同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六篇多元微積分學(xué)[共64頁]

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1、 第六篇 多元微積分學(xué) 第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 我們以前學(xué)習(xí)的函數(shù)只有一個(gè)自變量，這種函數(shù)我們稱為一元函數(shù)．一元函數(shù)的微積分解決了很多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題．但是，在實(shí)際問題中往往牽扯到多方面的因素，解決這類問題必須引進(jìn)多元函數(shù)．本章將在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用．從一元函數(shù)的情形推廣到二元函數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些新的問題，而從二元函數(shù)推廣到二元以上的多元函數(shù)則可以類推．通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生要掌握多元函數(shù)微分學(xué)的基本原理以及解決幾何、經(jīng)濟(jì)與管理、工程等領(lǐng)域的實(shí)際問題的具體方法. 第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 1.1 平面點(diǎn)集 為了介紹二元

2、函數(shù)的概念，有必要介紹一些關(guān)于平面點(diǎn)集的知識(shí)，在一元函數(shù)微積分中，區(qū)間的概念是很重要的，大部分問題是在區(qū)間上討論的．在平面上，與區(qū)間這一概念相對(duì)應(yīng)的概念是鄰域． 1.1.1 鄰域 設(shè)是平面上的一定點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)的鄰域，記為，即 , 亦即 ． 在幾何上表示以為中心，為半徑的圓的內(nèi)部(不含圓周)． 上述鄰域去掉中心后，稱為的去心鄰域，記作． . 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑，則用表示點(diǎn)的鄰域，用表示的去心鄰域． 1.1.2 區(qū)域 下面用鄰域來描述平面上的點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系． 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一點(diǎn)，則與的

3、關(guān)系有以下三種情形： (1) 內(nèi)點(diǎn)：如果存在的某個(gè)鄰域，使得，則稱點(diǎn)為的內(nèi)點(diǎn)． (2) 外點(diǎn)：如果存在的某個(gè)鄰域，使得，則稱為的外點(diǎn)． (3) 邊界點(diǎn)：如果在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)，則稱點(diǎn)為的邊界點(diǎn)．的邊界點(diǎn)的集合稱為的邊界，記作． 例如：點(diǎn)集，除圓心與圓周上各點(diǎn)之外圓的內(nèi)部的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，圓外部的點(diǎn)都是的外點(diǎn)，圓心及圓周上的點(diǎn)為的邊界點(diǎn)；又如平面點(diǎn)集，直線上方的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，直線下方的點(diǎn)都是的外點(diǎn)，直線上的點(diǎn)都是的邊界點(diǎn)(圖9—1)． 圖9—1 顯然，點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)一定屬于E；點(diǎn)集E的外點(diǎn)一定不屬于E；E的邊界點(diǎn)可能屬于E，也可能不屬于E． 如果點(diǎn)集E的

4、每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集，點(diǎn)集是開集，不是開集． 設(shè)E是開集，如果對(duì)于E中的任何兩點(diǎn)，都可用完全含于E的折線連接起來，則稱開集E是連通集(圖9—2) ．點(diǎn)集E1和E2都是連通的，點(diǎn)集不是連通的(圖9—2)． 圖9—2 連通的開集稱為開區(qū)域(開域)． 從幾何上看，開區(qū)域是連成一片的且不包括邊界的平面點(diǎn)集．如E1是開區(qū)域．開區(qū)域是數(shù)軸上的開區(qū)間這一概念在平面上的推廣． 開區(qū)域E連同它的邊界構(gòu)成的點(diǎn)集，稱為閉區(qū)域(閉域)，記作 (即)． 閉區(qū)域是數(shù)軸上的閉區(qū)間這一概念在平面上的推廣．如E2及都是閉域，而既非閉域，又非開域．閉域是連成一片的且包含邊界的平面點(diǎn)集． 本書把開區(qū)域

5、與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域． 如果區(qū)域E可包含在以原點(diǎn)為中心的某個(gè)圓內(nèi)，即存在正數(shù)，使，則稱E為有界區(qū)域，否則，稱E為無界區(qū)域．例如E1是有界區(qū)域，E2是無界區(qū)域． 記E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)．如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E的聚點(diǎn)．顯然，E的內(nèi)點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn)，此外，E的邊界點(diǎn)也可能是E的聚點(diǎn)．例如，設(shè)，那么點(diǎn)既是的邊界點(diǎn)又是的聚點(diǎn)，但的這個(gè)聚點(diǎn)不屬于；又如，圓周上的每個(gè)點(diǎn)既是的邊界點(diǎn)，也是的聚點(diǎn)，而這些聚點(diǎn)都屬于．由此可見，點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．再如點(diǎn)，原點(diǎn)是它的聚點(diǎn)，中的每一個(gè)點(diǎn)都不是聚點(diǎn)． 1.1.3 n維空間Rn 一般地，由

6、n元有序?qū)崝?shù)組的全體組成的集合稱為n維空間，記作Rn．即 ． n元有序數(shù)組稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)xi稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)． 類似地規(guī)定，n維空間中任意兩點(diǎn)與之間的距離為 ． 前面關(guān)于平面點(diǎn)集的一系列概念，均可推廣到n維空間中去，例如，，δ是某一正數(shù)，則點(diǎn)的δ鄰域?yàn)? ． 以鄰域?yàn)榛A(chǔ)，還可以定義n維空間中內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等一系列概念． 1.2 多元函數(shù)的概念 1.2.1 n元函數(shù)的定義 定義1 設(shè)D是中的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f , 使得對(duì)于D中的每一個(gè)點(diǎn)，都能由f 唯一地確定一個(gè)實(shí)數(shù)y，則稱f為定義在D上的n元函數(shù)，記為 ． 其中叫做自變量，

7、y叫做因變量，點(diǎn)集D叫做函數(shù)的定義域，常記作． 取定，對(duì)應(yīng)的叫做所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．全體函數(shù)值的集合叫做函數(shù)f的值域，常記為［或］，即 ． 當(dāng)n=1時(shí)，D為實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集，可得一元函數(shù)的定義，即一元函數(shù)一般記作；當(dāng)n=2時(shí)，D為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，可得二元函數(shù)的定義，即二元函數(shù)一般記作，若記，則也記作． 二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．多元函數(shù)的概念與一元函數(shù)一樣，包含對(duì)應(yīng)法則和定義域這兩個(gè)要素． 多元函數(shù)的定義域的求法，與一元函數(shù)類似．若函數(shù)的自變量具有某種實(shí)際意義，則根據(jù)它的實(shí)際意義來決定其取值范圍，從而確定函數(shù)的定義域. 對(duì)一般的用解析式表示的函數(shù)，使表達(dá)式有意義的自變量的取

8、值范圍，就是函數(shù)的定義域． 例1 在生產(chǎn)中，設(shè)產(chǎn)量Y與投入資金K和勞動(dòng)力L之間的關(guān)系為 （其中均為正常數(shù))． 這是以K，L為自變量的二元函數(shù)，在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為生產(chǎn)函數(shù)．該函數(shù)的定義域?yàn)椋? 例2 求函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形． 解 要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足 即,如圖9—3劃斜線的部分． 圖9—3 圖9—4 1.2.2. 二元函數(shù)的幾何表示 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槠矫鎱^(qū)域D，對(duì)于D中的任意一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一確定的函數(shù)值．這樣便得到一個(gè)三元有序數(shù)組，相應(yīng)地在空間可得到一點(diǎn)．

9、當(dāng)點(diǎn)P在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)M就在空間中變動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P取遍整個(gè)定義域D時(shí)，點(diǎn)M就在空間描繪出一張曲面S (圖9—4)．其中 ． 而函數(shù)的定義域D就是曲面S在xO y面上的投影區(qū)域． 例如表示一平面；表示球心在原點(diǎn)，半徑為1的上半球面． 1.3二元函數(shù)的極限 二元函數(shù)的極限概念是一元函數(shù)極限概念的推廣．二元函數(shù)的極限可表述為 定義1 設(shè)二元函數(shù)的定義域是某平面區(qū)域D，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，當(dāng)D中的點(diǎn)P以任何方式無限趨于Ｐ0時(shí)，函數(shù)值f(P)無限趨于某一常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)P趨于P0時(shí)的(二重)極限．記為 或， 此時(shí)也稱當(dāng)時(shí)的極限存在， 否則稱的極限不存在．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐

10、標(biāo)為，則上式又可寫為 或　 f (x, y)→A（x→x０，y→y０）． 類似于一元函數(shù)，無限趨于A可用來刻畫，點(diǎn)無限趨于可用刻畫，因此，二元函數(shù)的極限也可如下定義． 定義2 設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)镈，是D的一個(gè)聚點(diǎn)，A為常數(shù)．若對(duì)任給的正數(shù)，不論多小，總存在，當(dāng)，且時(shí)，總有 則稱A為當(dāng)時(shí)的(二重)極限． 注 ①定義中要求是定義域D的聚點(diǎn)，是為了保證在P0的任何鄰域內(nèi)都有D中的點(diǎn)． ②注意到平面上的點(diǎn)趨近于的方式可以多種多樣：可以從四面八方趨于，也可以沿曲線或點(diǎn)列趨于．定義1指出：只有當(dāng)以任何方式趨近于，相應(yīng)的都趨近于同一常數(shù)A時(shí)，才稱A為當(dāng)時(shí)的極限．如果以某些特殊方式(如沿某

11、幾條直線或幾條曲線)趨于時(shí)，即使函數(shù)值趨于同一常數(shù)A，我們也不能由此斷定函數(shù)的極限存在．但是反過來，當(dāng)P在D內(nèi)沿不同的路徑趨于時(shí)，趨于不同的值，則可以斷定函數(shù)的極限不存在． ③二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限相似的運(yùn)算性質(zhì)和法則，這里不再一一敘述． 例3 設(shè)判斷極限是否存在? 解 當(dāng)沿x軸趨于時(shí)，有y=0，于是 ； 當(dāng)沿y軸趨于時(shí)，有x=0，于是 ． 但不能因?yàn)橐陨鲜鰞煞N特殊方式趨于時(shí)的極限存在且相等，就斷定所考察的二重極限存在． 因?yàn)楫?dāng)沿直線)趨于時(shí)，有 ， 這個(gè)極限值隨k不同而變化，故不存在． 例4 求下列函數(shù)的極限： (1) ；(2)??； (3)． 解 (1

12、)． (2)當(dāng)時(shí)，，有． 這時(shí)，函數(shù)有界，而y是當(dāng)x→0且y→0時(shí)的無窮小，根據(jù)無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量，得 ． (3) ． 從例4可看到求二元函數(shù)極限的很多方法與一元函數(shù)相同． 1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們用二元函數(shù)的極限概念來定義二元函數(shù)的連續(xù)性． 定義3 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果 , 則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，稱為的連續(xù)點(diǎn)；否則稱在處間斷(不連續(xù))，稱為的間斷點(diǎn)． 與一元函數(shù)相仿，二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足三個(gè)條件：①函數(shù)在點(diǎn)有定義；②函數(shù)在處的極限存在；③函數(shù)在處的極限與處的函數(shù)值相等，只要三條中有一條不滿足

13、，函數(shù)在處就不連續(xù)． 由例3可知，在處間斷；函數(shù)在直線上每一點(diǎn)處間斷． 如果在平面區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，也稱是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，記為．在區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張既沒有“洞”也沒有“裂縫”的曲面． 一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則對(duì)于多元函數(shù)仍適用，故二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù)(在商的情形要求分母不為零)；二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)． 與一元初等函數(shù)類似，二元初等函數(shù)是可用含的一個(gè)解析式所表示的函數(shù)，而這個(gè)式子是由常數(shù)、的基本初等函數(shù)、的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及復(fù)合所構(gòu)成的，例如,,等都是二元初等函數(shù)．二元初等函數(shù)在其定義域的區(qū)域內(nèi)處處

14、連續(xù)． 與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有如下性質(zhì)． 性質(zhì)1(最值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最大值與最小值． 推論 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上有界． 性質(zhì)2 (介值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，M和m分別是在D上的最大值與最小值，則對(duì)于介于M與m之間的任意一個(gè)數(shù)C，必存在一點(diǎn),使得． 以上關(guān)于二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可類推到三元以上的函數(shù)中去． 習(xí)題9—1 1．判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)組成的點(diǎn)集和邊界. (1) ；

15、(2) ； (3) ． 2．求下列函數(shù)的定義域，并畫出其示意圖： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．設(shè)函數(shù)，求 (1); (2)； (3) . 4．討論下列函數(shù)在點(diǎn)處的極限是否存在： (1) ； (2)． 5．求下列極限： (1) ； (2)； (3)； (4)． 6．證明：二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)． 7．設(shè)二元函數(shù)，試判斷在點(diǎn)處的連續(xù)性． 8．函數(shù)在何處是間斷的？ 第2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 2.1

16、 偏導(dǎo)數(shù)的概念 2.1.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義 在研究一元函數(shù)時(shí)，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念．由于二元函數(shù)的自變量有兩個(gè)，關(guān)于某點(diǎn)處函數(shù)的變化率問題相當(dāng)復(fù)雜，因此我們不能籠統(tǒng)地講二元函數(shù)在某點(diǎn)的變化率．在這一節(jié)，我們考慮二元函數(shù)關(guān)于某一個(gè)自變量的變化率，這就是偏導(dǎo)數(shù)的概念． 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，x在有改變量，而保持不變，這時(shí)函數(shù)的改變量為 ， 稱為函數(shù)在處關(guān)于的偏改變量(或偏增量)．類似地可定義關(guān)于的偏增量為 ． 有了偏增量的概念，下面給出偏導(dǎo)數(shù)的定義． 定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，則稱此極限值為函數(shù)在處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),并稱函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于x

17、可偏導(dǎo)．記作 類似地，可定義函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)為 ， 記作  如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，即 存在，則上述兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)還是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，分別稱為z對(duì)x，y的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱為偏導(dǎo)數(shù))．并記作 ． 不難看出，在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，而就是偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值． 由于偏導(dǎo)數(shù)是將二元函數(shù)中的一個(gè)自變量固定不變，只讓另一個(gè)自變量變化，相應(yīng)的偏增量與另一個(gè)自變量的增量的比值的極限；因此，求偏導(dǎo)數(shù)問題仍然是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．求時(shí)，把y看做常量，將看做x的一元函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)；求時(shí)，把x看做常量，將看做y的一元函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)．

18、三元及三元以上的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，完全可以類似地定義和計(jì)算，這里就不討論了． 例1 求函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)． 解 將y看成常量，對(duì)x求導(dǎo)得 ； 將x看成常量，對(duì)y求導(dǎo)得 ． 再將代入上式得 ． 例2 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 解 ，． 例3 設(shè)，求證： ． 證 因?yàn)?，? 所以 ． 例4 求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 解 將y和z看做常量，對(duì)x求導(dǎo)得 ， 同樣可得 ，． 2.1.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由于偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線上切線的斜率，因此，二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的幾何意義． 設(shè)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在

19、，由于就是一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即＝，故只須弄清楚一元函數(shù)的幾何意義，再根據(jù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就可以得到的幾何意義．在幾何上表示一曲面，過點(diǎn)作平行于xz面的平面，該平面與曲面相截得到截線 ： 若將代入第一個(gè)方程，得．可見截線Γ１是平面上一條平面曲線，在上的方程就是．從而＝表示在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率(圖9-5)． 同理，＝表示平面與的截線 ： 在處的切線對(duì)y軸的斜率(圖9—5)． 圖9—5 例5 討論函數(shù) 在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是否存在． 解 ． 同樣有．這表明在處對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)存在，即在處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在． 由上節(jié)例3知：該函數(shù)在處不連續(xù)．

20、本例指出，對(duì)于二元函數(shù)而言，函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)．但在一元函數(shù)中，我們有結(jié)論：可導(dǎo)必連續(xù)．這并不奇怪，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)只刻畫函數(shù)沿x軸與y軸方向的變化率，存在，只能保證一元函數(shù)在x0處連續(xù)，即與的截線在處連續(xù)．同時(shí)只能保證在處連續(xù)，但兩曲線,在處連續(xù)并不能保證曲面在處連續(xù)． 2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)=,,那么在D內(nèi)及都是x, y的二元函數(shù)．如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： ，， ，， 其中 (或)與 (或)稱為的二階混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可定義三階，四階，…，n

21、階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)． 例6 求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)和． 解 因?yàn)?y+2xsiny, =x+x2cosy, 所以 =2siny, ＝1＋2xcosy, =1+2xcosy, =x2siny， ． 從本例我們看到,即兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，這并非偶然． 事實(shí)上，有如下定理． 定理1 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有 ． 定理1表明：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān).對(duì)于二元以上的函數(shù)，也可以類似的定義高階偏導(dǎo)數(shù)，而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下

22、也與求導(dǎo)的次序無關(guān)． 例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足方程． 解 所以 ， ， 故 =． 2.3 全微分 2.3.1 全微分的概念 我們知道，一元函數(shù)如果可微，則函數(shù)的增量Δ y可用自變量的增量Δx的線性函數(shù)近似求得．在實(shí)際問題中，我們會(huì)遇到求二元函數(shù)的全增量的問題，一般說來，計(jì)算二元函數(shù)的全增量Δ z更為復(fù)雜，為了能像一元函數(shù)一樣，用自變量的增量Δx與Δ y的線性函數(shù)近似代替全增量，我們引入二元函數(shù)的全微分的概念． 定義2 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)z在處的全增量可表示成 ， 其中A，B是

23、與Δx，Δy無關(guān)，僅與有關(guān)的常數(shù)，ρ＝，o（ρ）表示當(dāng)Δx→0，Δy→0時(shí)關(guān)于ρ的高階無窮小量，則稱函數(shù)在處可微，而稱為在點(diǎn)處的全微分，記作或，即 ． 若在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱在D內(nèi)可微，也稱是D內(nèi)的可微函數(shù)．在處的全微分記作dz，即 ． 二元函數(shù)在點(diǎn)P(x,y)的全微分具有以下兩個(gè)性質(zhì)： (1) 是的線性函數(shù)，即； (2) ,，因此，當(dāng)都很小時(shí)，可將作為計(jì)算Δ z的近似公式． 多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)．但是對(duì)于可微函數(shù)卻有如下結(jié)論： 定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)． 這是因?yàn)橛煽晌⒌亩x，得 ， 即

24、 ． 即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)． 一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，那么二元函數(shù)可微與可偏導(dǎo)之間有何關(guān)系呢? 定理3 如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有 ． 證 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處可微，故 ，　ρ＝． 令，于是． 由此得 ， 即 ． 同理可證得 ． 定理3的逆命題是否成立呢? 即二元函數(shù)在某點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在能否保證函數(shù)在該點(diǎn)可微分呢? 一般情況下答案是否定的．如函數(shù) 在處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在處不連續(xù)，由定理2知

25、，該函數(shù)在處不可微．但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)既存在且連續(xù)時(shí)，函數(shù)就是可微的．我們不加證明地給出如下定理． 定理4 如果函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微． 類似于一元函數(shù)微分的情形，規(guī)定自變量的微分等于自變量的改變量．即，于是由定理3有 ． 以上關(guān)于二元函數(shù)的全微分的概念及結(jié)論，可以類推到三元以上的函數(shù)中去．比如若三元函數(shù)在點(diǎn)處可微，則它的全微分為 ． 例8 求下列函數(shù)的全微分： (1) ； (2) ． 解 (1) 因?yàn)?，所以． (2) 因?yàn)椋?， 所以 ． 例9 求在點(diǎn)處的全微分． 解 因,

26、得 ， 于是 ． 3.1.2全微分的運(yùn)算法則 類似于一元函數(shù)微分的運(yùn)算法則，有 定理5 (全微分四則運(yùn)算法則) 設(shè)，在處可微，則 1) 在處可微，且 ; 2) 若k為常數(shù)，在點(diǎn)處可微，且 ； 3) 在點(diǎn)處可微，且 ; 4) 當(dāng)g(x,y)≠0時(shí)，在點(diǎn)處可微， 且 ． 例10 求的全微分． 解 ，， 習(xí)題9—2 1．求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： (1) ; (2) ； (3) ； (4) ． 2．已知，求，． 3．設(shè)，求． 4．設(shè)

27、，求證：． 5．求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)． (1) ; (2) ； (3) ； (4) ． 6．設(shè)，求及． 7．驗(yàn)證滿足． 8．求下列函數(shù)的全微分. (1) ； (2) ； (3 ) ； (4) ． 9．設(shè)，求． 10．設(shè)求． 第3節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.1.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 現(xiàn)在要將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的

28、情形，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在多元函數(shù)微分學(xué)中也起著重要作用． 定理1 設(shè)函數(shù)), 其中,．如果函數(shù),都在x點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可微，則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且 ． (9-3-1) 證 設(shè)自變量x的改變量為Δx，中間變量和的相應(yīng)的改變量分別為Δu和Δv，函數(shù)z的改變量為Δz．因在處可微，由可微的定義有 ， 其中,，且，故有 ． 因?yàn)楹驮邳c(diǎn)x可導(dǎo)，故當(dāng)時(shí)，Δu→0，Δv→0，ρ→0，→，→． 在上式中令Δx→0，兩邊取極限，得 ． 注意，當(dāng)Δx→0時(shí)，→0． 這是由于 ， 這

29、說明Δx→0時(shí)，是有界量，為無窮小量．從而→0（Δx→0）． 用同樣的方法，可以得到中間變量多于兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．比如,而,,，則 ． （9-3-2） 例1 設(shè)，,求 解 利用公式(9-3-1)求導(dǎo)， 因?yàn)? ， ,　， 所以 ． 本題也可將,代入函數(shù)中，再用一元函數(shù)的取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，求得同樣的結(jié)果． 觀察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函數(shù)z有2個(gè)中間變量，則公式右端是2項(xiàng)之和，若z有3個(gè)中間變量，則公式右端

30、是3項(xiàng)之和，一般地，若z有幾個(gè)中間變量，則公式右端是幾項(xiàng)之和，且每一項(xiàng)都是兩個(gè)導(dǎo)數(shù)之積，即z對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)再乘上該中間變量對(duì)x的導(dǎo)數(shù)． 公式(9-3-1),(9-3-2)可借助復(fù)合關(guān)系圖來理解和記憶． 圖9—6 公式(9-3-1) ，(9-3-2)稱為多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t． 上述定理還可推廣到中間變量依賴兩個(gè)自變量x和y的情形．關(guān)于這種復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)問題，有如下定理： 定理2 設(shè)在(u,v)處可微，函數(shù)及在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有如下的鏈?zhǔn)椒▌t 

31、（9-3-3） 可以這樣來理解（9-3-3）：求時(shí)，將y看做常量，那么中間變量u和v是x的一元函數(shù)，應(yīng)用定理1即可得．但考慮到復(fù)合函數(shù)以及與都是x, y的二元函數(shù)，所以應(yīng)把（9-3-1）中的全導(dǎo)數(shù)符號(hào)“”改為偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)“”． 公式（9-3-3）也可以推廣到中間變量多于兩個(gè)的情形．例如，設(shè),,的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)可微，則復(fù)合函數(shù) 對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有如下鏈?zhǔn)椒▌t  （9-3-4） 特別對(duì)于下述情形：可微，而的偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù) 對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，為了求出這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將f中的

32、變量看做中間變量： ． 此時(shí)， ． 由公式（9-3-4）得  （9-3-5） 注 這里與的意義是不同的．是把中的u與y都看做常量對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，而卻是把二元復(fù)合函數(shù)中y看做常量對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)． 公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助圖9—7理解． 圖9—7 例2 設(shè), 求． 解 ， ． 例3 設(shè)可微，求對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)． 解 引入中間變量,,由(9-3-3)得 ，

33、 ． 注 記號(hào)與分別表示對(duì)第一個(gè)變量與第二個(gè)變量在(）處的偏導(dǎo)數(shù)，可簡寫為與，后面還會(huì)用到這種表示方法． 例4 設(shè)，  ， ． 下面給出經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常遇到的齊次函數(shù)的概念． 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，且當(dāng)時(shí)，對(duì)任給的t∈R，t＞0，仍有．如果存在非負(fù)常數(shù)k，使對(duì)任意的，恒有 ， 則稱二元函數(shù)為k次齊次函數(shù)．k=1時(shí)，稱為線性齊次函數(shù)． 例5 證明k次齊次函數(shù)滿足 ． 證明 在中，令，當(dāng)取定一點(diǎn)時(shí)是t的一元函數(shù)，于是有 ． 又因?yàn)椋杂? ． 因此，對(duì)任意的t，有 . 3.1.2 全微分形式不變性 我們知道一元函數(shù)的一階微分形式具有不變性，多元

34、函數(shù)的全微分形式也具有不變性．下面以二元函數(shù)為例來說明． 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 ． 如果u,v是中間變量，即,，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為 ． 可見，無論z是自變量u,v的函數(shù)還是中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式都是一樣的，這種性質(zhì)叫做多元函數(shù)的全微分形式的不變性． 例6 利用一階全微分形式的不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分． 解 引入中間變量，則． ． 因此 ，． 3.2 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們?cè)榻B了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，再解出y′． 現(xiàn)在

35、我們介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式． 3.2.1 一個(gè)方程的情形 定理3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且,，則方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)惟一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 ． (9-3-6) 公式(9-3-6)就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式． 這里僅對(duì)公式(9-3-6)進(jìn)行推導(dǎo)． 將函數(shù)代入方程得恒等式 ． 其左端可以看作是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，上式兩端對(duì)x求導(dǎo)，得 ． 由于連續(xù)，且，所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)

36、鄰域內(nèi)，所以有 ． 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把(9-3-6)的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，得到 例7 驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時(shí)，并求這個(gè)函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在的值． 解 設(shè)，則.由此，由定理3可知，方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)且時(shí). 所以 ，； 例8 設(shè), 求． 解法一 令，則 由公式(9-3-6)得 解法二 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得 解得 注 在第一種方法中x與y都視為

37、自變量，而在第二種方法中要將y視為x的函數(shù)y(x)． 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)，下面介紹三元方程確定二元隱函數(shù)的定理． 定理4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能惟一確定一個(gè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 ． (9-3-7) 這里僅對(duì)公式(9-3-7)進(jìn)行推導(dǎo)． 將函數(shù)代入方程得恒等式 ． 其左端可以看作是x和y的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，上式兩端對(duì)x和y求導(dǎo)，得 ． 由于連續(xù)，且，所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，所以有 ．

38、例9 設(shè)求 解 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，得 ． 所以 3.2.2 方程組情形 方程組 （9-3-8） 中有四個(gè)變量，一般其中只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化，因此方程組（9-3-8）就可以確定兩個(gè)二元函數(shù)．下面給出方程（9-3-8）能確定兩個(gè)二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)的條件以及求u,v的偏導(dǎo)數(shù)公式． 定理5 設(shè)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，且偏導(dǎo)數(shù)組成的函數(shù)行列式（稱為雅可比( Jacobi )式）  在點(diǎn)不等于零，則方程組（

39、9-3-8）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)惟一確定連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，，它們滿足，且有 ， ， ， (9-3-9) 定理5我們不證，關(guān)于公式(9-3-9)作如下推導(dǎo)： 由于 上述等式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得 由假設(shè)可知在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式 ， 解上述二元線性方程組得 ， ． 同理可得公式(9-3-9) 的另外兩個(gè)式子． 例10 設(shè),求． 解 方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，注意u,v是x,y的二元函數(shù)，得 將看成未知量，解上述方程組，在系數(shù)行列式時(shí)，方程組有唯一解 ． . 類似的，在系數(shù)行列

40、式的條件下，可求得 ． 一般求方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))，通常不用公式法，而是對(duì)各方程的兩邊關(guān)于自變量求導(dǎo)(或求偏導(dǎo))，得到所求導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))的方程組，再解出所求量． 例11 設(shè)函數(shù),方程確定u是x, y的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求證：． 解 隱函數(shù)看成由方程組 所確定．當(dāng)然同時(shí)還確定了另一函數(shù)．對(duì)方程組的兩個(gè)方程關(guān)于x求偏導(dǎo)，得  解得 ． 類似地可求得 ． 故 習(xí)題9—3 1．求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)： (

41、1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，，求; (3) 設(shè)，求; (4) 設(shè)，求; (5) 設(shè)，求; (6) 設(shè)，求. 2．設(shè)，其中為可微函數(shù)，驗(yàn)證： ． 3．設(shè)，其中為可微函數(shù)，證明： ． 4．設(shè)，求． 5．設(shè)，求和． 6．求下列函數(shù)的(其中f 具有二階偏導(dǎo)數(shù))： (1) ； (2); (3)． 7．設(shè)，證明： . 8．求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3) 設(shè)，求； (4) 設(shè)，求. 9．設(shè)，求. 10．設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和分別由方程和確定，求． 11．設(shè)證明． 12．設(shè)都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的

42、函數(shù)，證明． 13．求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)： (1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3) 設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求. 14．設(shè)函數(shù)由方程組 所確定，求 第4節(jié) 方向?qū)?shù)和梯度 4.1 方向?qū)?shù) 利用二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)沿平行于坐標(biāo)軸方向的變化率問題．在許多實(shí)際問題中，還需要考慮函數(shù)沿其他方向的變化率．如要預(yù)報(bào)某地的風(fēng)速(風(fēng)力與風(fēng)向)，就必須知道氣壓在該處沿某些方向的變化率

43、．因此，有必要引進(jìn)多元函數(shù)在某點(diǎn)沿一給定方向的方向?qū)?shù)的概念． 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，為自點(diǎn)引出的射線，從x軸的正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到射線l的轉(zhuǎn)角為，為l上的另一點(diǎn)，記 (圖9—8)．如果極限 存在，則稱該極限值為函數(shù)在處沿方向l的方向?qū)?shù)，記作或，即 ． （9-4-1） 圖9—8 定義中的極限表達(dá)式還可表示成另一形式．設(shè)l的方向向量為e，則l的參數(shù)方程為 ?。? 所以，從而(9-4-1)式可表示為 ． （9-4-2） 關(guān)于方向?qū)?shù)存在的條件及計(jì)算方法，

44、有如下的定理． 定理1 如果函數(shù)在點(diǎn)處可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)處沿任何方向l的方向?qū)?shù)都存在，且 =． （9-4-3） 證 由于函數(shù)在點(diǎn)處可微分，因此函數(shù)的增量為 ， ． 因?yàn)? ， 所以 從而得到 ． 這表明了方向?qū)?shù)是存在的，且有 ． 例1 求函數(shù)在點(diǎn)處從點(diǎn)到的方向的方向?qū)?shù)． 解 這里射線l的方向就是向量的方向，將單位化得： ＝， 得 ， ，

45、 ． 由偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可知函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以 ． 公式9-4-3)還有另外的形式： 設(shè)與l同向的單位向量為，其中α，β分別為l與x軸正向和y軸正向所成夾角(方向角)．則當(dāng)滿足定理1的條件時(shí)，有  ． （9-4-4） 同樣可以證明：如果函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)為 ． （9-4-5） 例2 求函數(shù)在點(diǎn)沿l的方向的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向

46、角分別為． 解 與l同方向的單位向量為： 所以有 ． 函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以 ． 4.2 梯度 函數(shù)在某點(diǎn)沿方向l的方向?qū)?shù)刻畫了函數(shù)沿方向l的變化情況，那么函數(shù)在某點(diǎn)究竟沿哪一個(gè)方向增加最快呢?為此將函數(shù)在處的方向?qū)?shù)的公式改寫為 ， 這里el＝(cosφ，sinφ)和為兩個(gè)向量，且el＝(cosφ，sinφ)為與方向l一致的單位向量，于是有 ． 可見，g與el的方向一致(亦即g與l的方向一致)時(shí)，達(dá)到最大，即函數(shù)變化最快，的最大值為，即 ． 于是給出梯度的定義． 定義2 設(shè)在點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)和,則稱向量為函數(shù)在點(diǎn)P處的梯度，記作（

47、或)，即 ． 梯度的長度(或模)為 ＝． 故函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l的方向?qū)?shù)可寫為 ． 梯度方向就是函數(shù)值增加最快的方向，或者說函數(shù)變化率最大的方向，也就是說函數(shù)在P點(diǎn)處的所有方向?qū)?shù)(若存在)中，沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，并且等于梯度的長度；沿梯度反方向的方向?qū)?shù)最小且為 例3 設(shè)，求在點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)的最大值和取得最大值的方向． 解 因?yàn)?，? 所以 ＝． 由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大方向?qū)?shù)為梯度的長度，而 ， ︱graDf︱＝． 因此在處方向?qū)?shù)的最大值為，取得最大值的方向?yàn)椋? 例4 設(shè)，，求及． 解

48、因?yàn)? ， 所以有 ． 習(xí)題9—4 1．求在點(diǎn)(1，2)處沿該點(diǎn)到點(diǎn)(2，2+)的方向的方向?qū)?shù)． 2．求在點(diǎn)(1，1，1)處沿該點(diǎn)到點(diǎn)(2，2，2)的方向的方向?qū)?shù)． 3．求在點(diǎn)(1，1，2)處沿方向l的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向角分別為． 4．求函數(shù)在點(diǎn)A(0，0，0)和點(diǎn)處的梯度以及它們的模． 5．求函數(shù)在點(diǎn)處沿與Ox軸的正方向所成角為α的方向l上的方向?qū)?shù)．問在什么情況下，此方向?qū)?shù)取得最大值？最小值？等于零？ 6．求函數(shù)在點(diǎn)處變化最快的方向,并求這個(gè)方向的方向?qū)?shù)． 第5節(jié) 多元函數(shù)的應(yīng)用 5.1 多元函

49、數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 5.1.1 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 ： 這里假定在上可導(dǎo). 現(xiàn)在要求曲線上一點(diǎn)處的切線和法平面. 這里，，. 在曲線上點(diǎn)的附近取一點(diǎn). 作曲線的割線，其方程為 ， 其中.以除上式各分母，得 ， 當(dāng)點(diǎn)M沿著趨于點(diǎn)M0時(shí)割線的極限就是曲線在點(diǎn)M0處的切線. 所以當(dāng)Dt?0，即M?M0時(shí), 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為 . 曲線的切向量: 切線的方向向量稱為曲線的切向量. 向量T 就是曲線在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量. 法平面: 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M0 處的法平面，其法平面方程為

50、 . 例1 求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程. 解 因?yàn)?，而點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù).所以切線的方向向量為 . 于是, 切線方程為 , 法平面方程為 即. 若曲線的方程為 ： 則曲線方程可看作參數(shù)方程: 若都在處可導(dǎo)，由上面的討論知，切向量為T .因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ， 在點(diǎn)處的法平面方程為 . 若曲線的方程為 是曲線上的一個(gè)點(diǎn). 設(shè)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 這時(shí)方程組 在點(diǎn)的附近能確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)組 使得 在方程組

51、 的兩邊分別對(duì)取導(dǎo)數(shù)，得到 故可解得 所以，得到曲線在點(diǎn)處的切線方程為 曲線在點(diǎn)處的法平面方程為 同理可推出：當(dāng)和時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程. 例2 求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程. 解 為求切向量，將所給方程的兩邊對(duì)x 求導(dǎo)數(shù).得 , 解方程組得，. . 所求切線方程為 , 法平面方程為 即 . 5.1.2 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面的方程為 是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零. 在曲面上，過點(diǎn)任意引一條曲線,假定曲

52、線的參數(shù)方程式為 , 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)且不全為零. 曲線在點(diǎn)的切向量為 T . 曲面方程兩端在的全導(dǎo)數(shù)為： . 引入向量 n= 易見T與n是垂直的.因?yàn)榍€是曲面上通過點(diǎn)的任意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)的切線都與同一向量n垂直，所以曲面上通過點(diǎn)的一切曲線在點(diǎn)的切線都在同一個(gè)平面上. 這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面. 切平面的方程式是 . 曲面的法線: 通過點(diǎn)且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線. 法線方程為 . 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量 n = 就是曲面在點(diǎn)處的一個(gè)法向量. 例3 求球面

53、在點(diǎn)處的切平面及法線方程式. 解 , . 法向量為n = 或n =. 所求切平面方程為 即. 法線方程為 . 討論: 若曲面方程為，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式. 提示: 此時(shí). n = . 例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程. 解 n=, n. 所以在點(diǎn)處的切平面方程為 ，即. 法線方程為 . 5.2 多元函數(shù)的極值及其求法 5.2.1 多元函數(shù)的極值與最值 類似一

54、元函數(shù)的極值概念，我們有多元函數(shù)極值的概念． 定義1 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?為的內(nèi)點(diǎn). 若存在的某個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，都有 ， 則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，都有 ， 則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)． 例如：函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；而函數(shù)在點(diǎn)處既不取得極大值也不取得極小值．這是因?yàn)?，而在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，既可取正值(Ⅰ、Ⅲ象限)，也可取負(fù)值(Ⅱ、Ⅳ象限)． 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值的概念，可推廣到元函數(shù). 設(shè)元函數(shù)的定義域?yàn)椋?為

55、的內(nèi)點(diǎn). 若存在的某個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，都有 （或）， 則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值). 由一元函數(shù)取極值的必要條件，我們可以得到類似的二元函數(shù)取極值的必要條件． 定理1(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，若是的極值點(diǎn)，則有 ． 證 若是的極值點(diǎn)，則固定變量，所得的一元函數(shù)在處取得相同的極值．由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得，即 ． 同樣可證 ． 使得兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)．定理1表明，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)．如，是它的駐點(diǎn)，但不是它的極值點(diǎn)．

56、 函數(shù)也有可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得極值．如在處取得極大值，但該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在． 怎樣判斷一個(gè)駐點(diǎn)究竟是否為極值點(diǎn)？下面給出一個(gè)判定定理． 定理2 (極值存在的充分條件) 設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記 ， 則有 (1) 如果，則為的極值點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)，為極小值；當(dāng)時(shí)，為極大值． (2) 如果，則不是的極值點(diǎn)． (3) 如果，則不能確定點(diǎn)是否為的極值點(diǎn)． 例5 求的極值． 解 由方程組 得駐點(diǎn)． 又 , ，， 在點(diǎn)處，，又，所以函數(shù)取得極小值； 在點(diǎn)處，，函數(shù)在該點(diǎn)不取得極值；

57、 在點(diǎn)處，，該點(diǎn)不是極值點(diǎn)； 在點(diǎn)處，，又，所以函數(shù)取得極大值． 與一元函數(shù)類似，我們也可提出如何求多元函數(shù)的最大值和最小值問題．如果在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上必有最大(小)值，最大(小)值點(diǎn)可以在D的內(nèi)部，也可以在閉區(qū)域D的邊界上．如果在D的內(nèi)部取得最大(小)值，那么這最大(小)值也是函數(shù)的極大(小)值，在這種情況下，最大(小)值點(diǎn)一定是極大(小)值點(diǎn)之一．因此，要求函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的最大(小)值時(shí)，需將函數(shù)的所有極大(小)值與邊界上的最大(小)值比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．這種處理方法遇到的麻煩是求區(qū)域邊界上的最大(小)值往往相當(dāng)復(fù)雜． 例6 求二元

58、函數(shù)在由直線，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值． 解 由 得，和，其中點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部． 又 ． 利用定理2：，因此點(diǎn)是的極大值點(diǎn)，為極大值． 再考慮區(qū)域D的邊界上的函數(shù)值： 在邊界及上，． 在邊界上，將代入中，得． 記，令得或．已考慮，時(shí)，，這時(shí)． 比較以上各函數(shù)值：，，,可知在閉域D上的最大值為，最小值為． 在實(shí)際問題中，如果能根據(jù)實(shí)際情況斷定最大(小)值一定在D的內(nèi)部取得，并且函數(shù)在D的內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)的話，那么肯定這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是在D上的最大(小)值． 例7 某廠要用鋼板制造一個(gè)容積為的有蓋長方形水箱，問長、寬、高

59、各為多少時(shí)能使用料最省? 解 要使得用料最省，即要使得長方體的表面積最小，設(shè)水箱的長為x，寬為y，則高為，表面積 ． 由，得駐點(diǎn)(，）． 由題意知，表面積的最小值一定存在，且在開區(qū)域的內(nèi)部取得，故可斷定當(dāng)長為，寬為，高為=時(shí)，表面積最小，即用料最省的水箱是正方形水箱． 5.2.2 條件極值和拉格朗日乘數(shù)法 以上討論的極值問題，除了函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，沒有其他約束條件，這種極值稱為無條件極值．但在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件限制的極值問題，這類極值問題稱為條件極值問題． 例如：假設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為，該企業(yè)的利潤函數(shù)為 ．

60、 同時(shí)該企業(yè)要求兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量滿足的附加條件為 ． 怎樣求企業(yè)的最大利潤呢? 直接的做法就是消去約束條件，從中，求得，然后將代入利潤函數(shù)中得 ． 這樣問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題．按照一元函數(shù)的求極值方法，令得，再代入附加條件得．因此，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)5個(gè)單位的A產(chǎn)品和7個(gè)單位的B產(chǎn)品時(shí)，可獲利潤最大，最大利潤為 ． 但是很多情況下，要從附加條件中解出某個(gè)變量不易實(shí)現(xiàn)，這就迫使我們尋求一種求條件極值的直接方法，拉格朗日乘數(shù)法能夠解決這個(gè)問題． 我們來分析函數(shù) 在條件 下取得極值的必要條件． 如果函數(shù)在處取得極值，則有

61、． 假定在的某一鄰域內(nèi)函數(shù)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且. 由隱函數(shù)存在定理可知，方程確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),將其代入，得 ． 函數(shù)在取得的極值，相當(dāng)于函數(shù)在點(diǎn)取得的極值．由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件可知 ． 而由隱函數(shù)的求導(dǎo)公式有 ， 把它代入上式得 ． 這個(gè)式子與就構(gòu)成了函數(shù)在條件下在點(diǎn)處取得極值的必要條件． 設(shè)，上述必要條件就變?yōu)? 引進(jìn)輔助函數(shù) 則方程組前兩式就是 . 函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)，參數(shù)稱為拉格朗日乘子． 拉格朗日乘數(shù)法：欲求函數(shù)滿足條件的極值，可按如下步驟進(jìn)行： (1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 其中為待定參數(shù). (2) 解方

62、程組 得及值，則就是所求的可能的極值點(diǎn)． (3) 判斷所求得的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)． 這里我們?cè)儆美窭嗜粘藬?shù)法來解答一下前面的例子． 先構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ． 解方程組 得． 即當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)5個(gè)單位A產(chǎn)品，7個(gè)單位B產(chǎn)品時(shí)利潤最大，最大利潤為868． 拉格朗日乘數(shù)法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形. 例如，要求函數(shù) 在附加條件 ， 下的極值，可以先做拉格朗日函數(shù) 其中均為參數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，與附加條件聯(lián)立方程組，就能得到可能的極值點(diǎn)． 例8 求函數(shù)在附加條件 下的極值. 解 作拉格朗日函數(shù) .

63、 則有 注意到以上三個(gè)方程的左端的第一項(xiàng)都是三個(gè)變量中某兩個(gè)變量的乘積，將各方程兩端同乘以相應(yīng)缺少的那個(gè)變量，使各方程左端的第一項(xiàng)都成為，然后將三個(gè)方程的左右兩端相加，得到 所以 . 則得到解為.由此得到點(diǎn)是函數(shù)的唯一可能的極值點(diǎn).應(yīng)用二元函數(shù)極值的充分條件可知，點(diǎn)是極小值點(diǎn).因此，函數(shù)在附加條件下在點(diǎn)處取得極小值 例9 假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場的需求函數(shù)分別是 ， 其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的價(jià)格(單位：萬元/噸)，和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售量(即需求量，單位：噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是 ， 其中Q表示該

64、產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售總量，即． (1)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企 業(yè)獲得最大利潤； (2)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無差別策略，試確定兩個(gè)市場上該產(chǎn)品銷售量及其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤大?。? 解 (1)依題意，總利潤函數(shù)為 ． 由  得，則（萬元/噸)，（萬元／噸)．因只有惟一的駐點(diǎn)，且所討論的問題的最大值一定存在，故最大值必在駐點(diǎn)處取得．最大利潤為 （萬元）． (2) 若價(jià)格無差別，則，于是，問題化為求函數(shù)在約束條件下的極值． 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ． 由  得，則． 最大利潤為（

65、萬元）． 由(1)，(2)兩個(gè)結(jié)果可知，企業(yè)實(shí)行差別定價(jià)所得總利潤要大于統(tǒng)一定價(jià)的總利潤． 5.3 多元函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們通過導(dǎo)數(shù)研究了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念，如邊際成本，邊際收益、邊際利潤等．多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，無非是對(duì)某一個(gè)自變量求導(dǎo)數(shù)，而將其他的自變量視作常量，它也反映了某一經(jīng)濟(jì)變量隨另一經(jīng)濟(jì)變量的變化率，因此在經(jīng)濟(jì)學(xué)中同樣也叫“邊際”函數(shù)． 5.3.1 邊際函數(shù) (1) 邊際需求 假設(shè)對(duì)某一商品的市場需求受到商品的價(jià)格P與企業(yè)的廣告投入A這兩個(gè)因素的影響，其需求函數(shù)為 ． 企業(yè)在決策時(shí)要研究商品價(jià)格的變化和企業(yè)廣告投入的變化會(huì)對(duì)商品的需

66、求產(chǎn)生怎樣的影響．為了解決這問題，一般的做法是假定其他變量不變，考慮一個(gè)變量變化時(shí)函數(shù)所受到的影響，這就要研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)． 價(jià)格變化對(duì)需求的邊際影響為 ; 廣告投入變化對(duì)需求的邊際影響為 ． 和分別稱為價(jià)格的邊際需求和廣告投入的邊際需求． (2) 邊際成本 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x , y,總成本函數(shù)為 ， 則甲產(chǎn)品的邊際成本為 ， 乙產(chǎn)品的邊際成本為 ． 5.3.2 偏彈性 與一元函數(shù)一樣，還可以定義多元函數(shù)的彈性概念，多元函數(shù)的各種彈性稱為偏彈性． (1) 需求的價(jià)格偏彈性 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，商品的需求量Q受商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入以及相關(guān)商品的價(jià)格等因素的影響．假設(shè) ． 若消費(fèi)者收入及相關(guān)商品的價(jià)格不變時(shí)，商品需求量Q將隨價(jià)格的變化而變化．當(dāng)存在時(shí)，則可定義需求的價(jià)格偏彈性為 ， 其中 ． (2) 需求的交叉價(jià)格偏彈性 需求的交叉價(jià)格偏彈性表示一種商品的需求量的變化相對(duì)另一種商品的價(jià)格變化的反應(yīng)程度，在需求函數(shù) 中，需求的交叉價(jià)格偏彈性定義為 ， 其中