山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級數(shù)學下冊 第2章 二次函數(shù) 2.5 二次函數(shù)與一元二次方程同步練習 （新版）北師大版.doc

2.5二次函數(shù)與一元二次方程 一、夯實基礎(chǔ) 1．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸分別交于(－1,0)、(5,0)兩點，當自變量x＝1時，函數(shù)值為y1；當x＝3時，函數(shù)值為y2，則下列結(jié)論正確的是 (　　)． A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定 2．已知函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范圍是(　　)． A．－1≤x≤3 B．－3≤x≤1 C．x≥－3 D．x≤－1或x≥3 3．關(guān)于x的一元二次方程x2－x－n＝0沒有實數(shù)根，則拋物線y＝x2－x－n的頂點在(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知函數(shù)y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的圖象如下圖所示，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象可能正確的是(　　)． 二、能力提升 5．已知二次函數(shù)y＝＋bx＋c，且不等式＋bx＋c＞0的解集是－5＜x＜－1，則b－2c＝________. 6．下圖為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，給出下列說法： ①ab＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根為x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④當x＞1時，y隨x值的增大而增大；⑤當y＞0時，－1＜x＜3. 其中，正確的說法有________．(請寫出所有正確說法的序號) 三、課外拓展 7．已知拋物線y＝＋x＋c與x軸沒有交點． (1)求c的取值范圍； (2)試確定直線y＝cx＋1經(jīng)過的象限，并說明理由． 8．閱讀材料，解答問題． 例：用圖象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0. 解：設(shè)y＝x2－2x－3，則y是x的二次函數(shù)． ∵a＝1＞0， ∴拋物線開口向上． 又∵當y＝0時，x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. ∴由此得拋物線y＝x2－2x－3的大致圖象如圖所示． 觀察函數(shù)圖象可知：當x＜－1或x＞3時，y＞0. ∴x2－2x－3＞0的解集是x＜－1或x＞3. (1)觀察圖象，直接寫出一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集是________； (2)仿照上例，用圖象法解一元二次不等式x2－1＞0. 9．已知二次函數(shù)y＝x2＋ax＋a－2. (1)求證：不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點； (2)設(shè)a＜0，當此函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數(shù)的解析式． 四、中考鏈接 1．（xx黑龍江大慶）直線y=kx+b與拋物線y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，當OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點，該定點坐標為　 ?。? 2. （xx四川廣安3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正確的個數(shù)有（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 4. （xx四川達州3分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正確結(jié)論的選項是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 答案 1.解析：拋物線的對稱軸x＝＝2，而x＝1,3到對稱軸的距離相等，即其函數(shù)值y1＝y(tǒng)2. 答案：B 2. 答案：D 3. 解析：由一元二次方程x2－x－n＝0沒有實數(shù)根，故Δ＝b2－4ac＝1＋4n＜0，n＜. 又a＝1，b＝－1，c＝－n， ∴， ∴拋物線y＝x2－x－n的頂點在第一象限． 答案：A 4. 解析：根據(jù)圖象可得出方程(x－a)(x－b)＝0的兩個實數(shù)根為a、b，且一個為1，一個小于－1，又a＞b，則a＝1，b＜－1.根據(jù)一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象的性質(zhì)即可得出答案D． 答案：D 5. 解析：由題可知，拋物線y＝＋bx＋c交x軸于兩點(－5,0)、(－1,0)， ∴解得 ∴b－2c＝－3－2＝2. 答案：2 6. 解析：由圖象知a＞0，b＜0，故①正確； 方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標，故②正確； 由圖象知對稱軸為x＝1，所以當x＝1時，顯然y＝a＋b＋c＜0，所以③錯誤； 根據(jù)圖象的對稱軸為x＝1，所以④正確； y＞0在圖象上指的是x軸上方的部分，即此時x＜－1或x＞3，故⑤錯誤． 答案：①②④ 7. 解：(1)∵拋物線與x軸沒有交點，即方程＋x＋c＝0沒有實數(shù)根， 即Δ＜0,1－2c＜0.解得c＞. (2)∵c＞， ∴y＝cx＋1隨x的增大而增大． 又1＞0，∴直線y＝cx＋1經(jīng)過第一、二、三象限． 8. 解：(1)－1＜x＜3 (2)設(shè)y＝x2－1，則y是x的二次函數(shù)． ∵a＝1＞0， ∴拋物線開口向上． 又∵當y＝0時，x2－1＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. ∴由此得拋物線y＝x2－1的大致圖象如圖所示． 觀察函數(shù)圖象可知：當x＜－1或x＞1時，y＞0. ∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1. 9. 解：(1)證明：因為Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，所以不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點． (2)設(shè)x1、x2是方程x2＋ax＋a－2＝0的兩個根，則x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2， 因兩交點的距離是， 所以|x1－x2|＝， 即(x1－x2)2＝13. 變形為(x1＋x2)2－4x1x2＝13. 所以(－a)2－4(a－2)＝13. 整理，得(a－5)(a＋1)＝0. 解方程，得a＝5或a＝－1. 又因為a＜0，所以a＝－1. 所以此二次函數(shù)的解析式為y＝x2－x－3. 中考鏈接： 1．解：∵直線y=kx+b與拋物線y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點， ∴kx+b=， 化簡，得 x2﹣4kx﹣4b=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b， 又∵OA⊥OB， ∴=， 解得，b=4， 即直線y=kx+4，故直線恒過頂點（0，4）， 故答案為：（0，4）． 2.解：如圖所示：圖象與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，故①錯誤； ∵圖象開口向上，∴a＞0， ∵對稱軸在y軸右側(cè)， ∴a，b異號， ∴b＜0， ∵圖象與y軸交于x軸下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正確； 當x=﹣1時，a﹣b+c＞0，故此選項錯誤； ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標縱坐標為：﹣2， ∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m＞﹣2， 故④正確． 故選：B． 3. 解：①∵函數(shù)開口方向向上， ∴a＞0； ∵對稱軸在原點左側(cè) ∴ab異號， ∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正確； ②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1， ∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0）， ∴當x=2時，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②錯誤； ③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0）， ∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵對稱軸為直線x=1 ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正確 ④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞； 故④正確 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正確； 故選：D．