高考數(shù)學理二輪復習練習：第2部分 必考補充專題 第20講　古典概型、幾何概型 Word版含答案

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第20講　古典概型、幾何概型 (對應學生用書第114頁) 一、選擇題 1．(20xx·全國Ⅰ卷)如圖20­1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) 【導學號：07804128】 圖20­1 A． B． C． D． B　[(概率中的數(shù)學文化)不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B.] 2．(20xx·深圳一模)袋中裝有大小相同的四個球，四個球上分別標有數(shù)字“2”“3”“4”“6”．現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)字能構成等差數(shù)列的概率是(　　) A. B． C. D． C　[從4個球中隨機選取三個球，共有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)四種情況，其中所選的三個球上的數(shù)字能構成等差數(shù)列的為(2,3,4)，(2,4,6)，故所求事件的概率為.故選C.] 3．(20xx·福州五校聯(lián)考)小明每天上學都需要經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口．已知十字路口的交通信號燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒．如果小明每天到路口的時間是隨機的，則小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是(　　) A. B． C. D． D　[法一：(直接法)設“小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，則P(A)＝＝，選D. 法二：(間接法)設“小明上學時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，其對立事件為“小明上學時到十字路口需要等待的時間少于20秒”，則P(A)＝1－＝，選D.] 4.(20xx·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B． C. D． C　[因為x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機抽取，所以構成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 5．(20xx·福建高三4月質量檢查)某食品廠做了3種與“?！弊钟嘘P的精美卡片，分別是“富強?！薄昂椭C福”“友善?！?，每袋食品隨機裝入一張卡片，若只有集齊3種卡片才可獲獎，則購買該食品4袋，獲獎的概率為(　　) A. B． C. D． B　[P(獲獎)＝＝＝.故選B.] 6．(20xx·湖南長沙四縣聯(lián)考)如圖20­2，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) 圖20­2 A．1－ B． C． D．1－ A　[魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1－，故選A.] 7．(20xx·沈陽一模)將A，B，C，D這4名同學從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學”的概率是(　　) A. B． C. D． B　[A，B，C，D4名同學排成一排有A＝24種排法．當A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為＝，故選B.] 8．(20xx·河南平頂山一模)甲袋中裝有3個白球和5個黑球，乙袋中裝有4個白球和6個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機取出一個球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機取出一個球放回甲袋中，則甲袋中白球沒有減少的概率為(　　) 【導學號：07804129】 A. B． C. D． C　[白球沒有減少的情況有：抓出黑球，放回任意球，概率是；抓出白球，放回白球，概率是×＝.故所求事件的概率為＋＝，故選C.] 9．(20xx·太原二模)如圖20­3，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個大正方形，中間空出一個小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機取一點，該點落在小正方形內(nèi)的概率為，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為(　　) 圖20­3 A. B． C. D． B　[法一：(直接法)設大正方形的邊長為1，直角三角形較大的銳角為α，則小正方形的邊長為sin α－cos α，所以(sin α－cos α)2＝，所以sin α－cos α＝，2sin αcos α＝，所以sin α＝，故選B. 法二：(排除法)由趙爽弦圖可知，直角三角形較大的銳角一定大于，所以其正弦值一定大于，故排除選項A，C，D，選B.] 10．(20xx·福建寧德一模)若從區(qū)間(0，e)(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.718 28…)內(nèi)隨機選取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之積小于e的概率為(　　) A. B． C．1－ D．1－ A　[設隨機選取的兩個數(shù)為x，y，由題意得該不等式組在坐標系中對應的區(qū)域面積為e2， 又不等式組在坐標系中對應的區(qū)域面積為e＋dx＝2e，∴所求概率為，故選A.] 11．(湖南五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點P，△ABP的最大邊是AB的概率是(　　) 圖20­4 A. B． C.－1 D．－1 D　[分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當P在線段P1P2間運動時，能使得△ABP的最大邊是AB，易得＝－1， 即△ABP的最大邊是AB的概率是－1.] 12．(20xx·云南統(tǒng)一考試)在平面區(qū)域內(nèi)隨機取一點(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為(　　) A. B． C. D． B　[不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應滿足a>0且x＝≤1，即，可得對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為＝，故選B.] 二、填空題 13．(20xx·全國Ⅱ卷)從n個正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝________. 8　[由題意知n＞4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.] 14．(20xx·湖南百所重點中學聯(lián)考)若a是集合{1,2,3,4,5,6,7}中任意選取的一個元素，則圓C：x2＋(y－2)2＝1與圓O：x2＋y2＝a2內(nèi)含的概率為________． 　[由圓C：x2＋(y－2)2＝1與圓O：x2＋y2＝a2內(nèi)含，可知|a－1|>2，解得a<－1或a>3.又a∈{1,2,3,4,5,6,7}，所以a只能取4,5,6,7四個數(shù)，故所求事件的概率為.] 15．(20xx·鄭州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次打靶的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 據(jù)此估計，小李三次打靶恰有兩次命中的概率為________. 【導學號：07804130】 0.3　[由題意知，在20組隨機數(shù)中表示三次打靶恰有兩次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6組隨機數(shù)，所以所求概率為＝0.30.] 16．(20xx·江西紅色七校二模)已知直線l：x＋y－6＝0與x軸交于點A，與y軸交于點B，且與拋物線y＝x2及x 軸正半軸圍成圖形Ω，若從Rt△AOB區(qū)域內(nèi)任取一點M(x，y)，則點M取自圖形Ω的概率為________． [如圖所示，由定積分可求得陰影部分圖形Ω的面積S＝x2dx＋(6－x)dx＝x3＋＝，又Rt△AOB的面積為×6×6＝18. 所以P＝＝.]