF⊥B1D,∴ 為了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).設(shè)AF=x,則CD2=DF2+FC2,∴ x2-3ax+2a2=0,∴ x=a或x=2a.
二、 解答題
11. 如圖,在四棱錐PABCD中, 底面ABCD為菱形,且PA⊥底面ABCD,PA=AC,點(diǎn)E是PA的中點(diǎn),點(diǎn)F是PC的中點(diǎn),求證:
(1) PC∥平面BDE;
(2) AF⊥平面BDE.
證明:(1) 連結(jié)OE,
因?yàn)辄c(diǎn)O為菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)E為PA的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PC.
因?yàn)镺E?平面BDE,PC?平面BDE,
所以PC∥平面BDE.
(2) 因?yàn)镻A=AC,△PAC是等腰三角形,
又點(diǎn)F是PC的中點(diǎn),所以AF⊥PC.
又OE∥PC,所以AF⊥OE.
因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BD ?平面ABCD,
所以PA ⊥BD.
因?yàn)锳C,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,
所以AC⊥BD.
又PA∩AC=A,AC?平面PAC,PA?平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又AF?平面PAC,
所以AF⊥BD .
又OE∩BD=O,OE?平面BDE,BD?平面BDE,
所以AF⊥平面BDE.
12. 如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)D在邊BC上,AD⊥C1D.
(1) 求證: AD⊥平面BCC1B1;
(2) 如果點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),求證:A1E∥平面ADC1.
證明:(1) 因?yàn)锳BCA1B1C1是正三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因?yàn)锳D⊥C1D,CC1,C1D?平面BCC1B1,CC1∩C1D=C1,
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2) 因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中,A1B1=A1C1,點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),
所以A1E⊥B1C1.
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1,且A1E?平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1E.
又因?yàn)锽1C1,CC1?平面BCC1B1,B1C1∩CC1=C1,
所以A1E⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1.
13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中點(diǎn).若點(diǎn)P在線段BB1上,且BP=BB1.求證:AP⊥平面A1CD.
證明:∵ CA=CB,D是AB的中點(diǎn),∴ CD⊥AB.
∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC⊥側(cè)面A A1B1B,交線為AB,又CD?平面ABC,∴ CD⊥平面AA1B1B.
∵ AP?平面A1B1BA,∴ CD⊥AP.
∵ BB1=BA,BB1=AA1 ,BP=BB1,
∴ ==,
∴ Rt△ABP∽R(shí)t△A1AD,∴ ∠AA1D=∠BAP,
∴ ∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90,
∴ AP⊥A1D.
∵ CD∩A1D=D,CD?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
∴ AP⊥平面A1CD.
第4課時(shí) 平面與平面的位置關(guān)系
一、 填空題
1. 設(shè)α,β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個(gè)命題:
① 若m∥n,n?α,則m∥α;
② 若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;
③ 若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;
④ 若α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,則n⊥β.
其中正確的命題是____________.(填序號(hào))
答案:④
解析:①中沒有強(qiáng)調(diào)m在平面α外;②中沒有強(qiáng)調(diào)m,n相交;③中m與n有可能異面;④正確.
2. 已知正方體ABCD A1B1C1D1,下列結(jié)論中正確的是________.(填序號(hào))
① AD1∥BC1;
② 平面AB1D1∥平面BDC1;
③ AD1∥DC1;
④ AD1∥平面BDC1.
答案:①②④
解析:由四邊形ABC1D1是平行四邊形可知AD1∥BC1,故①正確;根據(jù)線面平行與面面平行的判定定理可知,②④正確;AD1與DC1是異面直線,故③錯(cuò)誤.
3. 已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是________.
① 若m∥α,α∩β=n,則m∥n;
② 若m⊥α,n⊥m,則n∥α;
③ 若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n;
④ 若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β.
答案:③
解析:對(duì)于①,如圖,m∥α,α∩β=n,此時(shí)m,n異面,故①錯(cuò)誤;
對(duì)于②,若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,故②錯(cuò)誤;
對(duì)于③,若n⊥β,α⊥β,則n∥α或n?α,又m⊥α,∴ m⊥n,故③正確;
對(duì)于④,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m也可能與β相交、平行或在β內(nèi),故④錯(cuò)誤.
4. 已知α和β是兩個(gè)不重合的平面.在下列條件中,可判定α∥β的是________.(填序號(hào))
① α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于β;
② α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等;
③ l,m是平面α內(nèi)的直線,且l∥β,m∥β;
④ l,m是異面直線且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.
答案:④
解析:由面面平行的判定定理可以推出.
5. 設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是________.(填序號(hào))
① 若m∥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;
② 若m∥α,n⊥β,m∥n,則α⊥β;
③ 若m∥α,n⊥β,m⊥n,則α∥β;
④ 若m∥α,n⊥β,m∥n,則α∥β.
答案:②
解析:②選項(xiàng),由條件n⊥β,m∥n推出m⊥β,又m∥α,易知α⊥β.
6. 設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,a,b是兩條不同的直線,給出四個(gè)論斷:① α∩β=b;② a?β;③ a∥b;④ a∥α.以其中三個(gè)論斷為條件,余下一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題:__.
答案:①②③?④或①②④?③
解析:若α∩β=b,a?β,a∥b,則a∥α,即①②③?④;若α∩β=b,a?β,a∥α,則a∥b,即①②④?③.
7. α,β為兩個(gè)不同的平面,m,n為兩條不同的直線,下列命題中正確的序號(hào)是________.
① 若α∥β,m?α,則m∥β;
② 若m∥α,n?α,則m∥n;
③ 若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β;
④ 若n⊥α,n⊥β,m⊥α,則m⊥β.
答案:①④
解析:由α,β為兩個(gè)不同的平面,m,n為兩條不同的直線,知:
在①中,若α∥β,m?α,則由面面平行的性質(zhì)定理得m∥β,故①正確;
在②中,若m∥α,n?α,則m∥n或m與n異面,故②錯(cuò)誤;
在③中,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m與β相交、平行或m?β,故③錯(cuò)誤;
在④中,若n⊥α,m⊥α,則m∥n,又由n⊥β得m⊥β,故④正確.
8. 如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,圖中互相垂直的平面有________對(duì).
答案:5
解析:由PA⊥平面ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD.又AD⊥PA,且AD⊥AB,PA∩AB=A,∴DA⊥平面PAB,∴ 平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD,∴BC⊥平面PAB,∴ 平面PBC⊥平面PAB,同理DC⊥平面PDA,∴ 平面PDC⊥平面PDA.
9. 已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,l⊥α,m?β,給出下列命題:
① α∥β?l⊥m;② α⊥β?l∥m;
③ m∥α?l⊥β;④ l⊥β?m∥α.
其中正確的命題是________.(填序號(hào))
答案:①④
解析:①是面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用,正確;②α⊥β,l⊥α,l,m可平行,可相交,可異面,命題錯(cuò)誤;③m∥α,l⊥α? l⊥m? l與β可平行,l可在β內(nèi),l可與β相交,命題錯(cuò)誤;④l⊥β,l⊥α?β∥α?m∥α,命題正確.
10. 在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐PABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),有下列結(jié)論:① PC∥平面OMN;② 平面OMN⊥平面PAB;③ OM⊥PA;④ 平面PCD∥平面OMN.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
答案:①③④
解析:如圖所示,其中E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn),連結(jié)OE,OF,G為OE的中點(diǎn),連結(jié)EM,MG,AC,BD,平面OMN即平面MNOE.
因?yàn)镸為PA的中點(diǎn),O為AC的中點(diǎn),所以PC∥OM,所以PC∥平面OMN,同理PD∥平面OMN,所以平面PCD∥平面OMN,故①④正確.由于四棱錐的棱長(zhǎng)均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PC⊥PA.又PC∥OM,所以O(shè)M⊥PA,故③正確.因?yàn)镺M=PC=PD=ME,所以MG⊥OE.又MN∥OE,所以GM⊥MN.假設(shè)平面OMN⊥平面PAB,則GM⊥平面PAB,則MG⊥PA,設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為4,則MA=2,AG=,MG=,三邊長(zhǎng)度不滿足勾股定理,所以MG不垂直PA,與假設(shè)矛盾,故②不正確.
二、 解答題
11. 如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC⊥AC,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).求證:
(1) B1C1∥平面A1DE;
(2) 平面A1DE⊥平面ACC1A1.
證明:(1) 因?yàn)镈,E分別是AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC.
又因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.
又B1C1?平面A1DE,DE?平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.
(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥底面ABC,
又DE?底面ABC,所以CC1⊥DE.
又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC.
又CC1,AC?平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.
又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.
12. 如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:
(1) EF∥平面ABC;
(2) AD⊥AC.
證明:(1) 在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.
又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2) 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
BC?平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因?yàn)锳D?平面ABD,
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因?yàn)锳C?平面ABC,
所以AD⊥AC.
13. 如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F(xiàn),G分別為AB,AD,AC的中點(diǎn),AC=BC,∠ACD=90.
(1) 求證:AB⊥平面EDC;
(2) 若P為FG上任一點(diǎn),求證:EP∥平面BCD.
證明:(1) 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD,∠ACD=90,即CD⊥AC,
平面ABC ∩平面ACD=AC,CD?平面ACD,
所以CD⊥平面ABC.
又AB?平面ABC,
所以CD⊥AB.
因?yàn)锳C=BC,E為AB的中點(diǎn),
所以CE⊥AB.
又CE∩CD=C,CD?平面EDC,CE?平面EDC,
所以AB⊥平面EDC.
(2) 連結(jié)EF,EG,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),
所以EF∥BD.
又BD?平面BCD,EF?平面BCD,
所以EF∥平面BCD.
同理可證EG∥平面BCD,且EF∩EG=E,EF?平面BCD,EG?平面BCD,
所以平面EFG∥平面BCD.
又P為FG上任一點(diǎn),
所以EP?平面EFG,
所以EP∥平面BCD.第5課時(shí) 空間幾何體的表面積和體積
一、 填空題
1. 已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)圓心角為120,且面積為3π的扇形,則該圓錐的體積為________.
答案:
解析:設(shè)圓錐的母線為l,底面半徑為r,因?yàn)?π=πl(wèi)2,所以l=3,由2πr=,得r=1,所以圓錐的高是2,所以圓錐的體積是π122=.
2. 如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=3 cm,AA1=1 cm,則三棱錐D1A1BD的體積為________cm3.
答案:
解析:三棱錐D1A1BD的體積等于三棱錐BA1D1D的體積,因?yàn)槿忮FBA1D1D的高等于AB,△A1D1D的面積為矩形AA1D1D的面積的,所以三棱錐BA1D1D的體積是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積的,所以三棱錐D1A1BD的體積為321=.
3. 若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 cm,側(cè)面積為8 cm,則它的體積為________cm3.
答案:
解析:因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面積為8,所以底面周長(zhǎng)c=8,ch′=8,所以斜高h(yuǎn)′=2,所以正四棱錐的高h(yuǎn)=,所以正四棱錐的體積為22=.
4. 底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為________.
答案:
解析:底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的高為1,底面積為4,則體積為.
5. 設(shè)M,N分別為三棱錐P ABC的棱AB,PC的中點(diǎn),三棱錐P ABC的體積記為V1,三棱錐P AMN的體積記為V2,則=________.
答案:
解析:設(shè)△AMN的面積為S,點(diǎn)P到平面AMN的距離為h,則V2=Sh,而V1=22Sh,則=.
6. 如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=AA1=3,點(diǎn)P在棱CC1上,則三棱錐PABA1的體積為________.
答案:
解析:三棱錐的底S△ABA1=33=,點(diǎn)P到底面ABA1的距離為△ABC的高:h= ,故三棱錐的體積V=Sh= .
7. 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn),則三棱錐B1ADE的體積為________.
答案:
解析:三棱錐B1ADE的體積=三棱錐DB1AE的體積=11=.
8. 若一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積相等,則該正方體的棱長(zhǎng)為________.
答案:2
解析:底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為8,則該正方體的棱長(zhǎng)為2.
9. 已知正四棱錐OABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為________.
答案:24π
解析:設(shè)正四棱錐的高為h,則()2h=,解得高h(yuǎn)=.則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為=,所以O(shè)A==,所以球的表面積為4π()2=24π.
10. 將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱,AB=3,BC=2,圓柱上底面圓心為O,△EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形,則三棱錐OEFG體積的最大值是________.
答案:4
解析:因?yàn)閷⒕匦蜛BCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱,AB=3,BC=2,圓柱上底面圓心為O,△EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形,所以三棱錐OEFG的高為圓柱的高,即高為AB,所以當(dāng)三棱錐OEFG體積取最大值時(shí),△EFG的面積最大,
當(dāng)EF為直徑,且點(diǎn)G在EF的垂直平分線上時(shí),(S△EFG)max=42=4,
所以三棱錐OEFG體積的最大值Vmax=(S△EFG)maxAB=43=4.
二、 解答題
11. 如圖,在三棱錐DABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點(diǎn),F(xiàn)在棱AC上,且AF=3FC.
(1) 求三棱錐DABC的體積;
(2) 若M為DB中點(diǎn),N在棱AC上,且CN=CA,求證:MN∥平面DEF.
(1) 解:因?yàn)椤鰾CD是正三角形,且AB=BC=a,所以S△BCD=a2.
因?yàn)锳B⊥平面BCD,所以VDABC=VA BCD=S△BCDAB=a2a=a3.
(2) 證明:連結(jié)CM,設(shè)CM∩DE=O,連結(jié)OF.
則O為△BCD的重心,CO=CM.
因?yàn)镃N=CA,AF=3FC,所以CF=CN,所以MN∥OF.因?yàn)镺F?平面DEF,MN?平面DEF,所以MN∥平面DEF.
12. 如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段PC上一點(diǎn).
(1) 求證:PA⊥BD;
(2) 求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3) 當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐EBCD的體積.
(1) 證明:因?yàn)镻A⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC.
因?yàn)锽D?平面ABC,所以PA⊥BD.
(2) 證明:因?yàn)锳B=BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),
所以BD⊥AC.
由(1)知,PA⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE,
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3) 解:因?yàn)镻A∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,
所以PA∥DE.
因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以DE=PA=1,BD=DC=.
由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC,
所以三棱錐E BCD的體積V=BDDCDE=.
13. 如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60,BD∩AC=O,現(xiàn)將其沿菱形對(duì)角線BD折起得到四面體EBCD,使EC=.
(1) 求證:EO⊥CD.
(2) 求點(diǎn)O到平面EDC的距離.
(1) 證明:∵ 四邊形ABCD為菱形,∴ AC⊥BD.
∵ BD∩AC=O,∴ EO⊥BD.
∵ 在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60,∴ AD=CD=BC=2,AO=OC=1.
∵ EC=,CO=EO=1,
∴ EO2+OC2=EC2,
∴ EO⊥OC.又BD∩OC=O,
∴ EO⊥平面BCD,∴ EO⊥CD.
(2) 解:設(shè)點(diǎn)O到平面ECD的距離為h,由(1)知EO⊥平面OCD.
V三棱錐OCDE=V三棱錐EOCD,即S△OCDEO=S△ECDh.
在Rt△OCD中,OC=1,OD=,∠DOC=90,∴ S△OCD=OCOD=.在△CDE中,ED=DC=2,EC=,∴ S△CDE==,∴ h==,即點(diǎn)O到平面EDC的距離為.第6課時(shí) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
一、 填空題
1. 已知空間四邊形OABC,點(diǎn)M,N分別為OA,BC的中點(diǎn),且=a,=b,=c,用a,b,c表示,則=________.
答案:(b+c-a)
解析:=-=(b+c)-a=(b+c-a).
2. 若直線l⊥α,且l的方向向量為(m,2,4),平面α的法向量為,則m為________.
答案:1
解析:∵ (m,2,4)=λ,∴ ∴ m=1.
3. 若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a與b的夾角的余弦值為,則λ=________.
答案:-2或
解析:由cos〈a,b〉===,解得λ=-2或.
4. 已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn).若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),則給出下列結(jié)論:① AP⊥AB;② AP⊥AD;③ 是平面ABCD的一個(gè)法向量;④ ∥.其中正確的是________.(填序號(hào))
答案:①②③
解析:=2(-1)+(-1)2+(-4)(-1)=-2-2+4=0,則⊥,即AP⊥AB;
=(-1)4+22+0=0,則⊥,即AP⊥AD.又AB∩AD=A,∴ AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一個(gè)法向量.由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),∴ ≠≠,∴ 與不平行.
5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值為________.
答案:
解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AA1=2AB=2,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),則=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).
設(shè)平面BDC1的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一個(gè)法向量為n=(2,-2,1).設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ,則sin θ=|cos〈n,〉|=||=.
6. 如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90,∠BAA1=∠DAA1=60,則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度等于________.
答案:
解析:2=(++)2=2+2+2+2+2+2=16+9+25+243cos 90+245cos 60+235cos 60=50+20+15=85,即 ||=.
7. 如圖,在直三棱柱A1B1C1 ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),則異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為________.
答案:
解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4) ,C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).
因?yàn)閏os〈,〉===,所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.
8. 已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng).當(dāng)取得最小值時(shí), 的坐標(biāo)是________.
答案:
解析:∵ 點(diǎn)Q在直線OP上,∴ 設(shè)點(diǎn)Q(λ,λ,2λ),則=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-.當(dāng)λ=時(shí),取得最小值-,此時(shí)=.
9. 在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________.
答案:
解析:如圖,以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)為1,
則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),
所以=(0,1,-1),=.
設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1=(1,y,z),則所以所以n1=(1,2,2).
因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),所以cos 〈n1,n2〉==,
即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.
二、 解答題
10. 如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=λBB1(λ≠0).
(1) 若λ=,求AP與AQ所成角的余弦值;
(2) 若直線AA1與平面APQ所成的角為45,求實(shí)數(shù)λ的值.
解:以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),{,,}為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.
(1) 因?yàn)椋?1,2,2),=(2,0,1),
所以cos〈,〉===.所以AP與AQ所成角的余弦值為.
(2) 由題意可知,=(0,0,2),=(2,0,2λ).
設(shè)平面APQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則即
令z=-2,則x=2λ,y=2-λ.
所以n=(2λ,2-λ,-2).
因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成角為45,
所以|cos〈n,〉|==
=,
化簡(jiǎn)得5λ2-4λ=0.又λ≠0,所以λ=.
11. 如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120.
(1) 求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2) 求二面角BA1DA的正弦值.
解:在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)A作AE⊥AD,交BC于點(diǎn)E.
因?yàn)锳A1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.
如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),{,,}為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.
因?yàn)锳B=AD=2,AA1=,∠BAD=120,
所以A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).
(1) =(,-1,-),=(,1,),
則cos〈,〉=
==-,
因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.
(2) 平面A1DA的一個(gè)法向量為=(,0,0).
設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,
又=(,-1,-),=(-,3,0),
則即
不妨取x=3,則y=,z=2,
所以m=(3,,2)為平面BA1D的一個(gè)法向量,
所以cos〈,m〉===.
設(shè)二面角BA1DA的大小為θ,則|cos θ|=.
因?yàn)棣取蔥0,π],所以sin θ==.
所以二面角BA1DA的正弦值為.
12. 如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90,PA=AB=BC=1,AD=2,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為BC,PD,PC的中點(diǎn).以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1) 求異面直線EF與DG所成角的余弦值.
(2) 若M為EF上一點(diǎn),N為DG上一點(diǎn),是否存在MN,使得MN⊥平面PBC ?若存在,求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1) 由題意得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
∵ 點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為BC,PD,PC的中點(diǎn),
∴ E,F(xiàn),G,
∴ =,=.
設(shè)EF與DG所成角為θ,則cos θ==.
∴ EF與DG所成角的余弦值為.
(2) 存在.設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).
∵ =(0,1,0),=(1,0,-1),∴
取x=1,得n=(1,0,1).
M為EF上一點(diǎn),N為DG上一點(diǎn),
若存在MN,使得MN⊥平面PBC,則∥n.
設(shè)M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),則?、?,
∵ 點(diǎn)M,N分別是線段EF與DG上的點(diǎn),
∴ =λ,=t.
∵ =,=(x2,y2-2,z2),
∴ 且?、?,
把②代入①,得解得
∴ M,N.
13. 如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1) 求證:MN∥平面BDE;
(2) 求二面角CEM N的正弦值;
(3) 已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).
(1) 證明:如圖,以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
=(0,2,0),=(2,0,-2).
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的一個(gè)法向量,
則即
不妨取z=1,可得n=(1,0,1).
又=(1,2,-1),可得n=0.
因?yàn)镸N?平面BDE,所以MN∥平面BDE.
(2) 解:由題可知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.
設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面EMN的一個(gè)法向量,
則
因?yàn)椋?0,-2,-1),=(1,2,-1),
所以
取y2=1,可得n2=(-4,1,-2).
因此cos〈n1,n2〉==-,
所以sin〈n1,n2〉=,
所以二面角CEMN的正弦值為.
(3) 解:依題意,設(shè)AH=h(0≤h≤4),
則H(0,0,h),=(-1,-2,h),=(-2,2,2).
由已知,
得|cos〈,〉|=||
=
=,
整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=,
所以線段AH的長(zhǎng)為或.