2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 1 變化的快慢與變化率學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

1　變化的快慢與變化率 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率的概念.2.會(huì)求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度并估計(jì)瞬時(shí)速度． 知識點(diǎn)一　函數(shù)的平均變化率 1．定義：對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為. 其中自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作Δy.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即＝. 2．作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． 知識點(diǎn)二　瞬時(shí)變化率 1．定義：對于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，則函數(shù)的平均變化率是＝＝.而當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率． 2．作用：刻畫函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢． 對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，若記Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則 1．Δx可正，可負(fù)，可為零．(　　) 2．函數(shù)y＝f(x)的平均變化率為＝＝.(　√　) 3．函數(shù)y＝f(x)的平均變化率為＝＝.(　√　) 4．當(dāng)Δx趨于0時(shí)，就趨于函數(shù)在x1處的瞬時(shí)變化率．(　√　) 題型一　函數(shù)的平均變化率 例1　求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x分別從1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均變化率，當(dāng)Δx都為時(shí)，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？ 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 解　在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當(dāng)Δx＝時(shí)，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均變化率最大． 反思感悟　求平均變化率的主要步驟 (1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1. (3)得平均變化率＝. 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－5的圖像上的一點(diǎn)A(－1，－6)及鄰近一點(diǎn)B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則＝________. 答案　Δx 解析?。? ＝ ＝Δx. (2)求函數(shù)y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并計(jì)算當(dāng)x0＝1，Δx＝時(shí)平均變化率的值． 解　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x ＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴函數(shù)y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為 ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2. 當(dāng)x0＝1，Δx＝時(shí)， 平均變化率的值為312＋31＋2＝. 題型二　求函數(shù)的瞬時(shí)變化率 例2　以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體，t秒時(shí)的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為s＝v0t－gt2，求物體在t0時(shí)刻處的瞬時(shí)速度． 考點(diǎn)　瞬時(shí)變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 解　因?yàn)棣＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－ ＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2， 所以＝v0－gt0－gΔt. 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于v0－gt0， 故物體在t0時(shí)刻處的瞬時(shí)速度為v0－gt0. 反思感悟　1.求瞬時(shí)速度的步驟 (1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度v＝. (3)當(dāng)Δt趨于0時(shí)，平均速度趨于瞬時(shí)速度． 2．求當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，的值 (1)在表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來參加運(yùn)算． (2)求出的表達(dá)式后，Δx無限趨近于0，就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可． 跟蹤訓(xùn)練2　一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值． 考點(diǎn)　瞬時(shí)變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 解　質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)s(t)在t＝2處的瞬時(shí)變化率． ∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均變化率 ＝＝＝4a＋aΔt， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于4a， ∴4a＝8，得a＝2. 1．已知函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量由x0變化到x1時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)的自變量的增量之比是函數(shù)(　　) A．在x0處的變化率 B．在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率 C．在x1處的變化率 D．以上結(jié)論都不對 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率概念的理解 答案　B 解析?。剑善骄兓实亩x可知，故選B. 2．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是(　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均速度 答案　B 解析?。剑?. 3．物體運(yùn)動(dòng)時(shí)位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s(t)＝－4t2＋16t，此物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為零，則相應(yīng)的時(shí)刻為(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 考點(diǎn)　瞬時(shí)變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 答案　B 解析　設(shè)此物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0， ＝＝－8t0＋16－4Δt， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于－8t0＋16， 令－8t0＋16＝0，解得t0＝2. 4．球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為________． 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案　 解析　∵Δy＝π23－π13＝， ∴球的體積平均膨脹率為＝. 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取時(shí)的平均變化率分別為k1，k2，k3，比較k1，k2，k3的大小． 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 解　函數(shù)在[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為6x0＋3Δx. 當(dāng)x0＝1，Δx＝時(shí)，函數(shù)在[1,1.5]上的平均變化率為 k1＝61＋30.5＝7.5； 當(dāng)x0＝2，Δx＝時(shí)，函數(shù)在[2,2.5]上的平均變化率為 k2＝62＋30.5＝13.5； 當(dāng)x0＝3，Δx＝時(shí)，函數(shù)在[3,3.5]上的平均變化率為 k3＝63＋30.5＝19.5，所以k1<k2<k3. 1．平均變化率反映函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；瞬時(shí)變化率反映函數(shù)在某點(diǎn)處變化的快慢． 2．可以使用逼近的思想理解瞬時(shí)變化率，同時(shí)結(jié)合變化率的實(shí)際意義． 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝在1到4的平均變化率為(　　) A.B.C．1D．3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，則平均變化率為＝. 2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖像上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于(　　 ) A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2 答案　C 解析?。剑? ＝4＋2Δx. 3．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 考點(diǎn)　瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 答案　D 解析　由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，當(dāng)Δt趨于0時(shí)，－3Δt－6趨于－6，故該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－6. 4.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　求平均變化率 答案　B 解析　依題意可知Δy＝y(tǒng)B－yA＝1－3＝－2， Δx＝xB－xA＝3－1＝2， 所以函數(shù)y＝f(x)在xA到xB之間的平均變化率為 ＝＝－1. 5．一木塊沿一光滑斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)＝t2，當(dāng)t＝2時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為(　　) A．2B．1C.D. 答案　C 解析　Δs＝(2＋Δt)2－22＝[4＋4Δt＋(Δt)2－4]＝[(Δt)2＋4Δt]，∴＝Δt＋. ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于. 6．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是(　　) A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．無法確定 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率概念的理解 答案　D 解析　k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可負(fù)，故k1，k2大小關(guān)系不確定． 7．如果函數(shù)y＝f(x)＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3，則(　　) A．a(chǎn)＝－3 B．a(chǎn)＝3 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)的值不能確定 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案　B 解析?。剑絘＝3. 8．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝2t2＋at＋1，該物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為3，則a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．7 考點(diǎn)　瞬時(shí)變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 答案　A 解析?。? ＝ ＝a＋4＋2Δt， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，a＋4＋2Δt趨于a＋4， 由題意知a＋4＝3，得a＝－1. 二、填空題 9．汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為________________． 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案　1<2<3 解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC， 由圖像知，kOA<kAB<kBC，所以1<2<3. 10．函數(shù)f(x)＝＋2在x＝1處的瞬時(shí)變化率為________． 考點(diǎn)　瞬時(shí)變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速率 答案?。? 解析　∵Δy＝＋2－(＋2) ＝－1＝， ∴＝，當(dāng)Δx趨于0時(shí)，趨于－2. 11．若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時(shí)的瞬時(shí)速度為1. 答案　 解析?。剑?Δt＋14t， Δt趨于0時(shí)，趨于14t，即14t＝1，t＝. 12．函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率為2，則t＝________. 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 答案　5 解析　函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是＝＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去)． 所以當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2時(shí)，t的值是5. 三、解答題 13．若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移單位：m，時(shí)間單位：s) s＝ 求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度； (2)物體的初速度v0； (3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度． 考點(diǎn)　變化率的概念 題點(diǎn)　瞬時(shí)速度 解　(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為 Δt＝5－3＝2， 物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為 Δs＝352＋2－(332＋2)＝3(52－32)＝48， ∴物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為 ＝＝24m/s. (2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度． ∵物體在t＝0附近的平均變化率為 ＝ ＝ ＝3Δt－18， ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于－18， ∴物體在t＝0處的瞬時(shí)變化率為－18， 即物體的初速度為－18m/s. (3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時(shí)變化率． ∵物體在t＝1附近的平均變化率為 ＝ ＝＝3Δt－12. ∴當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于－12， ∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為－12. 即物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－12m/s. 14．若函數(shù)f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍． 考點(diǎn)　平均變化率的概念 題點(diǎn)　平均變化率的應(yīng)用 解　∵函數(shù)f(x)在[2,2＋Δx]上的平均變化率為 ＝ ＝ ＝－3－Δx， ∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又∵Δx>0，∴Δx的取值范圍是(0，＋∞)． 15．物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度． 解　∵Δs＝－＝－， ＝＝ ＝， 當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于. ∴物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s.