2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc

專題能力訓(xùn)練16　橢圓、雙曲線、拋物線 一、能力突破訓(xùn)練 1.(2018全國(guó)Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為(　　) A. B. C.22 D.223 2.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. 3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為(　　) A.x24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y2=1 D.x2-y23=1 5.(2018全國(guó)Ⅱ,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60,則C的離心率為(　　) A.1-32 B.2-3 C.3-12 D.3-1 6.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OP=mOA+nOB(m,n∈R),且mn=,則該雙曲線的離心率為(　　) A.322 B.355 C.324 D. 7.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是　　　　　. 8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到l1與l2距離之和的最小值為　　　　　. 9.如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn). (1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo); (2)求△PAB的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn). 10. 如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成△MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設(shè)直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范圍. 11.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率. 二、思維提升訓(xùn)練 12.(2018全國(guó)Ⅲ,文10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為 (　　) A.2 B.2 C.322 D.22 13.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為(　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x23-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是　　　　　. 15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　　. 16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程; (2)設(shè)M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點(diǎn),求△MPQ面積的最大值. 17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓Ω:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),CACB的最大值是314. (1)求橢圓Ω的方程. (2)已知橢圓Ω的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓Ω于P,Q兩點(diǎn).在線段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.  專題能力訓(xùn)練16　橢圓、雙曲線、拋物線 一、能力突破訓(xùn)練 1.C　解析 因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22. 2.D　解析 由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故△APF的面積為3(2-1)=,故選D. 3.A　解析 由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據(jù)對(duì)稱性, 不妨令P-c,b2a, 設(shè)l:x=my-a, ∴M-c,a-cm,E0,am. ∴直線BM:y=-a-cm(a+c)(x-a). 又直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn), ∴(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c. ∴e=ca=13,故選A. 4.D　解析 ∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=x上, ∴c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D. 5.D　解析 不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=2a. ∵∠F2PF1=90,∠PF2F1=60, ∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a. ∴e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1. 6.C　解析 在y=x中令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca,在雙曲線x2a2-y2b2=1中令x=c得Pc,b2a. 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為c,b2a時(shí),由OP=mOA+nOB, 得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,則m+n=1,m-n=bc. 由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去), ∴bc=13, ∴c2-a2c2=19, ∴e=324. 同理,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為c,-b2a時(shí),e=324. 故該雙曲線的離心率為324. 7. 2　解析 由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2. 設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,如圖, 則在Rt△BMN中,MN=2, 故BN=BM2+MN2=322+22=52. 由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1, 而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2. 8.922　解析 在同一坐標(biāo)系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖. P是C上任意一點(diǎn),由拋物線的定義知,|PF|=d2, ∴d1+d2=d1+|PF|,顯然當(dāng)PF⊥l1, 即d1+d2=|FM|時(shí),距離之和取到最小值. ∵|FM|=922, ∴所求最小值為922. 9.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t), 由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0, 由于直線PA與拋物線相切,得k=t. 因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2). 設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱, 故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2. 因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2t1+t2,2t21+t2. (2)由(1)知|AP|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0. 點(diǎn)B到直線PA的距離是d=t21+t2. 設(shè)△PAB的面積為S(t), 所以S(t)=12|AP|d=t32. 10.解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線MA的斜率不存在; 當(dāng)x=1時(shí),直線MB的斜率不存在. 于是x≠1,且x≠-1. 此時(shí),MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1. 由題意,有yx+1yx-1=4. 整理,得4x2-y2-4=0. 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x≠1). (2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ① 對(duì)于方程①,其判別式Δ=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+48>0, 而當(dāng)1或-1為方程①的根時(shí),m的值為-1或1. 結(jié)合題設(shè)(m>0)可知,m>0,且m≠1. 設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR), 則xQ,xR為方程①的兩根, 因?yàn)閨PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|. 因?yàn)閤Q=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上, 所以|PR||PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.此時(shí)1+3m2>1,且1+3m2≠2, 所以1<1+221+3m2-1<3, 且1+221+3m2-1≠53, 所以1<|PR||PQ|=xRxQ<3,且|PR||PQ|=xRxQ≠53. 綜上所述,|PR||PQ|的取值范圍是1,53∪53,3. 11.解 (1)設(shè)F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,橢圓的方程為x24+y23=1. (2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3. 由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k. 設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡(jiǎn)得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64. 二、思維提升訓(xùn)練 12.D　解析 ∵雙曲線C的離心率為2, ∴e=ca=2,即c=2a,a=b. ∴其漸近線方程為y=x,則(4,0)到C的漸近線距離d=|4|2=22. 13.C　解析 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線的定義,得|MF|=x0+=5,則x0=5-. 因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0, 所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0)x-p2+(y-y0)y=0. 將x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0, 即y022-4y0+8=0,解得y0=4. 由y02=2px0,得16=2p5-p2, 解得p=2或p=8. 所以C的方程為y2=4x或y2=16x.故選C. 14.23　解析 該雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x=310=31010,兩條漸近線方程為y=33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四邊形F1PF2Q的面積S=2103010=23. 15.y=22x　解析 拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p. 所以y1+y2=p. 聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py, 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0. 所以y1+y2=2pb2a2=p, 所以b2a2=12. 所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x. 16.解 (1)由已知可得,點(diǎn)P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|, 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=25,2c=2. 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x25+y24=1. (2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為 y-t2=2t(x-t)?y=2tx-t2. 聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0, 有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2. 而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,點(diǎn)M到PQ的高為h=15+t21+4t2, 由S△MPQ=12|PQ|h代入化簡(jiǎn),得 S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510104=1305,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),S△MPQ可取最大值1305. 17.解 (1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則x2a+y2=1. 連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y), 可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y∈[-1,1]. 因?yàn)閍>1,所以當(dāng)y=42(1-a)≤-1,即1<a≤3時(shí), 取y=-1,得CACB有最大值-(a-1)+4+a+74=274,與條件矛盾; 當(dāng)y=42(1-a)>-1,即a>3時(shí),CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a), 由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314, 即a2-7a+10=0, 解得a=5或a=2(舍去). 綜上所述,橢圓Ω的方程是x25+y2=1. (2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減, 整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0, 從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0). 又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0), 將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得 -y0=-x05y0(2-x0), 因?yàn)橹本€l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y02>0,從而0<x0<2. 假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過(guò)點(diǎn)M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=5y0x0(x-x0),將點(diǎn)M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,從而m∈0,85.