高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第三單元 章末復(fù)習(xí)課 Word版含答案

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 章末復(fù)習(xí)課 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 核心歸納 1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的解，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程f(x)＝0的解的個(gè)數(shù)相等，也可以說方程f(x)＝0的解就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f(x)的函數(shù)值等于0時(shí)自變量x的取值． 因此方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決．討論方程的解所在的大致區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，討論方程的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 2．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 (1)該定理的條件是：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的；②f(a)f(b)<0，即f(a)和f(b)的符號相反．這兩個(gè)條件缺一不可． (2)該定理的結(jié)論是“至少存在一個(gè)零點(diǎn)”，僅僅能確定函數(shù)零點(diǎn)是存在的，但是不能確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 3．函數(shù)應(yīng)用 (1)要解決函數(shù)應(yīng)用問題，首先要增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)的意識(shí)．一般來說，解決函數(shù)應(yīng)用問題可分三步：第一步，理解題意，弄清關(guān)系；第二步，抓住關(guān)鍵，建立模型；第三步，數(shù)學(xué)解決、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停渲械诙接葹殛P(guān)鍵． (2)在解題中要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想及策略，尋求解題途徑． (3)根據(jù)已知條件建立函數(shù)解析式是函數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面．一般分為兩類：一類是借助于生活經(jīng)驗(yàn)、函數(shù)知識(shí)等建立函數(shù)模型，以二次函數(shù)模型為主，一般是求二次函數(shù)的最值．另一類是根據(jù)幾何、物理概念建立函數(shù)模型． 要點(diǎn)一　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根 　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用 1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 2．確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)基本方法：利用圖象研究與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷． 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． (2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析　(1)①當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因?yàn)閤≤0，所以x＝－. ②法一　(函數(shù)單調(diào)性法)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋ln x. 而f(1)＝21－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝23－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)f(3)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，故由零點(diǎn)存在性定理，可得函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．而函數(shù)y＝2x－6在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 故函數(shù)f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)． 法二　(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0， 即ln x＝6－2x. 如圖，分別作出函數(shù)y＝ln x和y＝6－2x的圖象． 顯然，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且在y軸的右側(cè)，故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝0只有一個(gè)解． 綜上，函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)． (2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|2x－2|和y＝b的圖象，如圖所示，由圖可知0<b<2，即若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,2)． 答案　(1)2　(2)(0,2) 【訓(xùn)練1】　已知關(guān)于x的方程a4x＋b2x＋c＝0(a≠0)，常數(shù)a，b同號，b，c異號，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．此方程無實(shí)根 B．此方程有兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根 C．此方程有兩個(gè)異號實(shí)根 D．此方程僅有一個(gè)實(shí)根 解析　由常數(shù)a，b同號，b，c異號，可得a，c異號，令2x＝t，則方程變?yōu)閍t2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判別式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且兩根之積為<0，故關(guān)于t的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根． 答案　D 要點(diǎn)二　二分法求方程的近似解(或函數(shù)的零點(diǎn)) 1．二分法求方程的近似解的步驟 (1)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)． (2)明確精確度和函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間(最好區(qū)間左右端點(diǎn)相差1)． (3)利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)． (4)歸納結(jié)論． 2．使用二分法的注意事項(xiàng) (1)二分法的實(shí)質(zhì)是通過“取中點(diǎn)”，不斷縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍，所以要選好計(jì)算的初始區(qū)間，保證所選區(qū)間既符合條件，又使區(qū)間長度盡量?。? (2)計(jì)算時(shí)注意依據(jù)給定的精確度，及時(shí)檢驗(yàn)計(jì)算所得的區(qū)間是否滿足精確度的要求． (3)二分法在具體使用時(shí)有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一個(gè)零點(diǎn)，其次f(x)在(a，b)內(nèi)有不變號零點(diǎn)時(shí)，不能用二分法求得． 【例2】　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，其圖象在(－∞，＋∞)上是連續(xù)不斷的． 先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________. 所以f(x)在區(qū)間________內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)x0，填下表， 區(qū)間 中點(diǎn)m f(m)符號 區(qū)間長度 結(jié)論x0的值為多少？(精確度0.1) 解　f(0)＝－5，f(1)＝－1， f(2)＝9，f(3)＝31， 所以初始區(qū)間為(1,2). 區(qū)間 中點(diǎn)m f(m)符號 區(qū)間長度 (1,2) 1.5 ＋ (1,1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1,1.25) 1.125 － 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 ＋ 0.125 (1.125,1.187 5) 0.062 5 因?yàn)閨1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， 所以x0≈1.125(不唯一)． 【訓(xùn)練2】　若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165. 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根可以為(精確度為0.1)(　　) A．1.2　　　 B．1.35　　　 C．1.43　　 D．1.5 解析　∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函數(shù)f(x)在(1.375,1.438)內(nèi)存在零點(diǎn)，又1.438－1.375<0.1，結(jié)合選項(xiàng)知1.43為方程f(x)＝0的一個(gè)近似根． 答案　C 要點(diǎn)三　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1．建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題的步驟 (1)對實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括，確定變量之間的主被動(dòng)關(guān)系，并用x，y分別表示． (2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時(shí)要注意函數(shù)的定義域． (3)求解函數(shù)模型，并還原為實(shí)際問題的解． 2．建模的三個(gè)原則 (1)簡化原則：建立模型，要對原型進(jìn)行一定的簡化，抓主要因素、主變量，盡量建立較低階、較簡便的模型． (2)可推演原則：建立的模型一定要有意義，既能對其進(jìn)行理論分析，又能計(jì)算和推理，且能推演出正確結(jié)果． (3)反映性原則：建立的模型必須真實(shí)地反映原型的特征和關(guān)系，即應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明現(xiàn)實(shí)問題的功能，能回到具體研究對象中去解決問題． 【例3】　某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)．銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝ 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉)，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請完成下列問題： (1)寫出利潤函數(shù)y＝f(x)的解析式(利潤＝銷售收入－總成本)； (2)要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的取值范圍； (3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？ 解　(1)由題意得G(x)＝2.8＋x. ∴f(x)＝R(x)－G(x)＝ (2)①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得1<x<7，∴1<x≤5. ②當(dāng)x>5時(shí)，由8.2－x>0，得x<8.2， 所以5<x<8.2. 綜上，當(dāng)1<x<8.2時(shí)，有y>0. 即當(dāng)產(chǎn)量x大于100臺(tái)，小于820臺(tái)時(shí)，能使工廠有盈利． (3)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值為3.6； 當(dāng)x>5時(shí)，∵函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， ∴f(x)<f(5)＝3.2(萬元)，綜上，當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí)，可使盈利最多，為3.6萬元． 【訓(xùn)練3】　《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)為3 500元(即3 500元以下不必納稅，超過3 500元的部分為當(dāng)月應(yīng)納稅所得額)，應(yīng)繳納的稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算： 全月應(yīng)納稅所得額 稅率% 不超過1 500元的部分 3 超過1 500元至4 500元部分 10 (1)列出公民全月工資總額x(0<x<8 000)元與當(dāng)月應(yīng)繳納稅款額y元的函數(shù)解析式． (2)劉麗十二月份繳納個(gè)人所得稅款300元，那么她當(dāng)月工資總額是多少？ 解　(1)依題意可得： ①當(dāng)0<x≤3 500時(shí)，y＝0. ②當(dāng)3 500<x≤5 000時(shí)， y＝(x－3 500)3%＝0.03x－105. ③當(dāng)5 000<x<8 000時(shí)， y＝45＋(x－5 000)10%＝0.1x－455， 綜上可得y＝ (2)因?yàn)樾杞欢?00元， 故有5 000<x<8 000， 所以300＝0.1x－455，所以x＝7 550. 答：劉麗十二月份工資總額為7 550元．