高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步課時(shí)訓(xùn)練22

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第八章　立體幾何初步 第1課時(shí)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、 填空題 1. 線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是____________．(用符號(hào)表示) 答案：AB?α 解析：由公理1可知AB?α. 2. 已知α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號(hào)表示為_(kāi)_______． 答案：P∈l 解析：因?yàn)棣痢搔拢絣，m? α，n? β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l. 3. 設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題： ① 若a∥b，b∥c，則a∥c； ② 若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③ 若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ④ 若a∥b，b⊥c，則a⊥c. 上述命題中正確的是________．(填序號(hào)) 答案：①④ 解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；根據(jù)異面直線所成角的定義知④正確． 4. 若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ① l與l1，l2都不相交；② l與l1，l2都相交；③ l至多與l1，l2中的一條相交；④ l至少與l1，l2中的一條相交． 答案：④ 解析：若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，這與l1和l2是異面直線相矛盾，所以l至少與l1，l2中的一條相交．故④正確． 5. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為B1O和C1O的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體的各棱中，與EF平行的有__________條． 答案：4 解析：∵ EF是△OB1C1的中位線，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴ 與EF平行的棱共有4條． 6. 如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的有________對(duì)． 答案：3 解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)． 7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方體，點(diǎn)O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào)) ① A，M，C1三點(diǎn)共線； ② M，O，A1，A四點(diǎn)共面； ③ A，O，C，M四點(diǎn)共面； ④ B，B1，O，M四點(diǎn)共面． 答案：①④ 解析：作出圖形，可知②③正確． 8. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為_(kāi)_______． 答案：60 解析：如圖，取A1C1的中點(diǎn)E，連結(jié)B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，則AA1＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60. 9. 如圖，點(diǎn)G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào)) 答案：②④ 解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面． 10. 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)M, N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是________．(填序號(hào))　 ① MN與CC1垂直；② MN與AC垂直； ③ MN與BD平行；④ MN與A1B1平行． 答案：①②③ 解析：連結(jié)B1C，B1D1，則MN是△B1CD1的中位線， ∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴ MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正確． ∵ A1B1與B1D1相交， ∴ MN與A1B1不平行，因此④錯(cuò)誤． 二、 解答題 11. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (1) 求證：D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2) 作出直線A1C與平面BDEF的交點(diǎn)R的位置． (1) 證明：由于CC1和BF在同一個(gè)平面內(nèi)且不平行，故必相交．設(shè)交點(diǎn)為O，則OC1＝C1C.同理直線DE與CC1也相交，設(shè)交點(diǎn)為O′，則O′C1＝C1C，故O′與O重合．由此可證得DE∩BF＝O，故D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(設(shè)為α)． (2) 解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四點(diǎn)共面(設(shè)為β)．P∈BD，而B(niǎo)D?α，故P∈α. 又P∈AC，而AC?β，所以P∈β， 所以P∈α∩β，同理可證得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ. 因?yàn)锳1C?β， 所以A1C與平面α的交點(diǎn)就是A1C與PQ的交點(diǎn)，連結(jié)A1C，則A1C與PQ的交點(diǎn)R就是所求的交點(diǎn)． 12. 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為A1A ，C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD1是菱形． 證明：如圖，取B1B的中點(diǎn)G，連結(jié)GC1，EG， ∵ GB∥C1F，且GB＝C1F， ∴ 四邊形C1FBG是平行四邊形， ∴ FB∥C1G，且FB＝C1G. ∵ D1C1∥EG，且D1C1＝EG， ∴ 四邊形D1C1GE為平行四邊形， ∴ GC1∥D1E，且GC1＝D1E， ∴ FB∥D1E，且FB＝D1E， ∴ 四邊形EBFD1為平行四邊形． ∵ FB＝FD1，∴ 四邊形EBFD1是菱形． 13. 已知空間四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CG＝BC，CH＝DC.求證： (1) E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2) 三條直線FH，EG，AC共點(diǎn)． 證明：(1) 如圖，連結(jié)EF，GH. ∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)， ∴ EF∥BD. ∵ CG＝BC，CH＝DC， ∴ GH∥BD，∴ EF∥GH， ∴ E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2) 易知FH與直線AC不平行，但共面， ∴ 設(shè)FH∩AC＝M， ∴ M∈平面EFHG，M∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴ M∈EG，∴ 直線FH，EG，AC共點(diǎn)．第2課時(shí)　直線與平面的位置關(guān)系(1) 一、 填空題 1. 直線a，b為異面直線，關(guān)于過(guò)直線a 且與直線b平行的平面的情況，下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) ① 有且只有一個(gè)；② 有無(wú)數(shù)多個(gè)；③ 至多一個(gè)；④ 不存在． 答案：① 解析：在直線a上任選一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作b′∥b，則b′是唯一的，又a∩b′＝A，所以a與b′確定一平面并且只有一個(gè)平面，故①正確． 2. 對(duì)于不同直線m，n和不同平面α，β，給出下列命題： ① ?m∥n；② ?n∥β； ③ ?m，n不共面；④ ?m∥n. 其中假命題的個(gè)數(shù)是__________． 答案：4 解析：①中m與n可能平行，也可能異面；②中可能n?β；③中可能m∥n或m與n相交；④中不知道α與β的位置，無(wú)法判斷m與n的位置關(guān)系．故四個(gè)命題都不正確． 3. 若直線l與平面α不平行，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)) ① α內(nèi)的所有直線都與直線l異面；② α內(nèi)不存在與l平行的直線；③ α內(nèi)的直線與l都相交；④ 直線l與平面α有公共點(diǎn)． 答案：④ 解析：直線l與平面α不平行，則直線l與平面α有如下關(guān)系：l?α或l∩α＝A，故①②③均不正確，④正確． 4. 下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ① 若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面； ② 若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行； ③ 若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④ 若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α. 答案：④ 解析：根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，④正確． 5. 已知三條直線a，b，c和平面β，則下列推論正確的是________．(填序號(hào)) ① 若a∥b，b?β，則a∥β； ② 若a∥β，b∥β，則a∥b； ③ 若a?β，b∥β，a，b共面，則a∥b； ④ 若a⊥c，b⊥c，則a∥b. 答案：③ 解析：對(duì)于①，可能有a?β，故①錯(cuò)；對(duì)于②，a與b可能平行、相交或異面，故②錯(cuò)；對(duì)于④，a與b可能平行、相交或異面，故④錯(cuò)；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，③正確． 6. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度為_(kāi)_______． 答案： 解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以 EF∥AC.又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)．所以EF＝AC＝. 7. 過(guò)三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 答案：6 解析： 四條棱AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線均與平面ABB1A1平行，所以共有6條直線符合題意． 8. 如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是________．(填序號(hào)) 答案：②③④ 解析：因?yàn)辄c(diǎn)M，N，Q分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，所以在①中AB與平面MNQ相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB與平面MNQ平行． 9. 如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M只需滿足條件________________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(填上正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部的可能情況) 答案：點(diǎn)M與點(diǎn)H重合(或點(diǎn)M在線段FH上) 解析：當(dāng)點(diǎn)M在線段FH上時(shí)，MN∥平面B1BDD1. 二、 解答題 10. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn)．求證：EF∥平面PAB. 證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點(diǎn)， 所以EF∥CD. 又在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB. 11. 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點(diǎn)．求證：BF∥平面A1EC. 證明：如圖，連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF. 在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以O(shè)A＝OC1. 因?yàn)辄c(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CC1且OF＝CC1. 因?yàn)辄c(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，所以BE∥CC1且BE＝CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF， 所以四邊形BEOF是平行四邊形， 所以BF∥OE. 又BF?平面A1EC，OE?平面A1EC， 所以BF∥平面A1EC. 12. 如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求證：四邊形EFHG是平行四邊形． 證明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴ EG∥AB. 同理FH∥AB，∴ EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α＝GH. ∴ GH∥CD. 同理EF∥CD， ∴ GH∥EF. ∴ 四邊形EFHG是平行四邊形． 13. 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)．求證： (1) AD1∥平面BDC1； (2) BD∥平面AB1D1. 證明：(1) 因?yàn)辄c(diǎn)D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以C1D1∥DA，C1D1＝DA， 所以四邊形ADC1D1為平行四邊形， 所以AD1∥C1D. 又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1. (2) 如圖，連結(jié)D1D， 因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D， 所以BB1∥D1D. 又D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)， 所以BB1＝DD1， 故四邊形BDD1B1為平行四邊形， 所以BD∥B1D1. 又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以BD∥平面AB1D1. 第3課時(shí)　直線與平面的位置關(guān)系(2) 一、 填空題 1. 設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件． 答案：充分不必要 解析：l⊥α?l⊥m，l⊥n.反之，因?yàn)?m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α. 2. 下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是________．(填序號(hào)) ① l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直； ② l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直； ③ l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直； ④ l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直． 答案：④ 解析：由線面垂直的定義及判定定理可知④正確． 3. 下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) ① 若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線平行于這個(gè)平面； ② 若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必垂直于這條直線； ③ 若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面． 答案：② 解析：當(dāng)這兩點(diǎn)在平面兩側(cè)時(shí)，直線與平面相交，①錯(cuò)誤；②正確；③中垂直于這條直線的另一條直線可能平行于這個(gè)平面或相交但不垂直于這個(gè)平面，③錯(cuò)誤． 4. 已知平面α，β和直線m，給出條件：① m∥α；② m⊥α；③ m?α；④ α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.(填序號(hào)) 答案：②④ 解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④. 5. 已知m，n是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，有下列四個(gè)命題： ① 若m∥α，n∥α，則m∥n； ② 若m⊥α，n⊥α，則m∥n； ③ 若m∥α，n⊥α，則m⊥n； ④ 若m⊥α，m⊥n，則n∥α. 其中真命題是____________．(填序號(hào)) 答案：②③ 6. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F＝________． 答案： 解析：設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF. 由已知，得A1B1＝.設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h. 又2＝h，所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝. 由面積相等，得＝x，解得x＝.即線段B1F的長(zhǎng)為. 7. 如圖，PA⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 答案：4 解析：??BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC. 8. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______． 答案： 解析：如圖，在平面ADD1A1中作A1E⊥AD1于點(diǎn)E，連結(jié)C1E，因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，所以A1E⊥AB.因?yàn)锳D1 ∩AB＝A，AD1，AB?平面ABC1D1，則A1E⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1E就是A1C1與平面ABC1D1所成的角，在Rt△AA1D1中，AA1＝A1D1，A1E⊥AD1，所以點(diǎn)E為AD1的中點(diǎn)，且A1E＝AD1＝A1C1，所以sin∠A1C1E＝＝. 9. 設(shè)α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同的直線．從“① m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________．(填序號(hào)) 答案：①③④?②或②③④?① 解析：因?yàn)楫?dāng)n⊥β，m⊥α?xí)r，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補(bǔ)，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②正確；同理②③④?①也正確． 10. 如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF. 答案：a或2a 解析：由題意可得B1D⊥平面A1ACC1，∴ CF⊥B1D，∴ 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴ x2－3ax＋2a2＝0，∴ x＝a或x＝2a. 二、 解答題 11. 如圖，在四棱錐PABCD中， 底面ABCD為菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)，求證： (1) PC∥平面BDE； (2) AF⊥平面BDE. 證明：(1) 連結(jié)OE， 因?yàn)辄c(diǎn)O為菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)． 因?yàn)辄c(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC. 因?yàn)镺E?平面BDE，PC?平面BDE， 所以PC∥平面BDE. (2) 因?yàn)镻A＝AC，△PAC是等腰三角形， 又點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)，所以AF⊥PC. 又OE∥PC，所以AF⊥OE. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BD ?平面ABCD， 所以PA ⊥BD. 因?yàn)锳C，BD是菱形ABCD的對(duì)角線， 所以AC⊥BD. 又PA∩AC＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 又AF?平面PAC， 所以AF⊥BD . 又OE∩BD＝O，OE?平面BDE，BD?平面BDE， 所以AF⊥平面BDE. 12. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥C1D. (1) 求證： AD⊥平面BCC1B1； (2) 如果點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn)，求證：A1E∥平面ADC1. 證明：(1) 因?yàn)锳BCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥C1D，CC1，C1D?平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1， 所以AD⊥平面BCC1B1. (2) 因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn)， 所以A1E⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1E?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1E. 又因?yàn)锽1C1，CC1?平面BCC1B1，B1C1∩CC1＝C1， 所以A1E⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1E∥AD. 又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段BB1上，且BP＝BB1.求證：AP⊥平面A1CD. 證明：∵ CA＝CB，D是AB的中點(diǎn)，∴ CD⊥AB. ∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面A A1B1B，交線為AB，又CD?平面ABC，∴ CD⊥平面AA1B1B. ∵ AP?平面A1B1BA，∴ CD⊥AP. ∵ BB1＝BA，BB1＝AA1 ，BP＝BB1， ∴ ＝＝， ∴ Rt△ABP∽R(shí)t△A1AD，∴ ∠AA1D＝∠BAP， ∴ ∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90， ∴ AP⊥A1D. ∵ CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD， ∴ AP⊥平面A1CD. 第4課時(shí)　平面與平面的位置關(guān)系 一、 填空題 1. 設(shè)α，β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題： ① 若m∥n，n?α，則m∥α； ② 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③ 若α∥β，m?α，n?β，則m∥n； ④ 若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β. 其中正確的命題是____________．(填序號(hào)) 答案：④ 解析：①中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)m在平面α外；②中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)m，n相交；③中m與n有可能異面；④正確． 2. 已知正方體ABCD A1B1C1D1，下列結(jié)論中正確的是________．(填序號(hào)) ① AD1∥BC1； ② 平面AB1D1∥平面BDC1； ③ AD1∥DC1； ④ AD1∥平面BDC1. 答案：①②④ 解析：由四邊形ABC1D1是平行四邊形可知AD1∥BC1，故①正確；根據(jù)線面平行與面面平行的判定定理可知，②④正確；AD1與DC1是異面直線，故③錯(cuò)誤． 3. 已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是________． ① 若m∥α，α∩β＝n，則m∥n； ② 若m⊥α，n⊥m，則n∥α； ③ 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n； ④ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β. 答案：③ 解析：對(duì)于①，如圖，m∥α，α∩β＝n，此時(shí)m，n異面，故①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正確； 對(duì)于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m也可能與β相交、平行或在β內(nèi)，故④錯(cuò)誤． 4. 已知α和β是兩個(gè)不重合的平面．在下列條件中，可判定α∥β的是________．(填序號(hào)) ① α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于β； ② α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等； ③ l，m是平面α內(nèi)的直線，且l∥β，m∥β； ④ l，m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β. 答案：④ 解析：由面面平行的判定定理可以推出． 5. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是________．(填序號(hào)) ① 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ② 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β； ③ 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β； ④ 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β. 答案：② 解析：②選項(xiàng)，由條件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β. 6. 設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：① α∩β＝b；② a?β；③ a∥b；④ a∥α.以其中三個(gè)論斷為條件，余下一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題：__． 答案：①②③?④或①②④?③ 解析：若α∩β＝b，a?β，a∥b，則a∥α，即①②③?④；若α∩β＝b，a?β，a∥α，則a∥b，即①②④?③. 7. α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的序號(hào)是________． ① 若α∥β，m?α，則m∥β； ② 若m∥α，n?α，則m∥n； ③ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④ 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. 答案：①④ 解析：由α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，知： 在①中，若α∥β，m?α，則由面面平行的性質(zhì)定理得m∥β，故①正確； 在②中，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故②錯(cuò)誤； 在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與β相交、平行或m?β，故③錯(cuò)誤； 在④中，若n⊥α，m⊥α，則m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正確． 8. 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，圖中互相垂直的平面有________對(duì)． 答案：5 解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.又AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴DA⊥平面PAB，∴ 平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD，∴BC⊥平面PAB，∴ 平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴ 平面PDC⊥平面PDA. 9. 已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β，給出下列命題： ① α∥β?l⊥m；② α⊥β?l∥m； ③ m∥α?l⊥β；④ l⊥β?m∥α. 其中正確的命題是________．(填序號(hào)) 答案：①④ 解析：①是面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，正確；②α⊥β，l⊥α，l，m可平行，可相交，可異面，命題錯(cuò)誤；③m∥α，l⊥α? l⊥m? l與β可平行，l可在β內(nèi)，l可與β相交，命題錯(cuò)誤；④l⊥β，l⊥α?β∥α?m∥α，命題正確． 10. 在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐PABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：① PC∥平面OMN；② 平面OMN⊥平面PAB；③ OM⊥PA；④ 平面PCD∥平面OMN. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案：①③④ 解析：如圖所示，其中E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)OE，OF，G為OE的中點(diǎn)，連結(jié)EM，MG，AC，BD，平面OMN即平面MNOE. 因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN，同理PD∥平面OMN，所以平面PCD∥平面OMN，故①④正確．由于四棱錐的棱長(zhǎng)均相等，所以PA2＋PC2＝AB2＋BC2＝AC2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，故③正確．因?yàn)镺M＝PC＝PD＝ME，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM⊥MN.假設(shè)平面OMN⊥平面PAB，則GM⊥平面PAB，則MG⊥PA，設(shè)四棱錐的棱長(zhǎng)為4，則MA＝2，AG＝，MG＝，三邊長(zhǎng)度不滿足勾股定理，所以MG不垂直PA，與假設(shè)矛盾，故②不正確． 二、 解答題 11. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．求證： (1) B1C1∥平面A1DE； (2) 平面A1DE⊥平面ACC1A1. 證明：(1) 因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC. 又因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE. 又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE. (2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC， 又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE. 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC. 又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1. 12. 如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證： (1) EF∥平面ABC； (2) AD⊥AC. 證明：(1) 在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2) 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因?yàn)锳D?平面ABD， 所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因?yàn)锳C?平面ABC， 所以AD⊥AC. 13. 如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACD＝90. (1) 求證：AB⊥平面EDC； (2) 若P為FG上任一點(diǎn)，求證：EP∥平面BCD. 證明：(1) 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD，∠ACD＝90，即CD⊥AC， 平面ABC ∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD， 所以CD⊥平面ABC. 又AB?平面ABC， 所以CD⊥AB. 因?yàn)锳C＝BC，E為AB的中點(diǎn)， 所以CE⊥AB. 又CE∩CD＝C，CD?平面EDC，CE?平面EDC， 所以AB⊥平面EDC. (2) 連結(jié)EF，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 所以EF∥BD. 又BD?平面BCD，EF?平面BCD， 所以EF∥平面BCD. 同理可證EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF?平面BCD，EG?平面BCD， 所以平面EFG∥平面BCD. 又P為FG上任一點(diǎn)， 所以EP?平面EFG， 所以EP∥平面BCD.第5課時(shí)　空間幾何體的表面積和體積 一、 填空題 1. 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)圓心角為120，且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積為_(kāi)_______． 答案： 解析：設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，因?yàn)?π＝πl(wèi)2，所以l＝3，由2πr＝，得r＝1，所以圓錐的高是2，所以圓錐的體積是π122＝. 2. 如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，則三棱錐D1A1BD的體積為_(kāi)_______cm3. 答案： 解析：三棱錐D1A1BD的體積等于三棱錐BA1D1D的體積，因?yàn)槿忮FBA1D1D的高等于AB，△A1D1D的面積為矩形AA1D1D的面積的，所以三棱錐BA1D1D的體積是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積的，所以三棱錐D1A1BD的體積為321＝. 3. 若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 cm，側(cè)面積為8 cm，則它的體積為_(kāi)_______cm3. 答案： 解析：因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面積為8，所以底面周長(zhǎng)c＝8，ch′＝8，所以斜高h(yuǎn)′＝2，所以正四棱錐的高h(yuǎn)＝，所以正四棱錐的體積為22＝. 4. 底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為_(kāi)_______． 答案： 解析：底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的高為1，底面積為4，則體積為. 5. 設(shè)M，N分別為三棱錐P ABC的棱AB，PC的中點(diǎn)，三棱錐P ABC的體積記為V1，三棱錐P AMN的體積記為V2，則＝________． 答案： 解析：設(shè)△AMN的面積為S，點(diǎn)P到平面AMN的距離為h，則V2＝Sh，而V1＝22Sh，則＝. 6. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為_(kāi)_______． 答案： 解析：三棱錐的底S△ABA1＝33＝，點(diǎn)P到底面ABA1的距離為△ABC的高：h＝ ，故三棱錐的體積V＝Sh＝ . 7. 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn)，則三棱錐B1ADE的體積為_(kāi)_______． 答案： 解析：三棱錐B1ADE的體積＝三棱錐DB1AE的體積＝11＝. 8. 若一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案：2 解析：底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為8，則該正方體的棱長(zhǎng)為2. 9. 已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______． 答案：24π 解析：設(shè)正四棱錐的高為h，則()2h＝，解得高h(yuǎn)＝.則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為＝，所以O(shè)A＝＝，所以球的表面積為4π()2＝24π. 10. 將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形，則三棱錐OEFG體積的最大值是________． 答案：4 解析：因?yàn)閷⒕匦蜛BCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形，所以三棱錐OEFG的高為圓柱的高，即高為AB，所以當(dāng)三棱錐OEFG體積取最大值時(shí)，△EFG的面積最大， 當(dāng)EF為直徑，且點(diǎn)G在EF的垂直平分線上時(shí)，(S△EFG)max＝42＝4， 所以三棱錐OEFG體積的最大值Vmax＝(S△EFG)maxAB＝43＝4. 二、 解答題 11. 如圖，在三棱錐DABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC. (1) 求三棱錐DABC的體積； (2) 若M為DB中點(diǎn)，N在棱AC上，且CN＝CA，求證：MN∥平面DEF. (1) 解：因?yàn)椤鰾CD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以S△BCD＝a2. 因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以VDABC＝VA BCD＝S△BCDAB＝a2a＝a3. (2) 證明：連結(jié)CM，設(shè)CM∩DE＝O，連結(jié)OF. 則O為△BCD的重心，CO＝CM. 因?yàn)镃N＝CA，AF＝3FC，所以CF＝CN，所以MN∥OF.因?yàn)镺F?平面DEF，MN?平面DEF，所以MN∥平面DEF. 12. 如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段PC上一點(diǎn)． (1) 求證：PA⊥BD； (2) 求證：平面BDE⊥平面PAC； (3) 當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積． (1) 證明：因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC. 因?yàn)锽D?平面ABC，所以PA⊥BD. (2) 證明：因?yàn)锳B＝BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)， 所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3) 解：因?yàn)镻A∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱錐E BCD的體積V＝BDDCDE＝. 13. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60，BD∩AC＝O，現(xiàn)將其沿菱形對(duì)角線BD折起得到四面體EBCD，使EC＝. (1) 求證：EO⊥CD. (2) 求點(diǎn)O到平面EDC的距離． (1) 證明：∵ 四邊形ABCD為菱形，∴ AC⊥BD. ∵ BD∩AC＝O，∴ EO⊥BD. ∵ 在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60，∴ AD＝CD＝BC＝2，AO＝OC＝1. ∵ EC＝，CO＝EO＝1， ∴ EO2＋OC2＝EC2， ∴ EO⊥OC.又BD∩OC＝O， ∴ EO⊥平面BCD，∴ EO⊥CD. (2) 解：設(shè)點(diǎn)O到平面ECD的距離為h，由(1)知EO⊥平面OCD. V三棱錐OCDE＝V三棱錐EOCD，即S△OCDEO＝S△ECDh. 在Rt△OCD中，OC＝1，OD＝，∠DOC＝90，∴ S△OCD＝OCOD＝.在△CDE中，ED＝DC＝2，EC＝，∴ S△CDE＝＝，∴ h＝＝，即點(diǎn)O到平面EDC的距離為.第6課時(shí)　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 一、 填空題 1. 已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝________． 答案：(b＋c－a) 解析：＝－＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)． 2. 若直線l⊥α，且l的方向向量為(m，2，4)，平面α的法向量為，則m為_(kāi)_______． 答案：1 解析：∵ (m，2，4)＝λ，∴ ∴ m＝1. 3. 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________． 答案：－2或 解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或. 4. 已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)．若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，則給出下列結(jié)論：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ 是平面ABCD的一個(gè)法向量；④ ∥.其中正確的是________．(填序號(hào)) 答案：①②③ 解析：＝2(－1)＋(－1)2＋(－4)(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥，即AP⊥AB； ＝(－1)4＋22＋0＝0，則⊥，即AP⊥AD.又AB∩AD＝A，∴ AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個(gè)法向量．由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴ ≠≠，∴ 與不平行． 5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值為_(kāi)_______． 答案： 解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，則＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)． 設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2，1)．設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝. 6. 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度等于________． 答案： 解析：2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝16＋9＋25＋243cos 90＋245cos 60＋235cos 60＝50＋20＋15＝85，即 ||＝. 7. 如圖，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為_(kāi)_______． 答案： 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. 8. 已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)取得最小值時(shí)， 的坐標(biāo)是________． 答案： 解析：∵ 點(diǎn)Q在直線OP上，∴ 設(shè)點(diǎn)Q(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值－，此時(shí)＝. 9. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)_______． 答案： 解析：如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1， 則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， 所以＝(0，1，－1)，＝. 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，則所以所以n1＝(1，2，2)． 因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，所以cos 〈n1，n2〉＝＝， 即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為. 二、 解答題 10. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ＝λBB1(λ≠0)． (1) 若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值； (2) 若直線AA1與平面APQ所成的角為45，求實(shí)數(shù)λ的值． 解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. (1) 因?yàn)椋?1，2，2)，＝(2，0，1)， 所以cos〈，〉＝＝＝.所以AP與AQ所成角的余弦值為. (2) 由題意可知，＝(0，0，2)，＝(2，0，2λ)． 設(shè)平面APQ的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令z＝－2，則x＝2λ，y＝2－λ. 所以n＝(2λ，2－λ，－2)． 因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成角為45， 所以|cos〈n，〉|＝＝ ＝， 化簡(jiǎn)得5λ2－4λ＝0.又λ≠0，所以λ＝. 11. 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120. (1) 求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA1DA的正弦值． 解：在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD. 如圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，{，，}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 因?yàn)锳B＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120， 所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，)． (1) ＝(，－1，－)，＝(，1，)， 則cos〈，〉＝ ＝＝－， 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為. (2) 平面A1DA的一個(gè)法向量為＝(，0，0)． 設(shè)m＝(x，y，z)為平面BA1D的法向量， 又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)， 則即 不妨取x＝3，則y＝，z＝2， 所以m＝(3，，2)為平面BA1D的一個(gè)法向量， 所以cos〈，m〉＝＝＝. 設(shè)二面角BA1DA的大小為θ，則|cos θ|＝. 因?yàn)棣取蔥0，π]，所以sin θ＝＝. 所以二面角BA1DA的正弦值為. 12. 如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點(diǎn)．以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． (1) 求異面直線EF與DG所成角的余弦值． (2) 若M為EF上一點(diǎn)，N為DG上一點(diǎn)，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1) 由題意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． ∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點(diǎn)， ∴ E，F(xiàn)，G， ∴ ＝，＝. 設(shè)EF與DG所成角為θ，則cos θ＝＝. ∴ EF與DG所成角的余弦值為. (2) 存在．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)． ∵ ＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，∴ 取x＝1，得n＝(1，0，1)． M為EF上一點(diǎn)，N為DG上一點(diǎn)， 若存在MN，使得MN⊥平面PBC，則∥n. 設(shè)M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，則?、?， ∵ 點(diǎn)M，N分別是線段EF與DG上的點(diǎn)， ∴ ＝λ，＝t. ∵ ＝，＝(x2，y2－2，z2)， ∴ 且?、冢? 把②代入①，得解得 ∴ M，N. 13. 如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2. (1) 求證：MN∥平面BDE； (2) 求二面角CEM N的正弦值； (3) 已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)． (1) 證明：如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．依題意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)． ＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量， 則即 不妨取z＝1，可得n＝(1，0，1)． 又＝(1，2，－1)，可得n＝0. 因?yàn)镸N?平面BDE，所以MN∥平面BDE. (2) 解：由題可知n1＝(1，0，0)為平面CEM的一個(gè)法向量． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EMN的一個(gè)法向量， 則 因?yàn)椋?0，－2，－1)，＝(1，2，－1)， 所以 取y2＝1，可得n2＝(－4，1，－2)． 因此cos〈n1，n2〉＝＝－， 所以sin〈n1，n2〉＝， 所以二面角CEMN的正弦值為. (3) 解：依題意，設(shè)AH＝h(0≤h≤4)， 則H(0，0，h)，＝(－1，－2，h)，＝(－2，2，2)． 由已知， 得|cos〈，〉|＝|| ＝ ＝， 整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝或h＝， 所以線段AH的長(zhǎng)為或.