2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文(含解析).doc
2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文(含解析)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若集合,集合,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出A中不等式的解集確定出A,找出A與B的交集即可.
【詳解】由A中不等式可得,即,
所以,
故選C.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目.
2.若實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最小值為 ( )
A. ?2 B. ?165 C. ?3 D. ?4
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意,畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的類型,確定最優(yōu)解,解方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求得最大值.
【詳解】由題意畫出可行域如圖所示:
由z=x?2y可得y=12x?z,畫出直線y=12x,
上下移動(dòng)的過(guò)程中,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線y=12x?12z過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最小值,
解方程組x=0x+y=2,得A(0,2),
此時(shí)z=0?22=?4,
故答案是?4.故選D.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有約束條件對(duì)應(yīng)可行域的畫法,線性目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為截距來(lái)解決,屬于簡(jiǎn)單題目.
3.下列命題中,真命題是( )
A. ?x0∈R,ex0≤0 B. ?x∈R,2x>x2
C. a+b=0的充要條件是ab=?1 D. a>1,b>1是ab>1的充分條件
【答案】D
【解析】
A:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知ex>0 恒成立,所以A錯(cuò)誤.
B:當(dāng)x=?1 時(shí),2?1=12<?12=1 ,所以B錯(cuò)誤.
C:若a=b=0 時(shí),滿足a+b=0 ,但ab=?1, 不成立,所以C錯(cuò)誤.
D:a>1,b>1, 則ab>1 ,由充分必要條件的定義,a>1,b>1,,是 ab>1的充分條件,則D正確.
故選D.
【此處有視頻,請(qǐng)去附件查看】
4.有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,...,15),已知它們之間的線性回歸方程是y=5x+11,若i=115xi=18,則i=115yi= ( )
A. 17 B. 86 C. 101 D. 255
【答案】D
【解析】
【分析】
先計(jì)算x=1815=1.2,代入回歸直線方程,可得y=51.2+11=17,從而可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閕=115xi=18,所以x=1815=1.2,
代入回歸直線方程可求得y=51.2+11=17,
所以i=115yi=1715=255,
故選D.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)回歸直線的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有回歸直線一定會(huì)過(guò)樣本中心點(diǎn),利用相關(guān)公式求得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題目.
5.若數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,則a11= ( )
A. 5 B. 425 C. 254 D. 165
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)列an是等比數(shù)列,得到a2a5=a1a6=20,結(jié)合a1+a6=9,從而得到a1,a6是方程x2?9x+20=0的兩個(gè)根,再根據(jù)an是遞增數(shù)列,確定a1=4,a6=5,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得到a11=a62a1=254,求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列,所以a2a5=a1a6=20,
又因?yàn)閍1+a6=9,所以a1,a6是方程x2?9x+20=0的兩個(gè)根,
因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列,所以a1=4,a6=5,
所以有a11=a62a1=254,
故選C.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等比數(shù)列的性質(zhì),熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.
6.函數(shù)f(x)=log2(3?x)+1,x<12x,x≥1,則f(log212)+f(?1)= ( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用分段函數(shù)化簡(jiǎn)求解函數(shù)值即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2(3?x)+1,x<12x,x≥1,
則f(?1)+f(log212)=log2(3+1)+1+2log212=2+1+12=15,
故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)求函數(shù)值的問題,在解題的過(guò)程中,注意判斷自變量所屬的區(qū)間,從而正確代入相關(guān)的函數(shù)解析式.
7.函數(shù)y=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向右平移π6個(gè)單位以后,到y(tǒng)=2cos2x的圖像,則φ= ( )
A. π6 B. 56π C. 23π D. π3
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則,可求出平移后函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式,得到φ所滿足的條件,再結(jié)合φ的范圍,確定出最后的結(jié)果.
【詳解】把函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向右平移π6個(gè)單位后得到:
g(x)=2sin[2(x?π6)+φ]=2sin(2x+φ?π3)=2cos2x,
所以有φ?π3=2kπ+π2,即φ=2kπ+56π,k∈Z,
因?yàn)?<φ<π,所以φ=56π,
故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)圖象的變換,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有圖象的左右平移,誘導(dǎo)公式,數(shù)量掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.
8.P是直線x+y+2=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在圓x?22+y2=2上運(yùn)動(dòng),則PQ的最小值是 ( )
A. 2 B. 4?2 C. 4+2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小,得到直線與圓是相離的,根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑,求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閳A心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+21+1=22>2,
所以直線x+y+2=0與圓(x?2)2+y2=2是相離的,
所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑,
即PQmin=22?2=2,
故選D.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問題,屬于簡(jiǎn)單題目.
9.已知函數(shù)f(x)=?x2+2x+3,若在區(qū)間[?4,4]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x0,則使f(x0)≥0成立的概率為( )
A. 425 B. 12 C. 23 D. 1
【答案】B
【解析】
試題分析:由f(x0)≥0得?1≤x0≤3.所以所求概率為,故選B.
考點(diǎn):幾何概型.
10.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0, b)處的切線方程是x?y+1=0, 則( )
A. a=1,b=1 B. a=?1,b=1 C. a=1,b=?1 D. a=?1,b=?1
【答案】A
【解析】
解析:∵y′=2x+a|x=0=a,∴a=1,(0,b)在切線x?y+1=0,∴b=1
11.已知點(diǎn)4?,??0到雙曲線C:??x2a2?y2b2=1(a>0?,??b>0)漸近線的距離為2,則該雙曲線的離心率為 ( )
A. 87 B. 2147 C. 22 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根據(jù)雙曲線的方程寫出雙曲線的一條漸近線方程,化成一般式,根據(jù)題意,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得4ba2+b2=2,化簡(jiǎn)得出7c2=8a2,從而求得雙曲線的離心率.
【詳解】雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線是y=bax,即bx?ay=0,
由點(diǎn)(4,0)到雙曲線bx?ay=0的距離為2,
可得4ba2+b2=2,即22b=c,所以8(c2?a2)=c2,
所以7c2=8a2,所以e=ca=87=2147,
故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線的漸近線,點(diǎn)到直線的距離公式,雙曲線中a,b,c的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.
12.設(shè)A,B,C,D是球面上四點(diǎn),已知AB=AC=23,BC=26,球的表面積為32π,則四面體ABCD的體積的最大值為 ( )
A. 62 B. 122 C. 182 D. 362
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題中所給的條件,確定出ΔABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,從而求得ΔABC的外接圓的半徑為r=6,再根據(jù)球的表面積求得球的半徑R=22,從而求得球心到截面的距離,再利用三棱錐的體積公式分析得出四面體的體積取最大值時(shí)頂點(diǎn)的位置,從而求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)條件AB=AC=23,BC=26,可得AB2+AC2=BC2,
所以ΔABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,
所以ΔABC的外接圓的半徑為r=6,
又因?yàn)榍虻谋砻娣e為32π,所以有4πR2=32π,解得R=22,
從而能夠求得球心到截面ABC的距離為d=8?6=2,
此時(shí)四面體ABCD的底面ΔABC的面積為S=122323=6,
可以確定點(diǎn)D到底面ABC的距離的最大值為h=22+2=32,
所以四面體的體積的最大值為V=13632=62,
故選A.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)球內(nèi)接三棱錐的體積的最值的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的外接圓的半徑,球的表面積公式,球中的特殊直角三角形,椎體的體積公式,屬于中檔題目.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分.
13.已知向量a=(1,2),b=(2,λ),c=(2,1).若c//(2a+b),則λ=________.
【答案】?2
【解析】
【分析】
首先由a,b的坐標(biāo),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得2a+b=(4,4+λ),接下來(lái)由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可得41=2(4+λ),求解即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閍=(1,2),b=(2,λ),所以2a+b=(4,4+λ),
因?yàn)閏∥(2a+b),c=(2,1),
所以41=2(4+λ),解得λ=?2,
即答案為?2.
【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于向量平行的題目,關(guān)鍵是掌握向量平行的條件.
14.【xx全國(guó)卷Ⅲ文】某公司有大量客戶,且不同齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異.為了解客戶的評(píng)價(jià),該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查,可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣,則最合適的抽樣方法是________.
【答案】分層抽樣.
【解析】
分析:由題可知滿足分層抽樣特點(diǎn)
詳解:由于從不同齡段客戶中抽取,故采用分層抽樣
故答案為:分層抽樣。
點(diǎn)睛:本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,屬于基礎(chǔ)題。
15.閱讀如圖所示的程序框圖,若a=log1213,b=log2e,c=ln2,則輸出的結(jié)果是________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先分析程序框圖的作用是輸出三個(gè)數(shù)中的最大值,從而比較三個(gè)數(shù)的大小,求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題中所給的程序框圖,可以判斷出其作用是輸出三者中的最大出那個(gè)數(shù),
因?yàn)閍=log1213=log23>log2e=b>1,而c=ln2<1,
所以其最大值是,
故答案是:.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的輸出結(jié)果的求解問題,屬于簡(jiǎn)單題目.
16.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1+x2)+3,f(t)=7,則f(?t)=________.
【答案】?1
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,求得f(x)+f(?x)=6,從而求得f(?t)=6?f(t)=6?7=?1.
【詳解】因?yàn)閒(x)+f(?x)=ln(x+1+x2)+3+ln(?x+1+x2)+3=6+ln(x2+1?x2)=6,
所以f(t)+f(?t)=6,從而得到f(?t)=6?f(t)=6?7=?1,
故答案是:?1.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用函數(shù)解析式求函數(shù)值的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,屬于簡(jiǎn)單題目.
三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(B+C)=3sin2A2.
(1)求cosA;
(2)若ΔABC的面積為6,b+c=8,求.
【答案】(1)513(2)27
【解析】
【分析】
(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知B+C=π?A,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再利用倍角公式化簡(jiǎn),從而求得tanA2=23,之后借助于倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式,求得cosA的值;
(2)由(1)可知sinB=1213,利用面積公式求得bc=13,再利用余弦定理即可求得a=27.
【詳解】(1)由A+B+C=π及題設(shè)得sinA=3sin2A2,故tanA2=23
所以cosA=cos2A2-sin2A2=1-tan2A21+tan2A2=513
(2)由cosA=513得sinA=1213,又SΔABC=6,可得bc=13
由余弦定理及b+c=8得a2=(b+c)2-2bc(cosA+1)=28
故a=27
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式,倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,三角形的面積公式,余弦定理,熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.
18.經(jīng)銷商銷售某種產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)300元;未售出的產(chǎn)品,每1t虧損100元.根據(jù)以往的銷售記錄,得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了120t該產(chǎn)品.用x(單位:,100≤x≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,y(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)y不少于32000元的概率.
【答案】(1)y=400x?12000,100≤x≤12036000,120<x≤150(2)0.9
【解析】
【分析】
(1)由題意先分段寫出,當(dāng)x∈[100,120]時(shí),當(dāng)x∈(120,150]時(shí),和利潤(rùn)值,最后利用分段函數(shù)的形式進(jìn)行綜合即可;
(2)利用(1)求出利潤(rùn)不少于3xx元時(shí)110≤x≤150,再利用頻率分布直方圖求得x∈[110,150]的頻率為0.9,利用樣本估計(jì)總體的方法得出利潤(rùn)y不少于3xx的概率估計(jì)值.
【詳解】(1)由題意得,當(dāng)x∈100,120時(shí),y=400x-12000;當(dāng)x∈120,150時(shí)y=36000;故函數(shù)為y=400x-12000,100≤x≤12036000,120<x≤150
(2)由(1)知利潤(rùn)不少于32000元相當(dāng)于110≤x≤150,
由直方圖可知需求量在[110,150]之間的頻率為0.9,
所以下一個(gè)銷售季度經(jīng)銷利潤(rùn)不少于32000元的概率估計(jì)值為0.9
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)頻率分布直方圖的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用分段函數(shù)解決實(shí)際問題,利用頻率分布直方圖估計(jì)對(duì)應(yīng)事件的概率,屬于簡(jiǎn)單題目.
19.已知數(shù)列{an},Sn是該數(shù)列的前n項(xiàng)和,Sn=n2+2n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=1anan+1,已為Tn=b1+b2+…+bn,證明Tn<16.
【答案】(1)an=2n+1(2)詳見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系,求得{an}的通項(xiàng)公式;
(2)利用(1)求得bn=1(2n+1)(2n+3),利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】(1)易知a1=3
當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1 =2n+1,n=1時(shí)也成立,得an=2n+1
(2)由bn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)可得
Tn=b1+b2+…+bn=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)
因?yàn)閚∈N+,所以Tn<16
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系求通項(xiàng),利用裂項(xiàng)相消法求和,屬于簡(jiǎn)單題目.
20.四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD、BC的平面分別交四面體的棱BD、DC、CA于點(diǎn)F、G、H.
(1)求證:四邊形EFGH是矩形;
(2)求點(diǎn)A到面EFGH的距離.
【答案】(1)詳見解析(2)22
【解析】
【分析】
(1)由三視圖得到四面體ABCD的具體形狀,然后利用線面平行的性質(zhì)得到四邊形EFGH的兩組對(duì)邊平行,即可得到四邊形為平行四邊形,再由線面垂直的判定和性質(zhì)得到AD⊥BC,結(jié)合異面直線所成角的概念得到EF⊥EH,從而證得結(jié)論;
(2)利用線面平行時(shí),直線上的點(diǎn)到平面的距離是相等的,將點(diǎn)A到面EFGH的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到面EFGH的距離,求解即可.
【詳解】(1)證明:由AD?平面ABDAD//平面EFGH平面ABD∩平面EFGH于EF?AD//EF,同理可得AD//HG
所以EF//HG
由BC?平面BCDBC//平面EFGH平面BCD∩平面EFGH于FG?BC//FG,同理可得BC//EH
所以FG//EH
所以四邊形EFGH是平行四邊形
由三視圖可知AD⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD,又FG?平面BCD
所以EF⊥FG,所以四邊形EFGH是矩形
(2)易知A點(diǎn)到面EFGH的距離即D點(diǎn)到面EFGH的距離,
由AD//平面EFGHAD⊥平面BCD?平面EFGH⊥平面BCD且交于FG
所以D點(diǎn)到面EFGH的距離即D點(diǎn)到線FG的距離
由(1)和E是AB的中點(diǎn)可知F、G分別是DB、DC的中點(diǎn),
又由三視圖可知ΔDBC是等腰直角三角形,
易得D點(diǎn)到線FG的距離為22,即A點(diǎn)到面EFGH的距離
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的性質(zhì),線面垂直的判定和性質(zhì),點(diǎn)到平面的距離,屬于中檔題目.
21.已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)A(1,1).直線過(guò)點(diǎn)(0,12)且與拋物線C交于兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線,該垂線分別交直線OA,ON于點(diǎn)P,Q,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)證明:2QP=QM.
【答案】(1)方程為y2=x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(14,0),準(zhǔn)線方程為x=?14;(2)詳見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A(1,1),代值求出p,即可求出拋物線C的方程,焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,12)的直線方程為y=kx+12,M(x1,y1),N(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2,假設(shè)直線OA的方程為y=x,所以P(x1,x1),直線ON的方程為y=y2x2x,所以Q(x1,y2x2x1),最后利用中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,證得結(jié)果.
【詳解】(1)易得p=12,所以拋物線C的方程為y2=x
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(14,0),準(zhǔn)線方程為x=-14
(2)由題意,假設(shè)直線的方程為y=kx+12(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2)
所以y=kx+12y2=x?4k2x2+(4k-4)x+1=0,
可得x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2
假設(shè)直線OA的方程為y=x,所以P(x1,x1),
直線ON的方程為y=y2x2x,所以Q(x1,y2x2x1),
y1+y2x1x2=y1x2+y2x1x2
=(kx1+12)x2+(kx2+12)x1x2
=2kx1x2+12(x1+x2)x2
=12k2x2
=2x1
故P是線段QM的中點(diǎn),所以2QP=QM.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系,屬于較難題目.
22.已知函數(shù)f(x)=x+1ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)+af′(x)+1ex,若存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,1],使得2g(x1)<g(x2)成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極大值為1,無(wú)極小值(2)(?∞,3?2e)∪(3?e2,+∞)
【解析】
【分析】
(1)先求出f(x)=-xex,得知當(dāng)所以當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,從而求得函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而求得函數(shù)的極值;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,1],使得2g(x1)<g(x2)成立,則(2g(x))min<g(x)max,g(x)=-x2+(1+a)x-aex=-(x-a)(x-1)ex,分別討論①當(dāng)a≥1時(shí),②當(dāng)a≤0時(shí),③當(dāng)0<a<1時(shí)的情況,從而求得的范圍.
【詳解】(1)函數(shù)的定義域:R,f(x)=-xex,
所以當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,
故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減
所以f(x)極大值=f(0)=1,無(wú)極小值.
(2)若存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,1],使得2g(x1)<g(x2)成立,則(2g(x))min<g(x)max
由g(x)=xf(x)+af(x)+e-x可得g(x)=-x2+(1+a)x-aex=-(x-a)(x-1)ex
①當(dāng)a≥1時(shí),g(x)≤0,g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴2g(1)<g(0),即a>3-e2;
②當(dāng)a≤0時(shí),g(x)>0,g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴2g(0)<g(1),即a<3-2e;
③當(dāng)0<a<1時(shí),
x∈[0,a]時(shí),g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;x∈[a,1]時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
g(x)max=max{g(0),g(1)}=max{1,3-ae},由于0<a<1,故2e<3-ae<3e
g(x)min=g(a)=a+1ea,由(1)知2e<g(a)<1,所以4e<2g(a)<2
故不可能成立;
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及分類討論思想,屬于較難題目.