高等數(shù)學(xué)II期中試卷

高等數(shù)學(xué)II期中試卷 1、 、選擇題(每小題3分，共計(jì) \ xy 函數(shù) f (x, y) = « 15分) 2 2 x +y #0 在(0, 0)點(diǎn) (A) .連續(xù)，偏導(dǎo)函數(shù)都存在; (B) .不連續(xù)，偏導(dǎo)函數(shù)都存在; 在。 (C).不連續(xù)，偏導(dǎo)函數(shù)都不存在; (D).連續(xù)，偏導(dǎo)函數(shù)都不存 2、 x2,0 < x < 1 )的值為 重積分 口 xydxdy (其中D : 0 E y E D ,、1 (A) . g； - 1 (B) .一； 12 … 1 (C) .-； r 1 (D) . - 0 4 3、設(shè)f為可微函數(shù), x — az = f (y — bz),貝 U a 烏 ；x bi= (A)? 1； (B). a； (C). b; (D ). a +b0 4、設(shè)D是以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓圍成的閉區(qū)域，則［J |xy d。 D R4 (A). 4 ; R4 (B).9; R4 (C). 2 ; (D). R4o 5、設(shè) f (x，y) ft D : 0 _ y _1 _ x，0 x 1 上連續(xù)，則二重積分 j j f( x, y)d。表小 D 成極坐標(biāo)系下的二次積分的形式為 二 1 02d1 °f(「 cos，, r sin - )rdr cos 二 sin 二 (B). f (r cos -,r sin -)rdr ■--T 1 -cos --I 0&. 0 f (r cos -, r sin - )rdr (D). 0d. 0 1 cos i sin 1 f (r cos，, r sin -)rdr 、填空題（每小題4分，共計(jì)24分） y 1、設(shè)z = (xy尸，則dz= , 在點(diǎn)P(1,2)處的梯度 g r azdp = 。 2、設(shè) f (x, y) = x+(y-1)arcsinj2 ,貝^ f x (x,1)=。 3、 D由曲線(x _1)2 +(y _1)2 =1所圍成的閉區(qū)域，則 !! （x y）dxdy = D o 4、函數(shù)u = xyz在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)（5,1,2）到點(diǎn)（9,4,14 ）所確定方向的方 向?qū)?shù)是。 y =1-2x 5、曲線, 1 5 2在點(diǎn)（1,T,-2）處的切線方程為 ,法平面 iz =  x 2 2 方程為。 6、改變積分次序 0 二 dy -1 / _2arcsin y 1 ,：■； arcsin y f(X，y)dX 0dy arcsiny f(X，Y)dX = 三、計(jì)算題（每小題7分，共計(jì)49分） 1 1 x. 1、求 Jdx「ysin dy。 o x y 2、求橢球面2x2+3y2 +z2=9的平行于平面2x — 3y + 2z + 1 = 0的切平面方程。 1 ：r 3、已知z=fK,"）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用線性變換 「=x+ay變換方程 x = x + by -2 - 2 - 2 - 2 胃+3=+詈=0。問：當(dāng)a,b取何值時(shí)，方程化為 :z =0。 2 2 x x y y 4、x2 + y2 +z2 = xf （—）, f 可微，求—。 x x ，…… 1 5、在經(jīng)過點(diǎn)P（ 2,1,3）的平面中，求一平面，使N與二坐標(biāo)面圍成的在第一卦 限中的立體的體積最小。 _ 1 7、設(shè)區(qū)域D : — M x+y 2 6、求二元函數(shù)z = x2+4y2 +9在區(qū)域x2 + y2 E 4的最大值、最小值。 E1,證明：JJln( x2 + y2)dxdy < 0。 D 四、每小題6分，共計(jì)12分 1、設(shè) xy y2 y2 二0 二0,用方向?qū)?shù)的定義證明：函數(shù)f(x,y)在 原點(diǎn)(0,0)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在。 2、設(shè) f (t)= x[1 - x2 y2 M2 f( x2 y2) ]dxdy , x>0,y>0，t^0 若 f(t)是連 t -0 續(xù)可微的函數(shù)，求f(t) 高等數(shù)學(xué)II (B卷) 單項(xiàng)選擇題(每小題分，共20分) 1 .母線平行于y 12x2 2 軸且通過曲線I x 2 y 2 z Z2 =16 _ y2 =0 的柱面方程為 3x2 2z2 =16 y = 0 _ 2 _ 2 - 3x 2z =16 3x2 2 x 2 2z2 =16 2 2 x2 +2y2 =16。 . 下 00 二(-1)n ln(1 n 1 n(n 1) B、 C、 n10 n7 n 1 QO 二(1 - cos n d 下述幕級(jí) A、 x (1 1 HI 1)x n3 2 n 二 1 %」xn R nW n ; C、 二 1 n -2 x n t n ； ,二 1 n ln(1 2)x D、nW n  zln(x y z )... 2 2 2 設(shè)c為x +y +z § ,則三重積分 2——2——2--dxdydz 了 x2 y2 z2 1 A、0 B、n C、 3 D 2n — 2 .2 2 _2 11 x3dydz y3dxdz z3dxdy 工 ) ~ 2? ? , -3 111 a dxdydz A、二、 -3 iiir2 r2sin drd id : G - 5 .設(shè)Z為球面x +V +z =a的內(nèi)側(cè)（a>0）,建為Z所圍空間閉域，則按高斯公 式曲面積分 可 表 小 ~ 2? ? , 3111a dxdydz B 、Q 3 iiir2 r2sin drd": D 、石 二、填空題（每小題4分，共20分） ； d d M d ， 6 .若向量x與a =2i - j +2k共線,且滿足a x = -18，則x = 7 .曲面ez -z+xy=3在點(diǎn)(2,1,0)處的法線方程為 . 2 2 2 8 .若函數(shù) f(x,y,z)=x +2y +3z +xy+3x-2-6z,則 gradf(1,1,1)= x ay dx ydy 2 9 .已知 （x + y） 為某函數(shù)的全微分，則a= xy2dy - x2 ydx 二 三、計(jì)算題（每小題 11.設(shè) ex*sin(x+z) =0 .其中L是圓a2 10分，共60分） ；z ；z -1 - 計(jì)算 x二y, 2 2 土 .工 = 1,(a 0) 的正向. / 、 2 2 2 12.設(shè) z = z(x,y) 是由 x -6xy+1 0 y- 2 yz z+1 8確0t 的函數(shù)，求 z = z(x, 丫地勺極值， 13.計(jì)算二重積分 1 1 2 0 dx xLdy I 二 （x2 y2）dxdydz _ ——2 14 .計(jì)算三重積分 建 .其中c由錐面z—ox y與平面Z = 1 ..(x2 y2)dS 所圍成的區(qū)域 15 .設(shè)工是錐面z = & +y2 ,(0 Wz^1),計(jì)算 口 16.計(jì)算工 yzdxdz 2dxdy = 4,(z20)的上側(cè). ，2 2 _2、 — 2 2 2 5+v +z ，其中工是球面x +v +z 高等數(shù)學(xué)II(A卷) 二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共16分) 2 2 3 2 C、(z +y)=25x . 1 .將zox坐標(biāo)面上曲線z3=5x繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 ) A、z3 =5jx2 +y2 ; B、? = -5Jx2 * y2 . 6 2 2 z = 25 x y 2 .有關(guān)二元函數(shù)f (x,y)的下面四條性質(zhì): (1) f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)可微分；(2)f式x,y0), fy(%。0)存在； (3) f (x，y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)； (4) fx(x, y), fy(x,y)在點(diǎn)(xo, yo)連續(xù). 若用"P" Q"表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是 ( ) A、(4)=(1)= (2)； b、⑴=(4)=(3)； c、(1)=(2)= (3)； d、 (2)= (1)= (3) 3 .設(shè)積分區(qū)域D ="x'y "x "廠"，則下式中正確的是 A、 1 x y (x y)dxdy = 4 xex dx 0 ； 1 1 B、 x2 2 lie (x y)dxdy = 0 D ..ex D 4. 2 2 ex .y D 1 (x 十 y)dxdy = 4Jxex dx (x y)dxdy =8 xex dx 0 . - 2 2 . 一 . 一 有向曲面工：z = x -y在第II卦限的右側(cè)、也是此曲面在第 II卦限的 ( ) A、前側(cè)； B、后側(cè)； C、左側(cè)； D、不能確定. 二、填空題(每小題4分，共20分) .■ .2 _ 1 u 二 4 4 2 2 一 -- 5 .設(shè)函數(shù)u=x +v -4xy ,則縱,吟 6 .曲面ez—z + xy =3在點(diǎn)(2，1，0)處的切平面方程為 2 2 7 .若函數(shù)z=2x+2y+3xy+ax + by + c在點(diǎn)(-2,3)處取得極值，貝(Ja= 點(diǎn) (一2,3)是此函數(shù)的極 (大、小)值點(diǎn). O0 x=" bn sin nx (0 三xM慝) 8 .設(shè) nl ，則 4 = 9. [(y —ex)dx (3x ey)dy = 2 2 x y 2 ~ - 1 .其中L是正向橢圓a b 三、計(jì)算題(每小題8分，共64分) f x = t ■ : y =t 3 .求(1)曲線「在點(diǎn)(1,1,1)處 10 .已知函數(shù) u=ln(x + Jy2+z2),曲線 lzW 切線方向的單位向量(沿t增加方向)； (2)函數(shù)u =ln(x + Jy2+z2)在點(diǎn)(1,0,0)處沿(1)所指方向的方向?qū)?shù). jz rz x -y , ? 11 .設(shè)方程e sin(x+z)=0確定隱函數(shù)z = z(x,y),計(jì)算 出列. 12 .計(jì)算二重積分 ji ji o6dy .: cosx , dx x 13 .計(jì)算三重積分 圍成的區(qū)域. I = zdxdydz 1 .其中。是由錐面z = Jx2 + y2與平面z=1所 r 2 , 2 , 2 jX +y +z 14 .設(shè)r是曲線〔X +y +z 2 二 a =0，計(jì)算 "x2 + y2)ds 3 . _ _ 2 . _ _ 2 .. 11 x dydz 2xz dzdx 3y dxdy 2 2 15 .計(jì)算Z ,三為拋物面z = 4-x -y位于平面z = 0 上方部分的下側(cè). 二二 1 % x 16 .已知幕級(jí)數(shù)n^n(n+1) 和函數(shù)； n 1 ，求(1)此級(jí)數(shù)的收斂域；(2)此級(jí)數(shù)收斂域內(nèi)的 17 .設(shè)f(u)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 2 2 2 ... .2 x +y +z <t 0 (3)級(jí)數(shù) n=1n(n+1)2n* 的值. lim 74- III f(\X2 y2 z2 )dxdydz 且T t夏 存在，其中: 計(jì)算(i) f⑼；⑵ lim : 111 f (. x2 y2 z2 )dxdydz tot]' 高數(shù)II試題 、選擇題(每題4分，共 xy 16分) 二0 (A)連續(xù)，且偏導(dǎo)函數(shù)都存在； (C)不連續(xù)，且偏導(dǎo)函數(shù)都不存在;  在(0, 0)點(diǎn). (B)不連續(xù)，但偏導(dǎo)函數(shù)都存在; (D)連續(xù)，且偏導(dǎo)函數(shù)都不存在。 :z 2. 設(shè)f為可微函數(shù), z= f(x + y+z, xyz),貝(j a fi yz f2 A ) fi xy f2 -1 1- f1 - xy f2 (B). f1'+yzf2' ；  f〔 yz f2 (c ). 1 - f1 - x y f2 ； f1 xzf2 (D). My。 3.設(shè) f(x,y5D：x2 + 2 y-2 <4 f (x, y) d- 上連續(xù)，則二重積分D 表示成 極坐標(biāo)系下的二次積分的形式為 (A). 2 二 2 f0 de f0 f(rcos0,rsin9)rdr . (B) 二 2 d^ f (r cos/r sin i)rdr ’0 ，0 、 ， ； (C). f (r cos -,r sin^)rdr (D). f (r cos -,r sin -)rdr oO '、anxn n與 的收斂半徑 '' an(X - 1)n 4.幕級(jí)數(shù)n衛(wèi) 在x = 3處條件收斂，則幕級(jí)數(shù) O (A), 3； (B). 4 ； (C). 1 ； (D), 5。 二、填空題(每題4分，共20分) 1 .設(shè)函數(shù)z=xy,則函數(shù)z = xy的全微分 j。 2 .函數(shù)u = x2+y2+z2在點(diǎn)8。，1,1)處沿OP0方向的方向?qū)?shù)為,其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。 3 .曲面2z+xy=3-ez在點(diǎn)(1,2, 0)處的切平面方程為 。 4,曲線積分I電L(x *y ds (其中L是圓周：x2+y2=9)的值為 o x, 0<x<1 貨 產(chǎn) f(x)=/ 工 bn sin nx 2- bn sin nx 5.設(shè) J WxWn的正弦級(jí)數(shù)展開式為n4 ，設(shè)nT 和函 數(shù)為s(x),則 s（7） = s（5二）= , . 三、計(jì)算題（每題7分，共21分） x 1,求方程y +3y +2y=3xe的通解。 1 x 4 、：反 2 .交換二次積分』0dxLJ（x，y）dyFdxLf（x，y）dy的積分順序。 Il z2ds .-2 2 3.計(jì)算曲面積分t ，其中工為錐面z = 4x *y（0-z-4）o .:z j2z 2 2 ， 四（9分）設(shè)函數(shù)z=f（xy ,xy）,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求ex改明。 B 4 a a」2 - 4」 五、（10分）確定a的值，使曲線積分1 =1a（x +4xy由+的y -5y叱與 路徑無關(guān)， 并求A，B分別為@0）,（1，2）時(shí)曲線積分的值。 I = f （x, y, z）dxdydz 六、（10分）化三重積分 Q 為柱面坐標(biāo)及球面坐標(biāo)系 .." 2 2 —2 2 下的三次積分，其中。是由z51—x —y和z、x y ，所圍成的閉區(qū)域。 ,2 ，2 ，2 11（y -z）dydz （z -x）dzdx （x。y）dxdy 七、（10分）求三 ，其中三為錐面 z = « +y2（0 wz wh）的外側(cè)。 八、（4分）設(shè)f （x）在點(diǎn)x =0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 證明級(jí)數(shù) 1 K1 nm n絕對(duì)收斂。 ..f（x）八 lim —= 0 且T x , 高等數(shù)學(xué)II （A卷）096 一、 單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分）. x * 1 .微分方程y +3y +2y=e ,其特解y設(shè)法正確的是 （ ）. * x * x * x *2t （A）y =Ae ；（B）y =Axe ； （C）y =（Ax + Be ；（D）y =Axe 2 .設(shè) 空 間 區(qū) 域 夏：x2+y2+z2wR2, z々0 . 。1： x2 十 y2 十 z2£R2, x 至 0, y±0, z 至 0, 則（） ill xdxdydz = 4 111 xdxdydz h i ydxdydz = 4 m ydxdydz (B) (A) h i zdxdydz = 4 m zdxdydz m xyzdxdydz = 4 m xyzdxdydz (C)盲 乳 ;(D) Q Q cd an . ~ (0, —) , 一 3 .設(shè)an >0(n= !」！ zdxdydz 2=2、 11.計(jì)算 Q ，建是由曲面—、4-3(x +y )及 ,2,……)，且nq 收斂， 2 ,則級(jí)數(shù) ' (-1)n(ntan —)a2n n」 n ( ). (A)條件收斂； (B)絕對(duì)收斂；(C)發(fā)散； (D)收斂性與九有關(guān)。 4,設(shè)二元函數(shù) f(x，y)滿足 fx'(0,0) = 1f y'(0,0) =2,則( (A) f(x，y)在點(diǎn)(0，0)連續(xù); (B) df(x,y) |(0,0)=dx + 2dy ; 二f l(0 0)cos2cos (C)日 ，其中cosc(，cosP為l的方向余弦； (D) f(x，y)在點(diǎn)(0，0)沿x軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為-1. 二、填空題(每小題4分，共16分). x f (x，y) = x (y -1)arcsin - 5 .設(shè)函數(shù) Vy,則 fx(x，1)=. 、,2 2 2 2 6 .曲面z = Vx y被柱面x +y =1所割下部分的面積為 2 S(x)=" bnsinn二 x (-二：：x ：’ 二 ) 7.設(shè) f(x) =x (OWX41),而 n「 ，其中 1 L . bn =2 f (x)sin n xdx n =1,2， '…，則 (2) S(9)=. J-1 (x-2)n -- 2 8.幕級(jí)數(shù)n^ n 的收斂域?yàn)?. 三、 解答下列各題(每小題7分，共28分). 9.設(shè)z=z(x，y)是由方程F(xy，z-2x)=0確定的隱函數(shù)，F(xiàn)(u，v)可微，計(jì)算 .z ;z x 一 - y 一 ex cy 在曲面z=xy上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的法線垂直于平面x + 3y + z+9=0. 1 f(x) = —2— z =x2 2 y所圍成的閉區(qū)域. 10.將函數(shù) x +3x+2展開為x的幕級(jí)數(shù). 四、解答下列各題（每小題10分，共30分） 12. （10分）設(shè)f（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f⑼=0『⑼=1 ,曲線積分 2 [xy（x y） 7f （x）]dx [ f （x） x y]dy L 與路徑無關(guān).求f（x）. xdy -ydx 2 2 2 2 2 , 13. （10分）計(jì)算積分」4x +y ，其中l(wèi)為圓周（x-1） +y =R越"乂按 逆時(shí)針方向）. 2 ,, I = ydydz-xdzdx z dxdy —2 2 14. （10分）計(jì)算 三 ，其中£為錐面z = Jx +y被 z=1，z=2所截部分的外側(cè). 五、綜合題（每小題5分，共10分） 2 2 2 2 2 2 15. 在橢千面2x +2y +z =1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f（x,y,z） = x +y +z在該 點(diǎn)沿方向1 =（1，-1，0）的方向?qū)?shù)最大，并求出最大值. U '、（1-1） 證明：設(shè)｛Un｝是單調(diào)遞增的有界正數(shù)列，判斷級(jí)數(shù) ni Un^是否收斂，并 證明你的結(jié)論. 高等數(shù)學(xué)I 一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案， 填在題末的 括號(hào)中） （本大題有4小題，每小題4分，共16分） 1 .當(dāng)xt %時(shí)，a（x）P（x）都是無窮小，則當(dāng)xt X。時(shí)（ ）不一定 是無窮小. (A) a(xM(x) (C) 2.極限 In 1 匕(x) ： (x)] 1 ’sinx" lim T'sinaJ 的值是( (B)二 2 x ： 2 x ：2 (x) (D) ： (x) (A) 1 (B) e cot a (C) e (D) tan a e -l-sin x e2ax ~y f(x)={ x 3. L a x=0在x = 0處連續(xù)，則a =( (A) 1 (B) 0 (C) e (D) -1 4.設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo),那么 (A) 3f (a) lim f(a h) - f(a-2h) h P h (B) 2「(a) (C) f ⑻ 、填空題(本大題有 (D) 4小題，每小題 1 / (a) 3 4分，共16分) ln(x a) -ln a lim (a 0) 5 .極限7 x 的值是. 6 .由 exy +y1n X=cos2x 確定函數(shù) y(x), 則導(dǎo)函數(shù) y = 7 .直線l過點(diǎn)M(1,2,3)且與兩平面x+2y-z = 0,2x-3y + 5z = 6都平行，則直 線l的方程為. 2 求函數(shù) y = 2x - ln(4x) 2007— 2008學(xué)年第(1)學(xué)期考試試卷 高等數(shù)學(xué)II (A卷重修) 、填空題(每小題4分，共20分) 二 2 u u 1 . 2 . 處取得 3 . 4 . 4 , 4 ,22 : 2 設(shè)u = x +v -4x y，則."(0,0” Zx西y0廠0和zy ,。)。廠0是可微函數(shù)z = z(x.y)在點(diǎn). y0) (充分、必要、充要)條件. 2 曲線x = 2t .y = c0s(3)2 = 21nt在對(duì)應(yīng)于t= 2點(diǎn)處的切線方程 為： 周期為2n 的函數(shù)f(x),它在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 —1 -n < x <0 f(x )= « < 11 0 -x工7T，設(shè)它的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x) 則 S(0)= . 2 d y ody 2 y - 0 微分方程dx2 dx " 的通解為 、計(jì)算題(每小題8分，共40分) '求dz y z = In tan — 【x J 2.求函數(shù)u = x + y + z在球面x2 + y2+z2 = 1上點(diǎn)（001）處，沿 球面在該點(diǎn)的外法線方向的方向?qū)?shù)。 3.交換積分次序 2 1dx ：?2x-x2 2-x f x y dy 4?將已知正數(shù)a分成兩個(gè)正數(shù) 大？ 2 2 x y之和，問：x y為何值時(shí)使x y最 dy 2xy =4x 5 ,求微分方程dx ... xydV 的通解。 、計(jì)算三重積分C z = 1 z = 0 y = 0 2 其中c是由柱面x y2 = 1 與平面 ,x=0所圍成的第一卦限內(nèi)的區(qū)域。 （9分） xdydz ydzdx zdxdy 四、計(jì) x2 （9分） 2 2 y z 為球面 2 =a的外側(cè)。 五、計(jì)算曲線積分 xy（ydx ln xdy） I x "，其中L: 自點(diǎn) 到點(diǎn)B = 2,1 12J的一段有向曲線弧 （9分） 1,2 I2 1沿曲線 / n 」1n-1上 六、求級(jí)數(shù) nT 七、 求極限 "m+t2 n 2t 的收斂域與和函數(shù)。 t dxte （9分） （x-y 12dy （4分） 三z 確定，則：x = 高等數(shù)學(xué)下C （07） 、填空題（每小題3分，共計(jì)15分） 1 .設(shè) z = f （x,/ 由方程 x + y + z = e -（x +y +z） 2.函數(shù)u = xy2 + z3 - xyz在點(diǎn)P0(0，-1，2)沿方向l = (1，J2G的方向?qū)?shù) P0 2 2 2 2 x y 3 . L為圓周x +y =1,計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分Ie ds = 2 一 2 4 .已知曲面z = 1-x —y上點(diǎn)P處的切平面平行于平面 2x + 2y + z - 1 = 0,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是 0 5 .設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間( — 1，1］的定義為 2 -1 <x<0 f(x) =12 H 0MxE1 ,則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=2收斂于 o 、解答下列各題(每小題7分，共35分) 1 .設(shè)“X、在積分區(qū)域上連續(xù)，交換二次積分 I = J0dy f-y-^f(x,y)dx 1-V1-y 的積分順序。 ? i(x2 y2)dxdy 2 2 2 .計(jì)算二重積分D ，其中d是由y軸及圓周x + y =1所圍 成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域。 3 .設(shè)建是由球面z=〈4_x2_y2與錐面z=qx2+ y2圍成，求三重積 I = f (x2 y2 z2)dxdydz 分 Q 在柱坐標(biāo)系下的三次積分表達(dá)式。 4,設(shè)對(duì)任意x>0,曲線y= f(x)上點(diǎn)(x，f(x))處的切線在y軸上的截距 1 . xf(t)dt ，/、 等于x ，求f (x)的一般表達(dá)式。 5.求解微分方程y'_2y = ex +x。 .xdydz ydzdx (x z)dxdy 三、(10分)計(jì)算曲面積分 工 ,其中三是平面 2x + 2y + z=2在第一掛限部分的下側(cè)。 四、(10分)應(yīng)用三重積分計(jì)算由平面X=0,y = 0，z = O及z = 2x + y+2所圍成的 四面體的體積。 4 4 2 2 五、(10分)求函數(shù)z= x y -x -2a-y的極值。 2 2 六、(10分)設(shè)L是圓域D：x y ；2x的正向邊界，計(jì)算曲線積分 1(x3 - y)dx + (x - y3)dy。 <:(x-1)n 七、(10分)求幕級(jí)數(shù)n』 n 的收斂區(qū)間與和函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)上B (07)試題 一、 填空題：(共24分，每小題4分) dy _ 2 一 . 一 二 1, y =sin［sin(x )］,則 dx 二 a . 2dx =二 2, 已知」々l+x , a= e 1 ln x dx = 3. e o x 4. y =e過原點(diǎn)的切線方程為 f '(lnx) x i dx 5. 已知 f(x)=e ，貝x =0 3 2 6. a=, b=時(shí)，點(diǎn)(1,3)是曲線y = ax +bx的拐點(diǎn) 二、計(jì)算下列各題：(共36分，每小題6分) 3. 4. 5. cosx 求y=(sinx) 的導(dǎo)數(shù)。 x 5 dx Jx2 ―1 0 x f(x) 一十 k, xk 1, lim( 求極限n ：- 2,求 Jsin1nxdx。 x - 0 x <0在點(diǎn)(。,0)處可導(dǎo)，則k為何值? n2 12 . n2 22 ?HI - -=L=} Jn2 +n2 0 6. 方程。 _Lx 2y _z 1 = 0 _L2x_ y z = 0 求過點(diǎn)(2, 2,0)且與兩直線x-y + z-1 = 0和1x-y + z = 0平行的平面 2. 3. 4. 、解答下列各題：(共28分，每小題7分) _Lx = Rcost d2y 設(shè)〔y = Rsint，求菽。 x 求F(x) = J0t(t -1)dt在［-1,2］上的最大值和最小值。 2 2 設(shè) y = y(x)由方程 x(1 + y )-ln(x +2y)=0 確定，求 y'(0)。 2 , 2 一 …一… 求由y=x與y =x圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。 四、證明題：(共12分，每小題6分) 1,證明過雙曲線xy=1任何一點(diǎn)之切線與OX,OY二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角 形的面積為一常數(shù)。 2,設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間［a3上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn) 、使得 b f( ) g(x)dx = g( ) f(x)dx a 成績(jī) (B) ..e (C)e (D)e2 (A) (n 1)(1 - 水) n 1 nvx (B) (C) 1^v xn 1 (1-^x)n 2 (D) (-1)n (n 1)(1 -3 x) (-1)n (1 -次)n2 n 1 nvx 試卷號(hào)：B020002 校名 系名 專業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 日期 (請(qǐng)考生注意：本試卷共 頁) 大 題 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十 一 十 二 十 三 十 四 成 績(jī) 一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中) (本大題分5小題，每小題2分，共10分) 1、 X 設(shè) I = (-e-F1dx,Wl = ex 1 x x (A)ln(e -1) c (B) ln(e 1) c; (C)21n(ex 1) -x c; (D) x -21n(ex 1) c. 答() 2、 lim e n—J ; (A)1 3、 f(x) 的n階麥克勞林展開式的拉 格朗日型余項(xiàng)Rn(x)=()(式中0<8<1) 答() 則點(diǎn)x = 0 設(shè)f(x)在x=0勺某鄰域內(nèi)連續(xù)，且fO^Xmof，：2 (A)是f(x)的極大值點(diǎn) (B)是f(x)的極小值點(diǎn) (C)不是f(x)的駐點(diǎn) (D)是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn) 答() 4、 曲線y =x2 -2x + 4上點(diǎn)M0(0,4)處的切線M0T與曲線y2 =2(x-1)所圍成的平面 圖形的面積A = 21 4 八 9 13 (A) (B) (C) (D)—— 4 9 4 12 二、填空題(將正確答案填在橫線上) (本大題分5小題，每小題3分，共15分) 設(shè) y = ln 1 + tan(x + —),則 y，= 1 、 x 2 用切線法求方程x3 -2x2 -5x-1 =0在(-1,0)內(nèi)的近似根時(shí)，選x。并相應(yīng)求得下 一個(gè)近似值 x1 ©則x0, x1分別為 © x -1 _ y 1 _ z -1 3、設(shè)空間兩直線 1 2 兒 與x *1 = y —1 = z相交于一點(diǎn)，則九=_ sinx +e2ax -1 當(dāng) f (x) =， x ' x 叱，在x = 0處連續(xù)，貝U a = . 4、 [a ,當(dāng) X=0 /xdx= ,其中b是實(shí)數(shù). 5、」0 1 三、解答下列各題 (本大題4分) 一 一 一 1 一 一 1 一 一 一 1 設(shè)平面冗與兩個(gè)向量a =3i + j和b = i + j _4k平行，證明：向量c =2i _6j _ k與 平面n垂直。 四、解答下列各題 (本大題8分) 討論積分：當(dāng)?shù)臄可⑿? 五、解答下列各題 (本大題11分) 導(dǎo)出計(jì)算積分 的遞推公式，其中n為自然數(shù)。 六、解答下列各題 (本大題4分) l ；x + 2y_z_5 = 0 求過P0(4,2「3)與平面Kx + y+z_10 = 0平行且與直線1 (Z —10 = O 垂 直的直線方程。 七、解答下列各題 (本大題6分) 計(jì)算極限lim isinx - cos2x x-0 xtanx 八、解答下列各題 (本大題7分) e e 試求I n = [ (ln x)%x勺遞推公式(n為自然數(shù))，并計(jì)算積分1(ln x) dx. 九、解答下列各題 (本大題8分) 設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)可微，但無界,試證明f，(x)在(a,b)內(nèi)無界。 十、解答下列各題 (本大題5分) 設(shè) lim 中(x) =u0,lim f (u) = f (u0),證明：lim f @(x)]= f (u0) x_^0 UT0 x—^0 o H^一、解答下列各題 (本大題4分) 在半徑為R的球內(nèi)，求體積最大的內(nèi)接圓柱 體的高 十二、解答下列各題 (本大題5分) 12 : 4 cos 二二—,cos - 重量為p的重物用繩索掛在 A,B兩個(gè)釘子上，如圖。設(shè) 13 5,求A, B 十三、解答下列各題 (本大題6分) 一質(zhì)點(diǎn)，沿拋物線y = x(10 - x)運(yùn)動(dòng)，其橫坐標(biāo)隨著 時(shí)間t的變化規(guī)律為x=tJf(t的單位是秒，x的單位是米), 求該質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)在點(diǎn) M(8, 6)處的變化速率. 十四、解答下列各題 (本大題7分) 設(shè)曲線x = J7,x = Y2 - y2及y =0周成一平面圖形.(1)求這個(gè)平面圖形的面積 (2)求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積. 成績(jī) 高等數(shù)學(xué)試卷 試卷號(hào)：B020009 校名 系名 專業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 日期 (請(qǐng)考生注意：本試卷共 頁) 大題 一 二 三 四 五 六 七 八 九 成績(jī) 一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中) (本大題分5小題，每小題2分，共10分) b 極限lim(1 上戶 (a -二0, b -二0)的值為 1、 x)0 a (A)1.(B)ln?(C)ea.(D)號(hào) a a 答() 2、 3 lim(1 cosx)c0sx 二 3 A. e B. 8 C, 1 D. 8 答() 3、 設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)記(I ) f(a) = f (b) (n )在9笛)內(nèi)f,(x)三0則： (a)( i )是(n )的充分但非必要條件 (B)( i )是(n )的必要，但非充分條件 (C)( I )是(n )的充要條件 (D)( I )與(11 )既非充分也非必要條件 答 () 4、 若(x0, f(x0)的連續(xù)曲線，y = f(x)上的凹弧與凸弧分界點(diǎn)，則() (A)(x0, f(x0))必為曲線的拐點(diǎn) (B)(x。，f(x。))必定為曲線的駐點(diǎn) (C) xo為f(x)的極值點(diǎn) (D) xo必定不是f (x)的極值點(diǎn) 答() 5、 1 一長為Lcm的桿OA繞O點(diǎn)在水平面上作圓周逆動(dòng).桿的線密度P =-, r r為桿上一點(diǎn)到。點(diǎn)的距離，角速度為露則總動(dòng)能E = 1 2 2 _ 1 2 2 _ 1 2 2 _ 1 2 2 (A) L (B) L (C) L (D) - L 2 3 4 5 二、填空題（將正確答案填在橫線上） （本大題分3小題，每小題3分，共9分） 1、 2、 (3 —x2)3dx = . x 設(shè)f(x)= p(t-1)dt,則f(x)的單調(diào)減少的區(qū)間是 二 J（nn：-1） 3、對(duì)于「的值，討論級(jí)數(shù)n」 （1）大 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 （2）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 、解答下列各題 （本大題共3小題，總計(jì)13分） 1、（本小題4分） 驗(yàn)證f （x） = x2在［2,4］上拉格朗日中值定理的 正確性 2、（本小題4分） 3、 ■：； n n J. n10 是否收斂，是否絕對(duì)收斂？ （本小題5分） 設(shè)f （x ）是以2 n為周期的函數(shù)，當(dāng) 2 ' 2 ；時(shí)，f（x）= x。又設(shè) Sx）是 f（x）的 以2 n為周期的Fourier級(jí)數(shù)之和函數(shù)。試寫出 S（x）在［-小冗］內(nèi)的表達(dá)式。 四、解答下列各題 （本大題共5小題，總計(jì)23分） 1、（本小題2分） 求極限 x3 -12x 16 lim 3 2 x)2 2x -9x 12x。4 2、 (本小題2分) 求(ex - 1)3exdx. 3、（本小題4分） 2 -2 ― 求 r .x 7 dx -1 x 4、（本小題7分） 求 J x d x. 5、（本小題8分） 1 y 二f 試將函數(shù) x在點(diǎn)X。k°處展開成泰勒級(jí)數(shù)。 五、解答下列各題 （本大題5分） oO 、anxn 如果哥級(jí)數(shù)n^ 在x = -2處條件收斂，那么該 級(jí)數(shù)的收斂半徑是多少 ？試證之. 六、解答下列各題 （本大題共2小題，總計(jì)16分） 1、(本小題7分) 如圖要圍成三間長都為y,寬都為x的長方形屋圍，其墻的總長度為a, 問x,y各等于多少時(shí),所圍成的總面積最大？(墻的厚度不計(jì)) 2、(本小題9分) 求由曲線丫 =e2x,x軸及該曲線過原點(diǎn)的切 線所圍成的平面圖形的 面積. 七、解答下列各題 (本大題6分) chx. x 之 0. 設(shè)f (x)=」 ，試討論f (x)的可導(dǎo)性并在可導(dǎo)處求 出f'(x) Jn(1 -x), x <0 八、解答下列各題 (本大題6分) 計(jì)算lim x )0 0x(at -bt)dt 2x 0 ln(1 t)dt ,(a 0, b. 0). 九、解答下列各題 (本大題12分) 設(shè)函數(shù)f(x)在h b】上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(a >0), 又設(shè) x = rcos1 f (x) = r sin 6. b 一」.. 試證明：2 f (x)dx r ( Rd? - bf (b) - af (a), a ':二 其中二=arctan f(a) , : = arctan f (b) . a b 高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期半期試題(06) 填空 cosx ,x 之0 x 2 f(x)= x 2 a - a - x ,x 1. 1.設(shè) Lx 的連續(xù)點(diǎn)。 設(shè)方程 x - y+arctan y = 0 確定了 y = 2. 1 acos2x bcos4x lim 4 3 . t x =a,貝tj a= (a 0) 0 當(dāng) a= _ 時(shí)，x=0 是 f(x) 二y(x)，求乎 dx = 。 , b= , A= o x 4 .函數(shù)y=x2的極小值點(diǎn)為 。 5 .設(shè) f (x) = x Inx 在 x0 處可導(dǎo)，且 f '(x0)=2，貝U f (x0)=  6.設(shè) lim x—0 f x - f 0 . 2 二 一 1, x 貝U f(x)在x=0取得 (填極大值或極小值) 1. 卜/1 . x 一 1 函數(shù)f(x) =《一耳— 、0, 三、 解下列各題 x 0 x M 0 是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求 f(x)的導(dǎo)函數(shù)。 2 x 1 2x -1 2 x 2. 2 limx2 (3x 3 x - 2) x ：. 2 2 設(shè)曲線方程為』x=t+2+sint dy 7 3. L yW+c0st ，求此曲線在x=2的點(diǎn)處的切線方程，及dx 一 四、 四、 試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(diǎn)(1,-1)處有拐點(diǎn)，且在 x=0處有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值 五、 五、 若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角 形。 六、 六、 證明不等式： ■ , e :二二?：二, 七、 八、 證明: 七、 八、 y=f(x)與y=sin(x)在原點(diǎn)相切，求極限 設(shè) f(x)在［0,1］上連續(xù)且在 (0,1 )內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. (1)至少有一點(diǎn) 七£ (1/2,1),使得f( E尸 七 1. 2. 3. 4. P1的坐標(biāo)為 (2) V技R ,存在 ne(o, £),使得「(")-，［ f(力-司=1 高等數(shù)學(xué)第二期半期考試試題 、解答下列各題(每題6分) 1. 利用二重積分求不等式 r<2cos& r< 1所表達(dá)的區(qū)域的面積。 2. 設(shè) z=(1 + xy)x ,求 dz 3. 求函數(shù) u=eyz 在點(diǎn) P0(1,0,-1)沿 RR 方向的方向?qū)?shù)。其中 (2,1,-1). 4. 設(shè)u=f (x,y,z),而邛(x： ey, z)=0 ,y=simx其中f ,中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), du 5. 6. — 1. 2. 求dx。 xy 12 , 、 , z + x = Je dt確je,求 5. 設(shè) z=z(x , y)由 0 6. 求曲面x2+4y-z 2+5=0垂直于直線 2 (每題8分) 111 x| ■■ | y dxdy 1. 計(jì)算二重積分 D 其中D： 3 2 3. dx sin y dy 2. 計(jì)算二次積分1 x4 。 rx rx z 二 z - ,- x 二 y y -1 二z 的切平面方程。 x2+y2< 1。 三、（每題8分） 1. 1.求 y“_y=xsinx 的一個(gè)特解。 dy 1 ,二 2 3 2. 2. 求微分方程dx xy+ x y的通解。 四、（8分）利用拉格朗日乘數(shù)法，求橢圓拋物面 z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距離。 ：2 , c 21c 2 五、（10分）求函數(shù)u=vx +2y +3z在點(diǎn)（1,1,4）處沿曲線工 向的方向?qū)?shù)。 x = t y =t2 3 , z = 3t +1在該點(diǎn)切線方 R 21. y r R2 -y2 2 2 2 2 e dy e dx ? e dy e dx 0 0 R 0 六、（8分）利用極坐標(biāo)計(jì)算 七、 1 o o f （0）=2,求極限 lim+—3 Hf〈'x +y dxdy （6分）設(shè)f（u）為可微函數(shù)，f（0）=0 o T+E x2"寸 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題（一） 1.[5 分]設(shè) f (x - 2)= x2 - 2x+3,求 f(x+2) x3 - 3x 2 lim 4 2. [5 分]求 XT1 x — 4x + 3 Isin x lim 3. [5分]討論極限xT° x 4. [5分]函數(shù)y = sin（arcsinx）與函數(shù)y = x是否表示同一函數(shù)，并說明理由。 n n 1 2n 1 an 二 2 1. [6分]討論數(shù)列 6(n—1) n =1,2, 當(dāng)n->電時(shí)的極限。 , s sin x f(x)=」 2. [6分]討論函數(shù) /-1 一 -4 x = e 2 _ t d_j_ 3. [6分]設(shè) y - te 求 dx2 x -0 x<0在x = 0處的可導(dǎo)性。 4. [6分] 2 求曲線y =（x 1）（x - 2）的凹凸區(qū)間。 1.[8分]求質(zhì)冶3"加葭也 2. 3 -x— dx [8分]求 3+x 2x 2 xcos x dx 3. [8分]計(jì)算 -be Nx xe dx 4. ［8 分］求0 。 2 2x c f x = 0 _ x ：： - I 4、 四、 ［8分］ 設(shè) 1+x 1式討論f (x)的單調(diào)性和有界性。 2 2 5、 五、 ［8分］求曲線 y=x , y = (x-1)及x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn) 體的體積V 。 6、 六、 ［8分］A , B兩廠在直河岸的同側(cè)， A沿河岸，B離岸4公里，A與B相距 5公里，今在河岸邊建一水廠 C,從水廠到B廠的每公里水管材料費(fèi)是 A廠的了5倍, 問水廠C設(shè)在離A廠多遠(yuǎn)處才使兩廠所耗總的水管材料費(fèi)為最省。 第一期高數(shù)試題(二) 、試解下列各題：(每題7分) 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. f(x)= 設(shè) x 1 (x#1),求 f I x-1 4(x) -1 1 - cos ax 3 ln 1 2x lim x 求 xT ,二 2 c;5 求 cos xsin x dx 試解下列各題：(每題5分) y = arctan(x3+2) + ln Jx—— (lx > 1,求 y‘ 1. 1.設(shè) T‘x+1 。 2. 2. 設(shè)函數(shù) f (x)在［0,1］上可導(dǎo)，且 y=f (sin 2x)+f (cos2x),求 dy/dx 3. 3. 求由方程x2+2xy-y 2=2x所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)。 4. 4. 確定y=x-ln(1+x 2)的單調(diào)區(qū)間。 ； dx 5. 5.計(jì)算 1 x(1 +x ) 三、三、試解下列各題：(每題6分) 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 2 lim x 求x '二 2t . 2 J…求山 -t 2 設(shè) y =t -e dx 對(duì)函數(shù)f (x) = sin(x)在區(qū)間［0,兀/2］上驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性。 ln x x . 1 ln x dx sin x .... 四、"證明：'ex&2+1)x - 12e 五、［8分］以半徑為R的球的直徑為軸線鉆一個(gè)半徑為 a ( 0< a < R )的圓柱形孔，求所 剩部分的體積。 x = 0處 六、［8分］試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(diǎn)（1, -1 ）處有拐點(diǎn)，且在 有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值。 02-03第一期期末高等數(shù)學(xué)試卷 一、解答下列各題 （本大題共16小題，總計(jì)75分） 1、（本小題4分） 求極限 lim tanx - tan2. x 祥 sinln（ x -1） 2、（本小題4分） 求（ex 1）3exdx. 3、（本小題4分） 2 100x 10x 1 求極限lim — — x "x 0.1 x O01x 0.001 4、（本小題4分） 3x 設(shè)y = x《sin tdt,求y ; 5、（本小題4分） 求f(1+a) + f(1 - a),其中 a > 0 . x2 - x 1, x £ 1 ； 設(shè)f(x)= 2x 一 6、（本小題5分） 求極限lim x2 - 1 7、 8、 （本小題 設(shè) （本小題 1 求2 x t— 1 5分) 1nx. y =(3x +1)1n( 3x +1),求 y" 5分) 3 x dx 1 -x2 14、（本小題5分） 9、（本小題5分） 設(shè) y（x） = x3e、x,求 dy xt . 10、（本小題5分） 2 求由方程x23 +y3 =a%（常數(shù)aA0）確定的隱函數(shù) y = y(x)的微分dy. 11、(本小題5分) 設(shè) y = y(x)由 x = (1 +s2y2 和y = (1 - s2) 2 所確定, 試求—. dx 12、（本小題5分） x -y 設(shè)y = y（x）由方程y =e x所確定，求y' 13、（本小題5分） 若x >0,證明 x2 +ln（1 + x）2 > 2x 8、（本小題5分） dx 1、 2、 （本小題5分） 要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長20cm,要使其體積最大 （本小題5分） ，問其圖應(yīng)為多少？ 3、 求曲線y =2 —x2與y = （本小題5分） x所圍成的平面圖形的面積 求曲線y = x2和y = x3在bl止所圍成的平面圖形的面積 、解答下列各題 （本大題5分） 證明方程x5 -7x=4在區(qū)間（1, 2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 四、解答下列各題 （本大題5分） 判定曲線y =（x +3）q'x在0, +s"的凹凸性 02-03第一學(xué)期期末高等數(shù)學(xué)試卷 、解答下列各題 （本大題共16小題，總計(jì)80分） 1、（本小題5分） 求極限 3 _ _ lim 3x -12x 16 x，22x3 -9x2 12x -4 2、（本小題5分） 求一 （1 2、2 x ） dx. r 16 求 L 1 4'1x +"x 15、（本小題5分） 16、（本小題5分） 求（x 1/1） 二、解答下列各題 （本大題共3小題，總計(jì)15分