《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章章末檢測

章末檢測 一、選擇題 1． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是 (　　) A．歸納推理 B．演繹推理 C．類比推理 D．特殊推理 2． 在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問題的大前提為(　　) A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥BC 3． 用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是 (　　) A．假設(shè)是有理數(shù) B．假設(shè)是有理數(shù) C．假設(shè)或是有理數(shù) D．假設(shè)＋是有理數(shù) 4． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋＝時(shí)，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的項(xiàng)是 (　　) A. B. C. D. 5． 已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達(dá)式為 (　　) A. B. C. D. 6． 已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于 (　　) A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1) B．f() C．n(n＋1) D.f(1) 7． 對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個(gè)成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立． 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為 (　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 8． 我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有 (　　) ①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱椎． A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 9． 數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013等于 (　　) A. B．－1 C．2 D．3 10．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．已知x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值 (　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能等于0 D．可正也可負(fù) 二、填空題 11．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規(guī)律為___________________． 12．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當(dāng)n≥2時(shí)，有____________． 13．如圖所示是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)“樹枝”，則an＋1與an(n≥2)之間的關(guān)系是______． 14．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為＝，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________． 三、解答題 15．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立： (1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交； (2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行． 16．1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)？說明理由． 17．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：≥(a＋b)． 18．設(shè)a，b，c為一個(gè)三角形的三邊，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a. 19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝，前n項(xiàng)和Sn＝an. (1)寫出a2，a3，a4； (2)猜出an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 20．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]對于n≥2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論． 答案 1．A 2．A　3．D　4．D　5．B　6．C　7．B　8．C　9．C　10．A　 11．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 12．f(2n)>(n≥2) 13．a(chǎn)n＋1＝2an＋1(n≥1) 14.＝ 15．解　(1)類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交， 則必和另一個(gè)相交． 結(jié)論是正確的：證明如下：設(shè)α∥β，且γ∩α＝a， 則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾， ∴必有γ∩β＝b. (2)類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯誤的，這兩個(gè)平面也可能相交． 16．解　假設(shè)1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，但不一定是連續(xù)的三項(xiàng)，設(shè)公差為d，則 1＝－md,2＝＋nd， m，n為兩個(gè)正整數(shù)，消去d得m＝(＋1)n. ∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無理數(shù)， ∴m≠(＋1)n.∴假設(shè)不成立． 即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 17．證明　當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當(dāng)a＋b>0時(shí)，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對一切實(shí)數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立． 綜上所述，對任意實(shí)數(shù)a，b不等式都成立． 18．證明　要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<，即證b<s. 因?yàn)閟＝(a＋b＋c)，所以只需證2b<a＋b＋c，即證b<a＋c. 由于a，b，c為一個(gè)三角形的三條邊，所以上式成立．于是原命題成立． 19．解　(1)令n＝2，∵a1＝， ∴S2＝a2， 即a1＋a2＝3a2.∴a2＝. 令n＝3，得S3＝a3， 即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝. 令n＝4，得S4＝a4， 即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝. (2)猜想an＝，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＝ak＝＝， Sk＋1＝ak＋1， 即Sk＋ak＋1＝ak＋1. ∴＋ak＋1＝ak＋1. ∴ak＋1＝ ＝ ＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立． 由①②可知，對一切n∈N*都有an＝. 20．解　當(dāng)n＝2時(shí)，由f(1)＝g(2)[f(2)－1]， 得g(2)＝＝＝2， 當(dāng)n＝3時(shí)，由f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]， 得g(3)＝ ＝＝3， 猜想g(n)＝n(n≥2)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n≥2時(shí)，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立． ①當(dāng)n＝2時(shí)，由上面計(jì)算可知，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥2)時(shí)，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1) ＝k[f(k)－1](k≥2)成立， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②知，對一切n≥2的自然數(shù)n，等式都成立， 故存在函數(shù)g(n)＝n，使等式成立．