《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件

《醫(yī)用高等數(shù)學》教學課件,醫(yī)用高等數(shù)學,醫(yī)用,高等數(shù)學,教學,課件 第二節(jié)、初等函數(shù)的導數(shù)一、按定義求導數(shù)步驟步驟:例例1 1解解10/11/2022例例2 2解解10/11/2022例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,10/11/2022例例4 4解解10/11/2022例例5 5解解10/11/2022例例6 6解解10/11/2022二、四則運算的求導法則定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu10/11/2022推論推論10/11/2022三、反函數(shù)的導數(shù)即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxyj j=j j j j=且有且有內(nèi)也可導內(nèi)也可導在對應區(qū)間在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)10/11/2022例例1 1解解同理可得同理可得10/11/2022例例2 2解解特別地特別地10/11/2022四、復合函數(shù)的求導法則四、復合函數(shù)的求導法則即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則)定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxxj j *=j j=j j=j j=且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)10/11/2022推廣推廣例例1 1解解10/11/2022例例2 2解解例例3 3解解10/11/2022例例4 4解解例例5 5解解10/11/2022五、隱函數(shù)的導數(shù)五、隱函數(shù)的導數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?10/11/2022用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則:在求導過程中注意在求導過程中注意y是是x的函數(shù)，利用復合函數(shù)的的函數(shù)，利用復合函數(shù)的求導法則便可得到所求函數(shù)的導數(shù)（導數(shù)結(jié)果中求導法則便可得到所求函數(shù)的導數(shù)（導數(shù)結(jié)果中允許含有允許含有y）。）。注意：注意：10/11/2022例例1 1解解解得解得10/11/2022例例2 2解解所求切線方程為所求切線方程為顯然通過原點顯然通過原點.10/11/2022六、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù)方法方法:先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍:10/11/2022例例1 1解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得10/11/2022例例2 2解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得10/11/2022一般地一般地10/11/2022七、初等函數(shù)的導數(shù)注意注意:分段函數(shù)求導時求導時,分界點導數(shù)用左右導數(shù)求分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.10/11/20221.1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式10/11/20222.2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設設)(),(xvvxuu=可導，則可導，則(3)(3)vuvuuv+=)(,(4)(4)0()(2 -=vvvuvuvu.uccu=)(是常數(shù)是常數(shù))(2(2)vuvu =)(,(1)(1)10/11/20223.3.復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決決.注意注意:初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).10/11/2022回顧：回顧：變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.定義定義1.1.定義定義八、高階導數(shù)10/11/2022記作記作三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù),二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),10/11/20222.2.高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例例例1 1解解直接法直接法:由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).10/11/2022例例2 2解解注意注意:求求n階導數(shù)時階導數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合不要急于合并并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導數(shù)階導數(shù).(數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明證明)10/11/2022例例3 3解解同理可得同理可得10/11/2022第三節(jié)、微分一一.微分定義微分定義二二.微分形式不變性微分形式不變性三三.微分的應用微分的應用一、微分定義一、微分定義實例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.再例如再例如,既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題:這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?微分的定義:定義定義(微分的實質(zhì)微分的實質(zhì))由定義知:定理定理證證(1)必要性二、微分與導數(shù)的關(guān)系二、微分與導數(shù)的關(guān)系二、微分與導數(shù)的關(guān)系二、微分與導數(shù)的關(guān)系(2)充分充分性性例例1 1解解三、微分形式不變性三、微分形式不變性結(jié)論：微分形式的不變性微分形式的不變性例例3 3解解例例2 2解解例例4 4解解在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.小結(jié)微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導數(shù)的概念導數(shù)的概念求導數(shù)與微分的方法求導數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學,叫做叫做微分學微分學.導數(shù)與微分的聯(lián)系導數(shù)與微分的聯(lián)系:導數(shù)與微分的區(qū)別導數(shù)與微分的區(qū)別:第四節(jié).導數(shù)的應用一一一一.Lagrange.Lagrange.Lagrange.Lagrange中值定理中值定理中值定理中值定理二二二二.LHospital.LHospital.LHospital.LHospital法則法則法則法則三三三三.函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的單調(diào)性和極值四四四四.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點函數(shù)曲線的凹凸性和拐點函數(shù)曲線的凹凸性和拐點函數(shù)曲線的凹凸性和拐點五五五五.函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線函數(shù)曲線的漸近線六六六六.函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪一.Lagrange中值定理定理：定理：定理：定理：a aB Bb bA A推論1 如果對于任意如果對于任意推論2 如果對于任意如果對于任意思考：思考：思考：思考：二.LHospital法則也也可能不存在可能不存在.通常將這種極限叫做不定式（未定式）通常將這種極限叫做不定式（未定式）.不定式還有其它類型：不定式還有其它類型：定理：定理：(1)(1)(2)(2)(3)(3)L L L L HospitalHospitalHospitalHospital法則法則法則法則推論：推論：當當導數(shù)比的極限仍是不定式，且滿足定理中的條件，導數(shù)比的極限仍是不定式，且滿足定理中的條件，則可繼續(xù)用則可繼續(xù)用LHospitalLHospital法則法則.例例1 1解解例例2 2解解不能等量替換！不能等量替換！Why?例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解另例另例4040三、函數(shù)的單調(diào)性和極值三、函數(shù)的單調(diào)性和極值定理例例1 1解解注意注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間求法問題問題:如上，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點的分界點方法方法:例例2 2解解單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為例例3 3解解單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為例例4 4證證注意注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義定義注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件)(是極值點情形是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形不是極值點情形)例例1 1解解列表討論列表討論極極大大值值極極小小值值圖形如下圖形如下由第一充分條件,駐點是否為極值點須考慮導數(shù)在逐點兩側(cè)臨近點的符號,比較麻煩,故補充定理如下例例2 2解解圖形如下圖形如下注意注意:例例3 3解解函數(shù)的不可導點函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點也可能是函數(shù)的極值點.注意注意:極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點臨界點.函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點臨界點取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)最值的求法步驟步驟:1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個那個小那個就是最小值就是最小值;注意注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)解解計算計算例例1 1.4,314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù)-+-+=xxxy比較得比較得實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數(shù)建立目標函數(shù);(2)求最值求最值;例例2 2 某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定套公寓要出租，當租金定為每月為每月180元時，公寓會全部租出去當租元時，公寓會全部租出去當租金每月增加金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費而租出去的房子每月需花費20元的整修維護元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？費試問房租定為多少可獲得最大收入？解解設房租為每月設房租為每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月總收入為每月總收入為（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時收入最高。元時收入最高。最大收入為最大收入為注意最值與極值的區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值的步驟實際問題求最值的步驟.1 1、曲線凹凸的定義、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方四.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點定義定義2 2 2 2、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定、曲線凹凸的判定定理1例例1 1解解注意到注意到,3 3、曲線的拐點及其求法、曲線的拐點及其求法1.定義注意:拐點處的切線必在拐點處過曲線.2.拐點的求法證方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點例例3 3解解曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1,2.1,2.五、函數(shù)曲線的漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線定義:1.垂直漸近線例如例如有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條:2.2.水平漸近線水平漸近線例如例如有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條:3.3.斜漸近線斜漸近線斜漸近線求法斜漸近線求法:注意注意:例例1 1解解六、函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢近線以及其他變化趨勢;第五步第五步舉例例例1 1解解非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性且無對稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點凹凸區(qū)間及極值點和拐點:拐點拐點極值點極值點間間斷斷點點不存在不存在作圖作圖例例2 2解解無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點拐點極大值極大值極小值極小值函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是是導數(shù)應用的綜合考察導數(shù)應用的綜合考察.最最大大值值最最小小值值極極大大值值極極小小值值拐拐點點凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減第四節(jié)第四節(jié) 定積分的應用定積分的應用三三.旋轉(zhuǎn)體的體積：旋轉(zhuǎn)體的體積：一一.微元法微元法:二二.平面圖形的面積平面圖形的面積四四.函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值一微元法一微元法:1.化整為微化整為微(分割分割):2.以直代曲以直代曲(代替代替):即即 Qi f(i)xi3.積微為整積微為整(求和求和):即即 Qi=f(i)xi即即 Q=Qi4.取極限化為定積分取極限化為定積分:將近似值化為準確值將近似值化為準確值Qi f(i)xidQi=f(x)dx.xn-1x1.xi-1xiix0=ba=x0 xyoy=f(x)小結(jié)：關(guān)鍵是尋找微元小結(jié)：關(guān)鍵是尋找微元dQ=f(x)dx,而后求而后求dA=f(x)dxybxaxx+dxAdAy=f(x)o二二.平面圖形的面積平面圖形的面積:dA=f(x1)-f(x2)dxyabx0y=f1(x)y=f2(x)dAxx+dxAyx0dSxx+dxds1=x2dxds2=1/xdxAy12xdS=(y+4-y2/2)dyx=y2/2yxC(2,-2)D(8,4)x=y+4dSyy+dy求曲線求曲線y=f(x)繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積:xx+dxyxzoaby=f(x)三三.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積:dv=y2dx例：求由拋物線y=x2，x=2及x軸所圍成的平面圖形 繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積.解:xyodv=y2dx2xyo4dv=22-(y1/2)2dy例：求由拋物線y=x2，x=2及x軸所圍成的平面圖形 y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積.yy+dy例例:求函數(shù)求函數(shù) y=1-x2 在區(qū)間在區(qū)間-1,1上的平均值上的平均值0 xy1-11y=1-x2解解：四四.函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值:b-ay=f()=1利用定積分的中值定理利用定積分的中值定理:例例:已知某化學反應速度已知某化學反應速度 v=v0e-kt,其中其中v0,k 為常數(shù)為常數(shù),求在時間求在時間 0,內(nèi)的平均反應速度內(nèi)的平均反應速度解解：.xn-1x1.xi-1xiix0=ba=x0 xyoy=f(x)第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限函數(shù)與極限微積分中的二個重要基本概念微積分中的二個重要基本概念函數(shù)函數(shù)高等數(shù)學研究的基本對象高等數(shù)學研究的基本對象極限極限是否采用極限的運算方法，是高等數(shù)學與是否采用極限的運算方法，是高等數(shù)學與 初等數(shù)學的根本區(qū)別初等數(shù)學的根本區(qū)別第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)一函數(shù)概念：一函數(shù)概念：常量與變量：常量與變量：常量常量：某一變化過程中：某一變化過程中保持數(shù)值不變的量保持數(shù)值不變的量.變量變量：在某一變化過程中：在某一變化過程中取不同數(shù)值的量取不同數(shù)值的量一個量是常量還是變量只是一個量是常量還是變量只是相對相對而言的而言的例：同一地點的例：同一地點的=9.8米米/秒秒2 (初等數(shù)學研究的主要對象初等數(shù)學研究的主要對象)例：自由落體例：自由落體=gt2/2中的中的S與與t都是變量都是變量.函數(shù)的概念：函數(shù)的概念：函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系變量之間的依賴關(guān)系變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)定義函數(shù)定義：設設與是兩個變量與是兩個變量，如果對于在數(shù)集中所取的，如果對于在數(shù)集中所取的 每一個值，通過與之間的某一每一個值，通過與之間的某一對應律對應律,都有一個都有一個 (或多個或多個)確定的確定的 y 值與之對應值與之對應,則稱則稱 f 是上的函數(shù)是上的函數(shù).記作：記作：y=f(x)，x X稱為自變量，稱為因變量稱為自變量，稱為因變量稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域 而所有對應的值組成的數(shù)集則稱為函數(shù)的值域而所有對應的值組成的數(shù)集則稱為函數(shù)的值域 函數(shù)的表示方法：函數(shù)的表示方法：解析法解析法 (如如 y=f(x)列表法列表法圖象法圖象法其其 他他函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法解析法可用一個式子表示也可用多個式子表示解析法可用一個式子表示也可用多個式子表示.例如例如:cosx -x01 0 x1 1/x x 1f(x)=(分段函數(shù)分段函數(shù))注：分段函數(shù)雖然由多個式子組成的，但它注：分段函數(shù)雖然由多個式子組成的，但它不是多個函數(shù)，而是一個函數(shù)不是多個函數(shù)，而是一個函數(shù) 冪函數(shù)：冪函數(shù)：=xa 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：=ax 對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：=logax 三角函數(shù)：三角函數(shù)：=sinx，y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.二初等函數(shù)：二初等函數(shù)：1 1基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)：(中學學過的）中學學過的）2 2復合函數(shù)復合函數(shù)：形如：形如：=f(x)(u=(x)定義定義:設變量設變量 y 是變量是變量 u 的函數(shù)的函數(shù),變量變量 u 又是變量又是變量 x 的函數(shù)即的函數(shù)即 y=f(u),u=(x),如果變量如果變量x的某些值通過中間變量的某些值通過中間變量u 可以確定變量可以確定變量 y 的值時的值時,則稱則稱 y 是是 x 的復合函數(shù)的復合函數(shù),記作記作 y=f(x)(y因變量因變量,u中間變量中間變量(既是自變量又是因變量既是自變量又是因變量),x自變量自變量)注注:函數(shù)函數(shù)u=(x)的值域不能超過函數(shù)的值域不能超過函數(shù)y=f(u)的定義域的定義域.形成復合函數(shù)的中間變量可以不止一個形成復合函數(shù)的中間變量可以不止一個,如如:y=f(x)例：例：y=cos(2t+/3)那么拆成什么形式好呢那么拆成什么形式好呢?.一般復合函數(shù)拆開的結(jié)果應使拆成的每一個函數(shù)都是一般復合函數(shù)拆開的結(jié)果應使拆成的每一個函數(shù)都是基本初等基本初等 函數(shù)函數(shù)或是或是它們的和它們的和,差差,積積,商商.將復合函數(shù)拆成簡單函數(shù)：（重點）將復合函數(shù)拆成簡單函數(shù)：（重點）例：例：例：例：可分解為可分解為:y=cosx,x=2t+/3.或或:y=cos2x,x=t+/63 3初等函數(shù)初等函數(shù)定義：由定義：由基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)過經(jīng)過有限次加，減，乘，除四則運算有限次加，減，乘，除四則運算和和 有限次復合運算有限次復合運算而構(gòu)成的而構(gòu)成的僅用一個解析式表達僅用一個解析式表達的函數(shù)，的函數(shù)，稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù)（注：不用一個式子表示的函數(shù)就不是初等函數(shù)）（注：不用一個式子表示的函數(shù)就不是初等函數(shù)）問：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？問：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？不是初等函數(shù)，但它是一個函數(shù)不是初等函數(shù)，但它是一個函數(shù).例：例：都是初等函數(shù)。都是初等函數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 極限概念的引入極限概念的引入:例例1.有一變量其變化趨勢為有一變量其變化趨勢為:1,1/2,1/3,1/4,.,1/n,.則該變量的極限是則該變量的極限是0.(數(shù)列極限數(shù)列極限)一一.函數(shù)的極限函數(shù)的極限:對于函數(shù)對于函數(shù) y=f(x),我們將分別考察以下兩種情況的極限我們將分別考察以下兩種情況的極限:1.自變量自變量 x x0 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限.2.自變量自變量 x 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限.xx0-0 時時,函數(shù)的極限函數(shù)的極限xx0+0 時時,函數(shù)的極限函數(shù)的極限x-時時,函數(shù)的極限函數(shù)的極限x+時時,函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.1.x xx x0 0 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限:記作記作:定義定義:設函數(shù)設函數(shù) f(x)在點在點 x0 附近有定義附近有定義(但在但在 x0 處可以沒有定義處可以沒有定義),當自變量當自變量 x 以以任何方式任何方式無限趨近于定值無限趨近于定值 x0 時時,若函數(shù)若函數(shù) f(x)無限趨近于一個常數(shù)無限趨近于一個常數(shù) A,就說當就說當 x 趨近于趨近于 x0時時,函數(shù)函數(shù) f(x)以以 A 為極限為極限.注注:僅要求函數(shù)僅要求函數(shù)在點在點x0 附近有定義附近有定義,但在但在 x0 處可以沒有定義處可以沒有定義.“自變量自變量 x 以任何方式以任何方式無限趨近于定值無限趨近于定值 x0”是指是指左趨近左趨近和和 右趨近右趨近(對于一元函數(shù)對于一元函數(shù)).Axfxx=)(lim0 函數(shù)的函數(shù)的單側(cè)極限單側(cè)極限 :左極限左極限：右極限右極限：x從從左側(cè)左側(cè)趨近于趨近于x0時產(chǎn)生的極限時產(chǎn)生的極限.記作記作:x從從右側(cè)右側(cè)趨近于趨近于x0時產(chǎn)生的極限時產(chǎn)生的極限.記作記作:即左極限和右極限即左極限和右極限都存在并且相等都存在并且相等時時,才能說函數(shù)的極限存在才能說函數(shù)的極限存在例例:右圖中的函數(shù)右圖中的函數(shù)f(x)(分段函數(shù)分段函數(shù))AxfxfAxfxxxxxx=+-)(lim)(lim)(:)(lim00000當且僅當當且僅當存在的充要條件存在的充要條件極限極限.BAxyx0oAB,即左極限即左極限右極限右極限此函數(shù)此函數(shù) f(x)在在 x0處的極限不存在處的極限不存在.2.x 2.x 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 :函數(shù)在正無限處極限函數(shù)在正無限處極限:函數(shù)在負無限處極限函數(shù)在負無限處極限:函數(shù)在正負無限處極限函數(shù)在正負無限處極限:oxyA例例:對于函數(shù)對于函數(shù) f(x)=arctgx,x時極限是否存在時極限是否存在?解解:當當 x+時時,f(x)=arctgx/2,函數(shù)極限不存在函數(shù)極限不存在(當當 x 時時).OYx/2-/2當當 x-時時,f(x)=arctgx-/2.AxfxfAxfxxx=-+)(lim)(lim)(:)(lim當且僅當當且僅當存在的充要條件存在的充要條件極限極限.極限不存在極限不存在的幾種情形式的幾種情形式 :1.當當 x x0(x)時時,f(x),極限不存在極限不存在.這時雖然這時雖然 f(x)的極限不存在的極限不存在,但也可記作但也可記作:2.左右極限至少有一個不存在或都存在但不相等時左右極限至少有一個不存在或都存在但不相等時,極限不存在極限不存在.3.當當 x x0(x)時時,f(x)的變化趨勢振蕩不定的變化趨勢振蕩不定,此時函數(shù)極限此時函數(shù)極限 不存在不存在.二二.無窮小和無窮大無窮小和無窮大.1.1.無窮小定義無窮小定義 :以以零為極限的變量零為極限的變量就是無窮小量就是無窮小量.例例:當當 x +時時,1/x 的極限為零的極限為零;注注:稱一個函數(shù)是無窮小量時稱一個函數(shù)是無窮小量時,必須指出其自變量的變化趨勢必須指出其自變量的變化趨勢.無窮小量是無窮小量是變量變量而不是常數(shù)而不是常數(shù) 0,也不是很小的數(shù)也不是很小的數(shù)(如如 10-10000)但但0可以看成是無窮小量?？梢钥闯墒菬o窮小量。當當 x 1時時,x-1 的極限也是零的極限也是零.2.2.無窮大定義無窮大定義:在變化過程中在變化過程中其絕對值無限變大其絕對值無限變大,(無窮大量的變化趨勢和無窮小的變化趨勢相反無窮大量的變化趨勢和無窮小的變化趨勢相反)例例:當當 x 0 時時,1/x 的值無限增大的值無限增大;注注:稱一個函數(shù)是無窮大量時稱一個函數(shù)是無窮大量時,必須指出其自變量的變化趨勢必須指出其自變量的變化趨勢.無窮大量是無窮大量是變量變量,而不是一個很大的量而不是一個很大的量.無窮大量無窮大量,無窮小量是無窮小量是變量變量,而不是一個確定的量而不是一個確定的量.當當 x /2 時時,y=tgx 的絕對值的絕對值 y無限增大無限增大.3.3.無窮小與無窮大的無窮小與無窮大的關(guān)系關(guān)系 :互為倒數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系關(guān)系例例:當當 x 0 時時,1/x 為無窮大量為無窮大量,而而 x 為無窮小量為無窮小量.(在在同一變化過程中同一變化過程中).4.4.無窮小無窮小定理定理 :定理定理1.函數(shù)函數(shù) f(x)以以A為極限的充分必要條件是函數(shù)為極限的充分必要條件是函數(shù) f(x)與常數(shù)與常數(shù)A 之差是一個無窮小量之差是一個無窮小量.即即 lim f(x)=A 成立的充要條件是成立的充要條件是:lim f(x)-A=0亦即亦即,若函數(shù)若函數(shù) f(x)以以A為極限為極限,若設若設 f(x)-A=,則則為該極限過程中的無窮小量為該極限過程中的無窮小量.定理定理2.有限個有限個無窮小無窮小的代數(shù)和仍為無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量.定理定理3.有界函數(shù)與有界函數(shù)與無窮小無窮小的乘積仍為無窮小量的乘積仍為無窮小量.(有界函數(shù)有界函數(shù):若函數(shù)若函數(shù) f(x)在某個區(qū)間在某個區(qū)間 X內(nèi)滿足內(nèi)滿足:Af(x)B,其中其中 A,B 是兩個定數(shù)是兩個定數(shù),則稱則稱 f(x)在區(qū)間在區(qū)間X內(nèi)有界內(nèi)有界,A下界下界,B上界上界).推論推論1.常數(shù)與常數(shù)與無窮小量無窮小量之積仍為無窮小量之積仍為無窮小量.推論推論2.有限個有限個無窮小量無窮小量的乘積仍為無窮小量的乘積仍為無窮小量.5.5.無窮小無窮小無窮小無窮小的比較的比較 :設設,為兩個無窮小為兩個無窮小 .若若 lim/=0(或或 lim /=),則稱則稱是比是比高階的無窮小高階的無窮小 或稱或稱是比是比低階的無窮小低階的無窮小.若若 lim/=k0,則稱則稱與與是同階無窮小是同階無窮小.特別地若特別地若 lim/=1,則稱則稱與與是等價無窮小是等價無窮小.記作記作:即即 lim/=0 是比是比高階高階的無窮小的無窮小.是比是比低階低階的無窮小的無窮小.k0 與與是是同階同階無窮小無窮小.1 與與是是等價等價無窮小無窮小.三三 .極限的極限的四則運算法則四則運算法則 :定理定理:設在某變化過程中有設在某變化過程中有 lim f(x)=A,lim g(x)=B,則有則有:lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB.lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim f(x)/g(x)=lim f(x)/lim g(x)=A/B (B0)性質(zhì)性質(zhì):lim C=C (C為常量為常量).limC f(x)=C lim f(x)lim f(x)n=lim f(x)n (n為正整數(shù)為正整數(shù)).31)1)(1(lim,0,1(:21=-+-=xxxxxx原式故不能用極限的商定理)分母的極限為時當解四.兩個重要極限:第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性反映在圖形上就是：函數(shù)曲線是連續(xù)而不間斷的函數(shù)的連續(xù)性反映在圖形上就是：函數(shù)曲線是連續(xù)而不間斷的xyxyoo（連續(xù)的）（連續(xù)的）（在（在x0處間斷）處間斷）x0y=f(x)y=f(x)一一 .函數(shù)的增量函數(shù)的增量 :函數(shù)函數(shù) y=f(x),當自變量當自變量 x 從從 x0 變到變到 x1 時時,函數(shù)函數(shù) y 就從就從 f(x0)變到變到 f(x1),這時稱這時稱 x=x1-x0為自變量為自變量 x的增量的增量,稱稱y=f(x1)-f(x0)或或y=f(x0+x)-f(x0)為函數(shù)為函數(shù) 在在 x=x0處的增量處的增量.函函數(shù)數(shù)增增量量的的幾幾何何意意義義:yf(x0)f(x1)x0 x1=x0+xy=f(x)xABxyo記作記作:y=f(x1)-f(x0)或或 y=f(x0+x)-f(x0)二二.函數(shù)的連續(xù)點與間斷點函數(shù)的連續(xù)點與間斷點:1.連續(xù)性定義連續(xù)性定義:設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0及其附近有定義及其附近有定義,當當x0有一增量有一增量x時時,相應地相應地函數(shù)也有一增量函數(shù)也有一增量:y=f(x0+x)-f(x0),若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)(并稱并稱x0為函數(shù)的連續(xù)點為函數(shù)的連續(xù)點)若以若以x=x0+x代入上式代入上式,則有則有x0.則有則有于是函數(shù)的連續(xù)性定義可用以下三種不同的形式給出于是函數(shù)的連續(xù)性定義可用以下三種不同的形式給出:)()(lim000 xfxxfx=D D+D D)()(lim00 xfxfxx=0lim0=D DD Dyx(其中其中x=x-x0,y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義:xyoy=f(x)x0(x0,y0)由定義知由定義知:函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點在點x x0 0處連續(xù)處連續(xù)必須滿足以下三個條件必須滿足以下三個條件:f(x)在點在點x0及其附近有定義及其附近有定義.(要求比極限存在的條件高要求比極限存在的條件高)2.間斷點間斷點:不滿足以上三個條件之一的點就叫做不滿足以上三個條件之一的點就叫做 f(x)的間斷點的間斷點.極限必須存在（極限必須存在（即即 ）)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx+-=)()(lim00 xfxfxx=（即該極限等于點（即該極限等于點x0處的函數(shù)值）處的函數(shù)值）例例:舉一例說明間斷點的第舉一例說明間斷點的第種情形種情形:=11sin)(xxxfy當當 x0 時時當當x=001sinlim)(lim00=xxxfxx解解:而而f(0)=1y=f(x)在在 x=0處不連續(xù)處不連續(xù).(若定義中若定義中 x=0 時時,f(x)=0,則則 f(x)在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù))3.3.函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù):4.4.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0處連續(xù)的處連續(xù)的充分必要條件充分必要條件是是:左連續(xù)左連續(xù):若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x0點及某一鄰域內(nèi)有定義點及某一鄰域內(nèi)有定義,且只有且只有 則稱則稱 f(x)在點在點 x0處左連續(xù)處左連續(xù).)()(lim000 xfxfxx=-(即充要條件為即充要條件為:f(x)在在x0點既是左連續(xù)又是右連續(xù)點既是左連續(xù)又是右連續(xù))(lim)(lim00000 xfxfxxxx=+-即即:右連續(xù)右連續(xù):若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x0點及某一鄰域內(nèi)有定義點及某一鄰域內(nèi)有定義,且只有且只有 則稱則稱 f(x)在點在點 x0處右連續(xù)處右連續(xù).)()(lim000 xfxfxx=+5.5.連續(xù)點與極限的關(guān)系連續(xù)點與極限的關(guān)系:函數(shù)在函數(shù)在x0點處連續(xù)點處連續(xù)函數(shù)在函數(shù)在x0處極限存在處極限存在(回憶極限定義與連續(xù)點定義回憶極限定義與連續(xù)點定義)解解:f(x)在點在點 x=3 處處沒沒有定義有定義.點點 x=3 是一個間斷點是一個間斷點.例例:考察函數(shù)考察函數(shù) 的間斷點的間斷點.0 xyA(3,6)3(雖然雖然 極限存在極限存在)2)2(lim)(lim20000-=-=-xxfxx)(lim)(lim0000 xfxfxx+-例例:討論函數(shù)討論函數(shù) -+=212)(22xxxf當當 x0當當 x=0 的連續(xù)性的連續(xù)性.當當 x02)2(lim)(lim20000=+=+xxfxx解解:x0 時時,函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在.x=0 點是間斷點點是間斷點,而其余點是連續(xù)的而其余點是連續(xù)的.0 xy+2-2三三.在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù):1.f(x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a,b)上連續(xù)上連續(xù):如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a,b)上每一點都連續(xù)上每一點都連續(xù),則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a,b)上連續(xù)上連續(xù).2.f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù):如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a,b)上連續(xù)上連續(xù),且有且有(即即 f(x)在在左端點處右連續(xù)左端點處右連續(xù)),(即即 f(x)在在右端點處左連續(xù)右端點處左連續(xù)),則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù).它們在區(qū)間它們在區(qū)間(-,+)上是連續(xù)的上是連續(xù)的.例例:在區(qū)間在區(qū)間(-,+)是否都連續(xù)是否都連續(xù)?例例:y=2x ,y=sinx.在區(qū)間在區(qū)間(-,+)是否都連續(xù)是否都連續(xù)?它們在區(qū)間它們在區(qū)間 (-,+)上任一點都是連續(xù)的上任一點都是連續(xù)的.解解:解解:x=0 處函數(shù)無定義處函數(shù)無定義.函數(shù)在函數(shù)在 x=0 點處是間斷點點處是間斷點,即在即在(-,+)不是都連續(xù)的不是都連續(xù)的.在在閉區(qū)間閉區(qū)間上上連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的兩個性質(zhì)的兩個性質(zhì):定理定理1.(1.(最大值最小值定理最大值最小值定理)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上至少至少取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值各一次各一次.即一段連續(xù)曲線必有最高點和最低點即一段連續(xù)曲線必有最高點和最低點.ymaxyminoxyy=f(x)定理定理2.(2.(介值定理介值定理):):如果函數(shù)如果函數(shù) y=f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),且且f(a)f(b),則對介于則對介于f(a)和和 f(b)之間的任何值之間的任何值C,在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點,使使f()=C,(ab).a123boxycf(a)f(b)其其幾何意義幾何意義:連續(xù)曲線連續(xù)曲線 y=f(x)與水平直線與水平直線 y=c至少相交于一點至少相交于一點.特殊地特殊地,若若f(a)與與f(b)異號異號則連續(xù)曲線則連續(xù)曲線 y=f(x)與與x軸至少相交于一點軸至少相交于一點,即方程即方程f(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,b內(nèi)至少有一實根內(nèi)至少有一實根.a123boxyf(b)f(a)四四.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性:1.一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.2.連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算:利用連續(xù)性定義和極限的運算法則即可得出利用連續(xù)性定義和極限的運算法則即可得出 連續(xù)函數(shù)的運算法則連續(xù)函數(shù)的運算法則:定理定理:設函數(shù)設函數(shù)f(x)和和g(x)均在均在x0處連續(xù)處連續(xù),則則:F(x)=f(x)g(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù) F(x)=f(x)g(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù) F(x)=f(x)/g(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù)可推廣至多個函數(shù)可推廣至多個函數(shù)(即連續(xù)函數(shù)的和即連續(xù)函數(shù)的和,差差,積積,商仍是連續(xù)函數(shù)商仍是連續(xù)函數(shù))在在3.3.復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性:)(ufy=0uu=定理定理:設函數(shù)設函數(shù)處連續(xù)處連續(xù),函數(shù)函數(shù))(00 xuj j=)(xfyj j=)(xuj j=在在x=x0處連續(xù)處連續(xù),則復合函數(shù)則復合函數(shù)在在 x=x0 處連續(xù)處連續(xù).(即連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)即連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù))00)()(limlim00uxxuxxxx=j jj j即當即當 xx0 時時,u u0又又函數(shù)函數(shù) y=f(u)在點在點 u=u0 處連續(xù)處連續(xù).則則)()(lim)(lim000ufufufuuxx=即即)()(lim00 xfxfxxj jj j=證明證明:)(xuj j=在點在點 x=x0處連續(xù)處連續(xù) 復合函數(shù)復合函數(shù))(xfyj j=在點在點 x=x0處連續(xù)處連續(xù).4.初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性：的連續(xù)性：.一切一切初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.注注:此結(jié)論肯定了一個此結(jié)論肯定了一個初等函數(shù)初等函數(shù)的定義區(qū)間就是這個函數(shù)的的定義區(qū)間就是這個函數(shù)的 連續(xù)連續(xù) 區(qū)間區(qū)間.此結(jié)論肯定了此結(jié)論肯定了初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)任何一點的極限值在其定義區(qū)間內(nèi)任何一點的極限值 就是該點的函數(shù)值就是該點的函數(shù)值,這就提供了一種非常簡單而又實用的這就提供了一種非常簡單而又實用的 極限計算方法極限計算方法.解解:原式原式=lntg/4=ln1=0例例:求求tgxxlnlim4p p(ln tgx 是初等函數(shù)是初等函數(shù))201limxx+例例:求求例例:求求解解:原式原式=解解:原式原式=