高考數學 2.11 導數在研究函數中的應用課件.ppt

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第十一節(jié)導數在研究函數中的應用 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 函數的導數與單調性的關系 函數y f x 在某個區(qū)間內可導 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內是 單調遞增 單調遞減 常數函數 2 函數的極值與導數 函數的極小值與極小值點 若函數f x 在點x a處的函數值f a 比它在點x a附近其他點的函數值 且f a 0 而且在x a附近的左側 右側 則a點叫做函數的極小值點 f a 叫做函數的極小值 函數的極大值與極大值點 若函數f x 在點x b處的函數值f b 比它在點x b附近其他點的函數值 且f b 0 而且在x b附近的左側 右側 則b點叫做函數的極大值點 f b 叫做函數的極大值 都小 f x 0 f x 0 都大 f x 0 f x 0 3 函數的最值與導數 函數f x 在 a b 上有最值的條件 如果在區(qū)間 a b 上函數y f x 的圖象是一條 的曲線 那么它必有最大值和最小值 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步驟 求函數y f x 在 a b 內的 將函數y f x 的各極值與 比較 其中 的一個是最大值 的一個是最小值 連續(xù)不斷 極值 端點處的函數值f a f b 最大 最小 2 必備結論教材提煉記一記 1 可導函數f x 在 a b 上是增函數 則有 在 a b 上恒成立 2 可導函數f x 在 a b 上是減函數 則有 在 a b 上恒成立 f x 0 f x 0 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 利用導數判斷單調性的方法 利用導數求極值 最值的方法 2 數學思想 分類討論 數形結合 3 記憶口訣 導數應用比較廣 單調極值及最值 導數恒正單調增 導數恒負當然減 求出導數為零點 左增右減極大值 左減右增是極小 同增同減非極值 若是加上端點值 最大最小皆曉得 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 若函數f x 在區(qū)間 a b 上單調遞增 那么在區(qū)間 a b 上一定有f x 0 2 如果函數在某個區(qū)間內恒有f x 0 則函數f x 在此區(qū)間內沒有單調性 3 導數為零的點不一定是極值點 4 三次函數在R上必有極大值和極小值 解析 1 錯誤 函數f x 在區(qū)間 a b 上單調遞增 則f x 0 故f x 0是f x 在區(qū)間 a b 上單調遞增的充分不必要條件 2 正確 如果函數在某個區(qū)間內恒有f x 0 則f x 為常數函數 如f x 3 則f x 0 函數f x 不存在單調性 3 正確 導數為零的點不一定是極值點 如函數y x3在x 0處導數為零 但x 0不是函數y x3的極值點 4 錯誤 對于三次函數y ax3 bx2 cx d y 3ax2 2bx c 當 2b 2 12ac 0 即b2 3ac 0時 y 0無實數根 此時三次函數沒有極值 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 2P26T1 2 改編 函數f x ex 2x的單調遞增區(qū)間是 解析 f x ex 2 令f x 0 解得x ln2 則函數f x ex 2x的單調遞增區(qū)間為 ln2 答案 ln2 2 選修2 2P29T2 2 改編 函數f x x3 12x的極大值是 解析 由題意得f x 3x2 12 令f x 0 解得x 2或x 2 當x 2 時 f x 0 f x 單調遞增 當x 2 2 時 f x 0 f x 單調遞增 因此f x 的極大值為f 2 16 答案 16 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 新課標全國卷 若函數f x kx lnx在區(qū)間 1 上單調遞增 則k的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 解析 選D 因為f x 在 1 上遞增 所以f x 0恒成立 因為f x kx lnx 所以f x k 0 即k 因為x 1 所以 1 所以k 1 所以k 1 選D 2 2013 浙江高考 已知函數y f x 的圖象是下列四個圖象之一 且其導函數y f x 的圖象如圖所示 則該函數的圖象是 解析 選B 因為f x 0 x 1 1 所以f x 在 1 1 為增函數 又x 1 0 時 f x 為增函數 x 0 1 時 f x 為減函數 所以選B 3 2013 浙江高考 已知e為自然對數的底數 設函數f x ex 1 x 1 k k 1 2 則 A 當k 1時 f x 在x 1處取到極小值B 當k 1時 f x 在x 1處取到極大值C 當k 2時 f x 在x 1處取到極小值D 當k 2時 f x 在x 1處取到極大值 解題提示 當k 1 2時 分別驗證f 1 0是否成立 根據函數的單調性判斷是極大值點還是極小值點 解析 選C 當k 1時 f x ex x 1 ex 1 此時f 1 0 故排除A B 當k 2時 f x ex x 1 2 ex 1 2x 2 此時f 1 0 在x 1附近左側 f x 0 所以x 1是f x 的極小值點 考點1利用導數研究函數的單調性 典例1 1 2015 太原模擬 設f x 是定義在R上的奇函數 且f 2 0 當x 0時 有0的解集是 A 2 0 2 B 2 0 0 2 C 2 2 D 2 0 2 2 2014 湖南高考改編 已知常數a 0 函數f x ln 1 ax 討論f x 在區(qū)間 0 上的單調性 解題提示 1 先判斷函數的單調性 奇偶性 求出 0的解集 再根據x2f x x3 的奇偶性 寫出解集 2 先求f x 分a 1與0 a 1兩種情況求解 規(guī)范解答 1 選D 當x 0時 0 即 0 令y 則函數y 在區(qū)間 0 上為減函數 又f x 在定義域上是奇函數 所以函數y 在定義域上是偶函數 且 0 則 0在區(qū)間 0 上的解集是 0 2 函數x2f x x3 是定義域上的奇函數 則x2f x 0的解集是 2 0 2 故選D 2 f x 當a 1時 f x 0 x 0 此時f x 在區(qū)間 0 上單調遞增 當00 故f x 在區(qū)間 0 x1 上單調遞減 在區(qū)間 x1 上單調遞增 綜上所述 當a 1時 f x 在區(qū)間 0 上單調遞增 當0 a 1時 f x 在區(qū)間 0 上單調遞減 在區(qū)間 上單調遞增 互動探究 若本例題 2 中條件改為a R f x alnx 討論f x 的單調性 解析 f x x 0 當a 0時 f x 恒大于0 f x 在定義域上單調遞增 當a 0時 f x f x 在定義域上單調遞增 當a0 x1 2對稱軸方程為 且x1 x2 1 0 所以f x 在 0 上單調遞減 上單調遞增 上單調遞減 綜上所述 a 0時 f x 在定義域上單調遞增 a 時 f x 在定義域上單調遞減 a 0時 f x 在 0 上單調遞減 上單調遞增 上單調遞減 規(guī)律方法 1 用導數求函數的單調區(qū)間的 三個方法 1 當不等式f x 0或f x 0或f x 0求出單調區(qū)間 2 當方程f x 0可解時 確定函數的定義域 解方程f x 0 求出實數根 把函數f x 的間斷點 即f x 的無定義點 的橫坐標和實根按從小到大的順序排列起來 把定義域分成若干個小區(qū)間 確定f x 在各個區(qū)間內的符號 從而確定單調區(qū)間 3 不等式f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解時求導數并化簡 根據f x 的結構特征 選擇相應基本初等函數 利用其圖象與性質確定f x 的符號 得單調區(qū)間 2 根據函數單調性求參數的一般思路 1 利用集合間的包含關系處理 y f x 在 a b 上單調 則區(qū)間 a b 是相應單調區(qū)間的子集 2 轉化為不等式的恒成立問題 即 若函數單調遞增 則f x 0 若函數單調遞減 則f x 0 來求解 提醒 f x 為增函數的充要條件是對任意的x a b 都有f x 0 且在 a b 內的任一非空子區(qū)間上f x 不恒為0 應注意此時式子中的等號不能省略 否則漏解 變式訓練 2014 江西高考改編 若函數f x x2 bx b b R 在區(qū)間 0 上單調遞增 則b的取值范圍為 解析 選A 因為f x f x 在區(qū)間 0 上單調遞增 所以f x 0對任意的x 0 恒成立 即5x2 3b 2 x 0對任意的x 0 恒成立 即5x 3b 2 0對任意的x 0 恒成立 即b 對任意的x 0 恒成立 令g x x 0 則g x g 所以b 加固訓練 1 在區(qū)間 1 1 內不是增函數的是 A y ex xB y sinxC y x3 6x2 9x 2D y x2 x 1 解析 選D A選項中y ex 1 x R時都有y 0 所以y ex x在R上為單調遞增函數 所以在 1 1 上是增函數 B選項中 1 1 而y sinx在 上為增函數 所以y sinx在 1 1 上是增函數 C選項y 3x2 12x 9 令y 3x2 12x 9 0得x 3或x0 得x 所以有y x2 x 1在 上為增函數 所以本題選D 2 2014 廣東高考 已知函數f x x3 x2 ax 1 a R 求函數f x 的單調區(qū)間 解析 因為f x x2 2x a 二次方程x2 2x a 0的判別式 4 4a 當a 1時 0 f x 0 此時 是函數f x 的單調遞增區(qū)間 當a0 f x 0有兩個實數根x 1 和x 1 此時 1 1 是函數f x 的單調遞增區(qū)間 1 1 是函數f x 的單調遞減區(qū)間 綜上 當a 1時 函數f x 只有單調遞增區(qū)間 當a 1時 函數f x 的單調遞增區(qū)間是 1 1 單調遞減區(qū)間是 1 1 3 2015 哈爾濱模擬 已知定義在R上的函數f x 2x3 bx2 cx b c R 函數F x f x 3x2是奇函數 函數f x 滿足f 1 0 1 求f x 的解析式 2 討論f x 在區(qū)間 3 3 上的單調性 解析 1 f x 6x2 2bx c F x f x 3x2是奇函數 得b 3 f 1 6 2b c 0 得c 12 所以f x 2x3 3x2 12x 2 令f x 6x2 6x 12 0 得x 2或 1 所以單調遞增區(qū)間為 1 2 單調遞減區(qū)間為 3 1 2 3 考點2利用導數研究函數的極值 最值 知 考情利用導數研究函數的極值 最值是高考考查熱點 幾乎每年都會考查 有時會和函數的單調性 不等式 導數的幾何意義等相結合命題 常常作為高考的壓軸題出現 難度為中 高檔 明 角度命題角度1 利用導數研究函數的極值 典例2 2014 天津高考改編 已知函數f x x2 ax3 a 0 x R 則f x 的極大值為 解題提示 根據求極值的步驟直接求解即可 規(guī)范解答 由已知 有f x 2x 2ax2 a 0 令f x 0 解得x 0或x 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 可知 當x 時 f x 有極大值 且極大值為f 答案 命題角度2 利用導數研究函數的最值 典例3 2014 江西高考 已知函數f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 當a 4時 求f x 的單調遞增區(qū)間 2 若f x 在區(qū)間 1 4 上的最小值為8 求a的值 解題提示 1 求導整理后 令導數大于零即可 2 求導整理后 注意討論臨界點與區(qū)間的位置關系 規(guī)范解答 1 f x 4x2 16x 16 定義域為 0 f x 令f x 0得0 x2 所以f x 的單調遞增區(qū)間為 0 2 2 f x 令f x 0得x 或x f x 在定義域上的單調性為 0 上單調遞增 上單調遞減 上單調遞增 從而需要討論 與1及4的大小 當 4或 1 即a 40或 2 a 0時 f x 在 1 4 上單調遞增 故f x 的最小值為f 1 4 4a a2 8 解得a 2 2 均需舍去 當 1且 4 即 10 a 8時 f x 在 1 4 上單調遞減 故f x 的最小值為f 4 2 64 16a a2 8 解得a 10或a 6 舍去 當1 4 即 8 a 2時 f x 的最小值為f 因為f 0 所以不成立 當1 4 即 40 a 10時 f x 在 1 上單調遞增 在 4 上單調遞減 f x 的最小值為f 1 與f 4 中的一個 根據上面的 得均不成立 綜上所述a 10 易錯警示 解答本題有三點容易出錯 1 在定義域上 對于f x 的單調遞增區(qū)間 0 中間容易用 符號連接 2 求最值時容易忽略對與區(qū)間 1 4 的討論 3 在每一步討論中 求得a值后 容易忽略對所求a值的驗證 悟 技法求函數f x 極值的方法 1 確定函數f x 的定義域 2 求導函數f x 3 求方程f x 0的根 4 檢查f x 在方程的根的左右兩側的符號 確定極值點 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得極小值 如果f x 在這個根的左右兩側符號不變 則f x 在這個根處沒有極值 通 一類1 2015 信陽模擬 已知a b為正實數 函數f x ax3 bx 2x在 0 1 上的最大值為4 則f x 在 1 0 上的最小值為 解析 選A 因為a b為正實數 函數f x ax3 bx 2x 所以導函數f x 3ax2 b 2xln2 因為a b為正實數 所以當0 x 1時 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 0 1 上是增函數 所以f 1 最大且為a b 2 4 a b 2 又當 1 x 0時 3ax2 0 2xln2 0 所以f x 0 即f x 在 1 0 上是增函數 所以f 1 最小且為 a b 將 代入 得f 1 2 故選A 2 2015 東北師大附中模擬 函數f x x3 3x m恰好有兩個零點 則m的值為 解析 因為f x x3 3x m 所以f x 3x2 3 由f x 0 得x 1或x 1 此時函數單調遞增 由f x 0 得 1 x 1 此時函數單調遞減 即當x 1時 函數f x 取得極大值 當x 1時 函數f x 取得極小值 要使函數f x x3 3x m只有兩個零點 則滿足極大值等于0或極小值等于0 由極大值f 1 1 3 m m 2 0 解得m 2 再由極小值f 1 1 3 m m 2 0 解得m 2 綜上 實數m的值為 2或2 答案 2或2 3 2014 貴陽模擬 已知函數f x x3 3ax2 2bx在x 1處有極小值 1 1 試求a b的值并求出f x 的單調區(qū)間 2 求在區(qū)間 2 2 上的最大值與最小值 解析 1 因為f x x3 3ax2 2bx 所以f x 3x2 6ax 2b 由已知得f 1 0 則3 6a 2b 0 因為當x 1時有極小值 1 所以f 1 1 3a 2b 1 由 得a b 把a b 代入f x 中 得f x x3 x2 x 所以f x 3x2 2x 1 令f x 0 則f x 3x 1 x 1 0 若f x 0 即在 1 上 函數f x 單調遞增 若f x 0 即在 1 上 函數f x 單調遞減 2 由 1 知f x x3 x2 x f x 3x2 2x 1 令f x 0 則f x 3x 1 x 1 0 解得x 或x 1 因為f 2 10 f f 1 1 f 2 2 所以f x 在區(qū)間 2 2 上的最大值為2 最小值為 10 加固訓練 已知函數f x x alnx a R 1 當a 2時 求曲線y f x 在點A 1 f 1 處的切線方程 2 求函數f x 的極值 解析 函數f x 的定義域為 0 f x 1 1 當a 2時 f x x 2lnx f x 1 x 0 因而f 1 1 f 1 1 所以曲線y f x 在點A 1 f 1 處的切線方程為y 1 x 1 即x y 2 0 2 由f x x 0知 當a 0時 f x 0 函數f x 為 0 上的增函數 函數f x 無極值 當a 0時 由f x 0 解得x a 又當x 0 a 時 f x 0 從而函數f x 在x a處取得極小值 且極小值為f a a alna 無極大值 綜上 當a 0時 函數f x 無極值 當a 0時 函數f x 在x a處取得極小值a alna 無極大值 規(guī)范解答2導數在研究函數中的應用 典例 12分 2013 山東高考 設函數f x 1 求f x 的單調區(qū)間 最大值 2 討論關于x的方程 lnx f x 根的個數 解題導思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標準體會規(guī)范 1 因為f x c 所以f x 1 2x e 2x 1分令 1 2x e 2x 0 解得x 當x0 f x 為單調增函數 當x 時 f x 0 f x 為單調減函數 2分 所以f x 的單調增區(qū)間為 單調減區(qū)間為 3分最大值為f e 1 c 4分 2 令g x lnx f x lnx xe 2x c x 0 5分 當x 1 時 lnx 0 則g x lnx xe 2x c 所以g x e 2x 2x 1 因為x 1 所以2x 1 0 0 于是g x 0 因此g x 在 1 上為單調遞增函數 6分 當x 0 1 時 lnx1 x 0 于是 1 又因為2x 1 1 所以 2x 1 0 即g x 0 因此g x 在 0 1 上為單調遞減函數 綜合 可知 當x 0 時 g x g 1 e 2 c 8分當g 1 e 2 c 0 即c e 2時 a 當x 1 時 由 1 知g x lnx xe 2x c lnx e 1 c lnx 1 c 要使g x 0 只需要lnx 1 c 0 即x e1 c 10分 b 當x 0 1 時 由 1 知g x lnx xe 2x c lnx e 1 c lnx 1 c 要使g x 0 只需要 lnx 1 c 0 即x 0 e 1 c 所以c e 2時 g x 有兩個零點 故關于x的方程 lnx f x 根的個數是2 11分綜上所述 當c e 2時 方程 lnx f x 根的個數為2 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1 注意答題的規(guī)范性在解題過程中 注意答題要求 嚴格按照題目及相關知識的要求答題 如本例中的求單調區(qū)間 要寫成區(qū)間的形式 另外還要注意 1 如果一個函數有多個單調區(qū)間 區(qū)間之間不能用 連接 可用 和 連接 2 注意 方程的根 與 函數的零點 求解時應還原為題目要求 2 關鍵步驟要全面閱卷時 主要看關鍵步驟 關鍵點 有關鍵步驟 關鍵點則得分 沒有要相應扣分 所以解題時要寫全關鍵步驟 踩點得分 對于純計算過程等非得分點的步驟可簡寫或不寫 如本題第 2 問對g x 求導數的計算過程 可以省略