高等數(shù)學II期中試卷
高等數(shù)學II期中試卷
1、
、選擇題(每小題3分,共計
\ xy
函數(shù) f (x, y) = «
15分)
2 2
x +y #0 在(0, 0)點
(A) .連續(xù),偏導函數(shù)都存在;
(B) .不連續(xù),偏導函數(shù)都存在;
在。
(C).不連續(xù),偏導函數(shù)都不存在;
(D).連續(xù),偏導函數(shù)都不存
2、
x2,0 < x < 1 )的值為
重積分 口 xydxdy (其中D : 0 E y E D
,、1
(A) . g;
- 1
(B) .一;
12
… 1
(C) .-;
r 1
(D) . - 0
4
3、設(shè)f為可微函數(shù),
x — az = f (y — bz),貝 U a 烏
;x
bi=
(A)? 1;
(B). a;
(C). b;
(D ). a +b0
4、設(shè)D是以原點為圓心,R為半徑的圓圍成的閉區(qū)域,則[J |xy d。
D
R4 (A). 4 ;
R4
(B).9;
R4
(C). 2 ; (D). R4o
5、設(shè) f (x,y) ft D : 0 _ y _1 _ x,0 x 1 上連續(xù),則二重積分 j j f( x, y)d。表小 D
成極坐標系下的二次積分的形式為
二 1
02d1 °f(「
cos,, r sin - )rdr
cos 二 sin 二
(B).
f (r cos -,r sin -)rdr
■--T 1 -cos --I
0&. 0
f (r cos -, r sin - )rdr
(D).
0d. 0
1
cos i sin 1
f (r cos,, r sin -)rdr
、填空題(每小題4分,共計24分)
y
1、設(shè)z = (xy尸,則dz= , 在點P(1,2)處的梯度
g r azdp = 。
2、設(shè) f (x, y) = x+(y-1)arcsinj2 ,貝^ f x (x,1)=。
3、 D由曲線(x _1)2 +(y _1)2 =1所圍成的閉區(qū)域,則
!! (x y)dxdy =
D o
4、函數(shù)u = xyz在點(5,1,2)處沿從點(5,1,2)到點(9,4,14 )所確定方向的方
向?qū)?shù)是。
y =1-2x
5、曲線, 1 5 2在點(1,T,-2)處的切線方程為 ,法平面
iz = x
2 2
方程為。
6、改變積分次序
0 二
dy
-1 / _2arcsin y
1 ,:■; arcsin y
f(X,y)dX 0dy arcsiny f(X,Y)dX =
三、計算題(每小題7分,共計49分)
1 1
x. 1、求 Jdx「ysin dy。
o x y
2、求橢球面2x2+3y2 +z2=9的平行于平面2x — 3y + 2z + 1 = 0的切平面方程。
1 :r
3、已知z=fK,")具有二階連續(xù)偏導數(shù),利用線性變換 「=x+ay變換方程 x = x + by
-2 - 2 - 2 - 2
胃+3=+詈=0。問:當a,b取何值時,方程化為 :z =0。 2 2
x x y y
4、x2 + y2 +z2 = xf (—), f 可微,求—。 x x
,…… 1
5、在經(jīng)過點P( 2,1,3)的平面中,求一平面,使N與二坐標面圍成的在第一卦
限中的立體的體積最小。
_ 1
7、設(shè)區(qū)域D : — M x+y
2
6、求二元函數(shù)z = x2+4y2 +9在區(qū)域x2 + y2 E 4的最大值、最小值。
E1,證明:JJln( x2 + y2)dxdy < 0。
D
四、每小題6分,共計12分
1、設(shè)
xy
y2
y2
二0
二0,用方向?qū)?shù)的定義證明:函數(shù)f(x,y)在
原點(0,0)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在。
2、設(shè) f (t)=
x[1 - x2 y2 M2
f( x2 y2)
]dxdy ,
x>0,y>0,t^0 若 f(t)是連
t -0
續(xù)可微的函數(shù),求f(t)
高等數(shù)學II (B卷)
單項選擇題(每小題分,共20分)
1 .母線平行于y
12x2
2
軸且通過曲線I x
2 y
2
z
Z2 =16
_ y2 =0
的柱面方程為
3x2 2z2 =16 y = 0
_ 2 _ 2 -
3x 2z =16
3x2
2 x
2
2z2 =16
2 2
x2 +2y2 =16。
. 下
00
二(-1)n ln(1
n 1
n(n 1)
B、
C、
n10 n7 n 1
QO
二(1 - cos
n d
下述幕級
A、
x (1 1 HI 1)x n3 2 n
二 1
%」xn
R nW n ;
C、
二 1 n
-2 x
n t n ;
,二 1 n
ln(1 2)x
D、nW n
zln(x y z )...
2 2 2
設(shè)c為x +y +z § ,則三重積分
2——2——2--dxdydz 了 x2 y2 z2 1
A、0 B、n C、 3 D 2n
— 2 .2 2 _2
11 x3dydz y3dxdz z3dxdy
工
) ~ 2? ? ,
-3 111 a dxdydz
A、二、
-3 iiir2 r2sin drd id :
G -
5 .設(shè)Z為球面x +V +z =a的內(nèi)側(cè)(a>0),建為Z所圍空間閉域,則按高斯公 式曲面積分
可 表 小
~ 2? ? ,
3111a dxdydz
B 、Q
3 iiir2 r2sin drd":
D 、石
二、填空題(每小題4分,共20分)
; d d M d ,
6 .若向量x與a =2i - j +2k共線,且滿足a x = -18,則x =
7 .曲面ez -z+xy=3在點(2,1,0)處的法線方程為 .
2 2 2
8 .若函數(shù) f(x,y,z)=x +2y +3z +xy+3x-2-6z,則 gradf(1,1,1)=
x ay dx ydy
2
9 .已知 (x + y) 為某函數(shù)的全微分,則a=
xy2dy - x2 ydx 二
三、計算題(每小題
11.設(shè) ex*sin(x+z) =0
.其中L是圓a2
10分,共60分)
;z ;z
-1 -
計算 x二y,
2 2
土 .工
= 1,(a 0)
的正向.
/ 、 2 2 2
12.設(shè) z = z(x,y) 是由 x -6xy+1 0 y- 2 yz z+1 8確0t 的函數(shù),求 z = z(x, 丫地勺極值,
13.計算二重積分
1 1 2
0 dx xLdy
I 二 (x2 y2)dxdydz _ ——2
14 .計算三重積分 建 .其中c由錐面z—ox y與平面Z = 1
..(x2 y2)dS
所圍成的區(qū)域
15 .設(shè)工是錐面z = & +y2 ,(0 Wz^1),計算
口
16.計算工
yzdxdz 2dxdy
= 4,(z20)的上側(cè).
,2 2 _2、 — 2 2 2
5+v +z ,其中工是球面x +v +z
高等數(shù)學II(A卷)
二、單項選擇題(每小題4分,共16分)
2 2 3 2
C、(z +y)=25x .
1 .將zox坐標面上曲線z3=5x繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 )
A、z3 =5jx2 +y2 ; B、? = -5Jx2 * y2 . 6 2 2
z = 25 x y
2 .有關(guān)二元函數(shù)f (x,y)的下面四條性質(zhì):
(1) f (x, y)在點(x0,y0)可微分;(2)f式x,y0), fy(%。0)存在;
(3) f (x,y)在點(x0,y0)連續(xù); (4) fx(x, y), fy(x,y)在點(xo, yo)連續(xù).
若用"P" Q"表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則下列四個選項中正確的是
( )
A、(4)=(1)= (2); b、⑴=(4)=(3); c、(1)=(2)= (3); d、 (2)= (1)= (3)
3 .設(shè)積分區(qū)域D ="x'y "x "廠",則下式中正確的是
A、
1
x y (x y)dxdy = 4 xex dx
0 ;
1 1
B、
x2 2
lie (x y)dxdy = 0
D
..ex
D
4.
2 2
ex .y
D
1
(x 十 y)dxdy = 4Jxex dx
(x y)dxdy =8 xex dx
0
.
- 2 2 . 一 . 一
有向曲面工:z = x -y在第II卦限的右側(cè)、也是此曲面在第
II卦限的
( )
A、前側(cè); B、后側(cè); C、左側(cè); D、不能確定.
二、填空題(每小題4分,共20分)
.■ .2
_ 1 u 二
4 4 2 2 一 --
5 .設(shè)函數(shù)u=x +v -4xy ,則縱,吟
6 .曲面ez—z + xy =3在點(2,1,0)處的切平面方程為
2 2
7 .若函數(shù)z=2x+2y+3xy+ax + by + c在點(-2,3)處取得極值,貝(Ja=
點
(一2,3)是此函數(shù)的極 (大、小)值點.
O0
x=" bn sin nx (0 三xM慝)
8 .設(shè) nl ,則 4 =
9.
[(y —ex)dx (3x ey)dy =
2 2
x y
2 ~ - 1
.其中L是正向橢圓a b
三、計算題(每小題8分,共64分)
f x = t
■ : y =t
3
.求(1)曲線「在點(1,1,1)處
10 .已知函數(shù) u=ln(x + Jy2+z2),曲線 lzW 切線方向的單位向量(沿t增加方向);
(2)函數(shù)u =ln(x + Jy2+z2)在點(1,0,0)處沿(1)所指方向的方向?qū)?shù). jz rz
x -y , ?
11 .設(shè)方程e sin(x+z)=0確定隱函數(shù)z = z(x,y),計算 出列.
12 .計算二重積分
ji ji
o6dy .:
cosx , dx
x
13 .計算三重積分 圍成的區(qū)域.
I = zdxdydz
1
.其中。是由錐面z = Jx2 + y2與平面z=1所
r 2 , 2 , 2
jX +y +z
14 .設(shè)r是曲線〔X +y +z
2
二 a
=0,計算
"x2 + y2)ds
3 . _ _ 2 . _ _ 2 ..
11 x dydz 2xz dzdx 3y dxdy 2 2
15 .計算Z ,三為拋物面z = 4-x -y位于平面z = 0
上方部分的下側(cè).
二二 1
% x
16 .已知幕級數(shù)n^n(n+1) 和函數(shù);
n 1
,求(1)此級數(shù)的收斂域;(2)此級數(shù)收斂域內(nèi)的
17 .設(shè)f(u)具有連續(xù)的導數(shù),
2 2 2 ... .2
x +y +z <t 0
(3)級數(shù) n=1n(n+1)2n* 的值.
lim 74- III f(\X2 y2 z2 )dxdydz
且T t夏 存在,其中:
計算(i) f⑼;⑵
lim : 111 f (. x2 y2 z2 )dxdydz tot]'
高數(shù)II試題
、選擇題(每題4分,共
xy
16分)
二0
(A)連續(xù),且偏導函數(shù)都存在;
(C)不連續(xù),且偏導函數(shù)都不存在;
在(0, 0)點.
(B)不連續(xù),但偏導函數(shù)都存在;
(D)連續(xù),且偏導函數(shù)都不存在。
:z
2.
設(shè)f為可微函數(shù),
z= f(x + y+z, xyz),貝(j a
fi yz f2
A ) fi xy f2 -1
1- f1 - xy f2
(B). f1'+yzf2' ;
f〔 yz f2
(c ). 1 - f1 - x y f2 ;
f1 xzf2
(D). My。
3.設(shè) f(x,y5D:x2 +
2
y-2 <4
f (x, y) d-
上連續(xù),則二重積分D 表示成
極坐標系下的二次積分的形式為
(A).
2 二 2
f0 de f0 f(rcos0,rsin9)rdr . (B)
二 2
d^ f (r cos/r sin i)rdr
’0 ,0 、 , ;
(C).
f (r cos -,r sin^)rdr
(D).
f (r cos -,r sin -)rdr
oO
'、anxn
n與 的收斂半徑
'' an(X - 1)n
4.幕級數(shù)n衛(wèi) 在x = 3處條件收斂,則幕級數(shù)
O
(A), 3; (B). 4 ; (C). 1 ; (D), 5。
二、填空題(每題4分,共20分)
1 .設(shè)函數(shù)z=xy,則函數(shù)z = xy的全微分 j。
2 .函數(shù)u = x2+y2+z2在點8。,1,1)處沿OP0方向的方向?qū)?shù)為,其中O 為坐標原點。
3 .曲面2z+xy=3-ez在點(1,2, 0)處的切平面方程為 。
4,曲線積分I電L(x *y ds (其中L是圓周:x2+y2=9)的值為 o
x, 0<x<1 貨 產(chǎn)
f(x)=/ 工 bn sin nx 2- bn sin nx
5.設(shè) J WxWn的正弦級數(shù)展開式為n4 ,設(shè)nT 和函
數(shù)為s(x),則
s(7) = s(5二)=
, .
三、計算題(每題7分,共21分)
x
1,求方程y +3y +2y=3xe的通解。
1 x 4 、:反
2 .交換二次積分』0dxLJ(x,y)dyFdxLf(x,y)dy的積分順序。
Il z2ds .-2 2
3.計算曲面積分t ,其中工為錐面z = 4x *y(0-z-4)o
.:z j2z
2 2 ,
四(9分)設(shè)函數(shù)z=f(xy ,xy),其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求ex改明。
B
4 a a」2 - 4」
五、(10分)確定a的值,使曲線積分1 =1a(x +4xy由+的y -5y叱與
路徑無關(guān),
并求A,B分別為@0),(1,2)時曲線積分的值。
I = f (x, y, z)dxdydz
六、(10分)化三重積分 Q 為柱面坐標及球面坐標系
.." 2 2 —2 2
下的三次積分,其中。是由z51—x —y和z、x y ,所圍成的閉區(qū)域。
,2 ,2 ,2
11(y -z)dydz (z -x)dzdx (x。y)dxdy
七、(10分)求三 ,其中三為錐面
z = « +y2(0 wz wh)的外側(cè)。
八、(4分)設(shè)f (x)在點x =0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù),
證明級數(shù)
1
K1
nm n絕對收斂。
..f(x)八
lim —= 0
且T x ,
高等數(shù)學II (A卷)096
一、 單項選擇題(每小題4分,共16分).
x *
1 .微分方程y +3y +2y=e ,其特解y設(shè)法正確的是 ( ).
* x * x * x *2t
(A)y =Ae ;(B)y =Axe ; (C)y =(Ax + Be ;(D)y =Axe
2 .設(shè) 空 間 區(qū) 域 夏:x2+y2+z2wR2, z々0 .
。1: x2 十 y2 十 z2£R2, x 至 0, y±0, z 至 0,
則()
ill xdxdydz = 4 111 xdxdydz
h i ydxdydz = 4 m ydxdydz
(B)
(A)
h i zdxdydz = 4 m zdxdydz m xyzdxdydz = 4 m xyzdxdydz
(C)盲 乳 ;(D) Q Q
cd
an . ~ (0, —) , 一
3 .設(shè)an >0(n= !」! zdxdydz 2=2、
11.計算 Q ,建是由曲面—、4-3(x +y )及
,2,……),且nq 收斂, 2 ,則級數(shù)
' (-1)n(ntan —)a2n
n」 n ( ).
(A)條件收斂; (B)絕對收斂;(C)發(fā)散; (D)收斂性與九有關(guān)。
4,設(shè)二元函數(shù) f(x,y)滿足 fx'(0,0) = 1f y'(0,0) =2,則(
(A) f(x,y)在點(0,0)連續(xù); (B) df(x,y) |(0,0)=dx + 2dy ;
二f
l(0 0)cos2cos
(C)日 ,其中cosc(,cosP為l的方向余弦;
(D) f(x,y)在點(0,0)沿x軸負方向的方向?qū)?shù)為-1.
二、填空題(每小題4分,共16分).
x
f (x,y) = x (y -1)arcsin -
5 .設(shè)函數(shù) Vy,則 fx(x,1)=.
、,2 2 2 2
6 .曲面z = Vx y被柱面x +y =1所割下部分的面積為
2 S(x)=" bnsinn二 x (-二::x :’ 二 )
7.設(shè) f(x) =x (OWX41),而 n「 ,其中
1 L .
bn =2 f (x)sin n xdx n =1,2, '…,則 (2)
S(9)=.
J-1 (x-2)n
-- 2
8.幕級數(shù)n^ n 的收斂域為 .
三、 解答下列各題(每小題7分,共28分).
9.設(shè)z=z(x,y)是由方程F(xy,z-2x)=0確定的隱函數(shù),F(xiàn)(u,v)可微,計算 .z ;z
x 一 - y 一 ex cy
在曲面z=xy上求一點,使該點處的法線垂直于平面x + 3y + z+9=0.
1 f(x) = —2—
z =x2
2
y所圍成的閉區(qū)域.
10.將函數(shù) x +3x+2展開為x的幕級數(shù).
四、解答下列各題(每小題10分,共30分)
12. (10分)設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導數(shù),f⑼=0『⑼=1 ,曲線積分
2
[xy(x y) 7f (x)]dx [ f (x) x y]dy
L 與路徑無關(guān).求f(x).
xdy -ydx
2 2 2 2 2 ,
13. (10分)計算積分」4x +y ,其中l(wèi)為圓周(x-1) +y =R越"乂按 逆時針方向).
2 ,,
I = ydydz-xdzdx z dxdy —2 2
14. (10分)計算 三 ,其中£為錐面z = Jx +y被
z=1,z=2所截部分的外側(cè).
五、綜合題(每小題5分,共10分)
2 2 2 2 2 2
15. 在橢千面2x +2y +z =1上求一點,使函數(shù)f(x,y,z) = x +y +z在該
點沿方向1 =(1,-1,0)的方向?qū)?shù)最大,并求出最大值.
U
'、(1-1)
證明:設(shè){Un}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)列,判斷級數(shù) ni Un^是否收斂,并
證明你的結(jié)論.
高等數(shù)學I
一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案, 填在題末的
括號中)
(本大題有4小題,每小題4分,共16分)
1 .當xt %時,a(x)P(x)都是無窮小,則當xt X。時( )不一定
是無窮小.
(A) a(xM(x)
(C)
2.極限
In 1 匕(x) : (x)]
1
’sinx"
lim
T'sinaJ 的值是(
(B)二 2 x : 2 x
:2 (x)
(D) : (x)
(A) 1 (B) e
cot a
(C) e (D)
tan a
e
-l-sin x e2ax ~y f(x)={ x
3. L a x=0在x = 0處連續(xù),則a =(
(A) 1
(B) 0 (C) e (D) -1
4.設(shè)f(x)在點x=a處可導,那么
(A) 3f (a)
lim f(a h) - f(a-2h)
h P h
(B) 2「(a)
(C) f ⑻
、填空題(本大題有
(D)
4小題,每小題
1
/ (a)
3
4分,共16分)
ln(x a) -ln a lim (a 0)
5 .極限7 x 的值是.
6 .由 exy +y1n X=cos2x 確定函數(shù) y(x), 則導函數(shù) y =
7 .直線l過點M(1,2,3)且與兩平面x+2y-z = 0,2x-3y + 5z = 6都平行,則直 線l的方程為.
2
求函數(shù) y = 2x - ln(4x)
2007— 2008學年第(1)學期考試試卷
高等數(shù)學II (A卷重修)
、填空題(每小題4分,共20分)
二 2
u u
1 .
2 .
處取得
3 .
4 .
4 , 4 ,22 : 2
設(shè)u = x +v -4x y,則."(0,0”
Zx西y0廠0和zy ,。)。廠0是可微函數(shù)z = z(x.y)在點. y0)
(充分、必要、充要)條件.
2
曲線x = 2t .y = c0s(3)2 = 21nt在對應(yīng)于t= 2點處的切線方程
為:
周期為2n
的函數(shù)f(x),它在一個周期內(nèi)的表達式為
—1 -n < x <0 f(x )= « <
11 0 -x工7T,設(shè)它的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為s(x)
則 S(0)= .
2
d y ody
2 y - 0
微分方程dx2 dx " 的通解為
、計算題(每小題8分,共40分)
'求dz
y z = In tan —
【x J
2.求函數(shù)u = x + y + z在球面x2 + y2+z2 = 1上點(001)處,沿 球面在該點的外法線方向的方向?qū)?shù)。
3.交換積分次序
2
1dx
:?2x-x2
2-x
f x y dy
4?將已知正數(shù)a分成兩個正數(shù) 大?
2 2
x y之和,問:x y為何值時使x y最
dy 2xy =4x
5 ,求微分方程dx
... xydV
的通解。
、計算三重積分C
z = 1 z = 0 y = 0
2
其中c是由柱面x
y2 = 1
與平面
,x=0所圍成的第一卦限內(nèi)的區(qū)域。
(9分)
xdydz ydzdx zdxdy
四、計
x2
(9分)
2 2
y z
為球面
2
=a的外側(cè)。
五、計算曲線積分
xy(ydx ln xdy)
I x ",其中L:
自點
到點B =
2,1
12J的一段有向曲線弧
(9分)
1,2
I2 1沿曲線
/ n
」1n-1上
六、求級數(shù) nT
七、
求極限 "m+t2
n
2t
的收斂域與和函數(shù)。
t dxte
(9分)
(x-y 12dy
(4分)
三z
確定,則:x =
高等數(shù)學下C (07)
、填空題(每小題3分,共計15分)
1 .設(shè) z = f (x,/ 由方程 x + y + z = e -(x +y +z)
2.函數(shù)u = xy2 + z3 - xyz在點P0(0,-1,2)沿方向l = (1,J2G的方向?qū)?shù)
P0
2 2
2 2 x y
3 . L為圓周x +y =1,計算對弧長的曲線積分Ie ds =
2 一 2
4 .已知曲面z = 1-x —y上點P處的切平面平行于平面
2x + 2y + z - 1 = 0,則點p的坐標是 0
5 .設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間( — 1,1]的定義為
2 -1 <x<0
f(x) =12
H 0MxE1 ,則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=2收斂于 o
、解答下列各題(每小題7分,共35分)
1 .設(shè)“X、在積分區(qū)域上連續(xù),交換二次積分
I = J0dy f-y-^f(x,y)dx
1-V1-y 的積分順序。
? i(x2 y2)dxdy 2 2
2 .計算二重積分D ,其中d是由y軸及圓周x + y =1所圍
成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域。
3 .設(shè)建是由球面z=〈4_x2_y2與錐面z=qx2+ y2圍成,求三重積
I = f (x2 y2 z2)dxdydz
分 Q 在柱坐標系下的三次積分表達式。
4,設(shè)對任意x>0,曲線y= f(x)上點(x,f(x))處的切線在y軸上的截距
1 . xf(t)dt ,/、 等于x ,求f (x)的一般表達式。
5.求解微分方程y'_2y = ex +x。
.xdydz ydzdx (x z)dxdy
三、(10分)計算曲面積分 工 ,其中三是平面
2x + 2y + z=2在第一掛限部分的下側(cè)。
四、(10分)應(yīng)用三重積分計算由平面X=0,y = 0,z = O及z = 2x + y+2所圍成的 四面體的體積。
4 4 2 2
五、(10分)求函數(shù)z= x y -x -2a-y的極值。
2 2
六、(10分)設(shè)L是圓域D:x y ;2x的正向邊界,計算曲線積分 1(x3 - y)dx + (x - y3)dy。
<:(x-1)n
七、(10分)求幕級數(shù)n』 n 的收斂區(qū)間與和函數(shù)。
高等數(shù)學上B (07)試題
一、 填空題:(共24分,每小題4分)
dy _
2 一 . 一 二
1, y =sin[sin(x )],則 dx
二 a .
2dx =二
2, 已知」々l+x , a=
e
1 ln x dx =
3. e o
x
4. y =e過原點的切線方程為
f '(lnx)
x i dx
5. 已知 f(x)=e ,貝x =0
3 2
6. a=, b=時,點(1,3)是曲線y = ax +bx的拐點
二、計算下列各題:(共36分,每小題6分)
3.
4.
5.
cosx
求y=(sinx) 的導數(shù)。
x 5 dx Jx2 ―1 0
x
f(x) 一十 k, xk 1,
lim(
求極限n :-
2,求 Jsin1nxdx。
x - 0
x <0在點(。,0)處可導,則k為何值?
n2 12 . n2 22
?HI - -=L=}
Jn2 +n2 0
6.
方程。
_Lx 2y _z 1 = 0 _L2x_ y z = 0
求過點(2, 2,0)且與兩直線x-y + z-1 = 0和1x-y + z = 0平行的平面
2.
3.
4.
、解答下列各題:(共28分,每小題7分)
_Lx = Rcost d2y
設(shè)〔y = Rsint,求菽。
x
求F(x) = J0t(t -1)dt在[-1,2]上的最大值和最小值。
2 2
設(shè) y = y(x)由方程 x(1 + y )-ln(x +2y)=0 確定,求 y'(0)。
2 , 2 一 …一…
求由y=x與y =x圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。
四、證明題:(共12分,每小題6分)
1,證明過雙曲線xy=1任何一點之切線與OX,OY二個坐標軸所圍成的三角 形的面積為一常數(shù)。
2,設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a3上連續(xù),證明:至少存在一點 、使得
b
f( ) g(x)dx = g( ) f(x)dx
a
成績
(B) ..e (C)e (D)e2
(A)
(n 1)(1 - 水)
n 1 nvx
(B)
(C) 1^v xn 1
(1-^x)n 2
(D)
(-1)n
(n 1)(1 -3 x)
(-1)n
(1 -次)n2
n 1 nvx
試卷號:B020002
校名 系名 專業(yè)
姓名 學號 日期
(請考生注意:本試卷共 頁)
大 題
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十
一
十
二
十
三
十 四
成 績
一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中) (本大題分5小題,每小題2分,共10分)
1、 X
設(shè) I = (-e-F1dx,Wl =
ex 1 x x
(A)ln(e -1) c (B) ln(e 1) c;
(C)21n(ex 1) -x c;
(D) x -21n(ex 1) c.
答() 2、
lim e n—J ;
(A)1
3、
f(x)
的n階麥克勞林展開式的拉 格朗日型余項Rn(x)=()(式中0<8<1)
答()
則點x = 0
設(shè)f(x)在x=0勺某鄰域內(nèi)連續(xù),且fO^Xmof,:2
(A)是f(x)的極大值點 (B)是f(x)的極小值點
(C)不是f(x)的駐點 (D)是f(x)的駐點但不是極值點
答()
4、
曲線y =x2 -2x + 4上點M0(0,4)處的切線M0T與曲線y2 =2(x-1)所圍成的平面
圖形的面積A =
21 4 八 9 13
(A) (B) (C) (D)——
4 9 4 12
二、填空題(將正確答案填在橫線上)
(本大題分5小題,每小題3分,共15分)
設(shè) y = ln 1 + tan(x + —),則 y,=
1 、 x
2
用切線法求方程x3 -2x2 -5x-1 =0在(-1,0)內(nèi)的近似根時,選x。并相應(yīng)求得下 一個近似值 x1 ©則x0, x1分別為 ©
x -1 _ y 1 _ z -1
3、設(shè)空間兩直線 1 2 兒 與x *1 = y —1 = z相交于一點,則九=_
sinx +e2ax -1 當
f (x) =, x ' x 叱,在x = 0處連續(xù),貝U a = .
4、 [a ,當 X=0
/xdx= ,其中b是實數(shù).
5、」0 1
三、解答下列各題
(本大題4分)
一 一 一 1 一 一 1 一 一 一 1
設(shè)平面冗與兩個向量a =3i + j和b = i + j _4k平行,證明:向量c =2i _6j _ k與 平面n垂直。
四、解答下列各題
(本大題8分)
討論積分:當?shù)臄可⑿?
五、解答下列各題
(本大題11分)
導出計算積分
的遞推公式,其中n為自然數(shù)。
六、解答下列各題
(本大題4分)
l ;x + 2y_z_5 = 0
求過P0(4,2「3)與平面Kx + y+z_10 = 0平行且與直線1 (Z —10 = O 垂 直的直線方程。
七、解答下列各題
(本大題6分)
計算極限lim isinx - cos2x
x-0 xtanx
八、解答下列各題
(本大題7分)
e e
試求I n = [ (ln x)%x勺遞推公式(n為自然數(shù)),并計算積分1(ln x) dx.
九、解答下列各題
(本大題8分)
設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)可微,但無界,試證明f,(x)在(a,b)內(nèi)無界。
十、解答下列各題
(本大題5分)
設(shè) lim 中(x) =u0,lim f (u) = f (u0),證明:lim f @(x)]= f (u0) x_^0 UT0 x—^0 o
H^一、解答下列各題
(本大題4分)
在半徑為R的球內(nèi),求體積最大的內(nèi)接圓柱 體的高
十二、解答下列各題
(本大題5分)
12 : 4
cos 二二—,cos -
重量為p的重物用繩索掛在 A,B兩個釘子上,如圖。設(shè) 13 5,求A, B
十三、解答下列各題 (本大題6分)
一質(zhì)點,沿拋物線y = x(10 - x)運動,其橫坐標隨著
時間t的變化規(guī)律為x=tJf(t的單位是秒,x的單位是米),
求該質(zhì)點的縱坐標在點 M(8, 6)處的變化速率.
十四、解答下列各題
(本大題7分)
設(shè)曲線x = J7,x = Y2 - y2及y =0周成一平面圖形.(1)求這個平面圖形的面積 (2)求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.
成績
高等數(shù)學試卷
試卷號:B020009
校名
系名 專業(yè)
姓名 學號 日期
(請考生注意:本試卷共 頁)
大題
一
二
三
四
五
六
七
八
九
成績
一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中)
(本大題分5小題,每小題2分,共10分) b
極限lim(1 上戶 (a -二0, b -二0)的值為
1、 x)0 a
(A)1.(B)ln?(C)ea.(D)號 a a
答()
2、 3
lim(1 cosx)c0sx 二
3
A. e B. 8 C, 1 D. 8
答()
3、
設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導記(I ) f(a) = f (b)
(n )在9笛)內(nèi)f,(x)三0則:
(a)( i )是(n )的充分但非必要條件
(B)( i )是(n )的必要,但非充分條件
(C)( I )是(n )的充要條件
(D)( I )與(11 )既非充分也非必要條件
答 ()
4、
若(x0, f(x0)的連續(xù)曲線,y = f(x)上的凹弧與凸弧分界點,則()
(A)(x0, f(x0))必為曲線的拐點
(B)(x。,f(x。))必定為曲線的駐點
(C) xo為f(x)的極值點
(D) xo必定不是f (x)的極值點
答()
5、
1
一長為Lcm的桿OA繞O點在水平面上作圓周逆動.桿的線密度P =-, r
r為桿上一點到。點的距離,角速度為露則總動能E =
1 2 2 _ 1 2 2 _ 1 2 2 _ 1 2 2
(A) L (B) L (C) L (D) - L
2 3 4 5
二、填空題(將正確答案填在橫線上)
(本大題分3小題,每小題3分,共9分)
1、
2、
(3 —x2)3dx =
.
x
設(shè)f(x)= p(t-1)dt,則f(x)的單調(diào)減少的區(qū)間是
二 J(nn:-1)
3、對于「的值,討論級數(shù)n」
(1)大 時,級數(shù)收斂
(2)當 時,級數(shù)發(fā)散
、解答下列各題
(本大題共3小題,總計13分)
1、(本小題4分)
驗證f (x) = x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的 正確性
2、(本小題4分)
3、
■:; n n J. n10
是否收斂,是否絕對收斂?
(本小題5分)
設(shè)f (x )是以2 n為周期的函數(shù),當
2 ' 2 ;時,f(x)= x。又設(shè) Sx)是 f(x)的
以2 n為周期的Fourier級數(shù)之和函數(shù)。試寫出
S(x)在[-小冗]內(nèi)的表達式。
四、解答下列各題
(本大題共5小題,總計23分)
1、(本小題2分)
求極限
x3 -12x 16
lim 3 2
x)2 2x -9x 12x。4
2、
(本小題2分)
求(ex - 1)3exdx.
3、(本小題4分)
2 -2 ―
求 r .x 7 dx
-1 x
4、(本小題7分)
求 J x d x.
5、(本小題8分)
1
y 二f
試將函數(shù) x在點X。k°處展開成泰勒級數(shù)。
五、解答下列各題
(本大題5分)
oO
、anxn
如果哥級數(shù)n^ 在x = -2處條件收斂,那么該 級數(shù)的收斂半徑是多少 ?試證之.
六、解答下列各題 (本大題共2小題,總計16分)
1、(本小題7分)
如圖要圍成三間長都為y,寬都為x的長方形屋圍,其墻的總長度為a,
問x,y各等于多少時,所圍成的總面積最大?(墻的厚度不計)
2、(本小題9分)
求由曲線丫 =e2x,x軸及該曲線過原點的切 線所圍成的平面圖形的 面積. 七、解答下列各題 (本大題6分)
chx. x 之 0.
設(shè)f (x)=」 ,試討論f (x)的可導性并在可導處求 出f'(x)
Jn(1 -x), x <0
八、解答下列各題
(本大題6分)
計算lim
x )0
0x(at -bt)dt
2x
0 ln(1 t)dt
,(a 0, b. 0).
九、解答下列各題 (本大題12分)
設(shè)函數(shù)f(x)在h b】上有連續(xù)導數(shù)(a >0), 又設(shè) x = rcos1 f (x) = r sin 6.
b 一」..
試證明:2 f (x)dx r ( Rd? - bf (b) - af (a), a ':二
其中二=arctan f(a) , : = arctan f (b) . a b
高等數(shù)學第一學期半期試題(06)
填空
cosx
,x 之0 x 2
f(x)= x 2
a - a - x ,x
1. 1.設(shè) Lx
的連續(xù)點。
設(shè)方程 x - y+arctan y = 0 確定了 y = 2.
1 acos2x bcos4x lim 4
3 . t x =a,貝tj a=
(a 0) 0
當 a= _ 時,x=0 是 f(x)
二y(x),求乎
dx = 。
, b= , A= o
x
4 .函數(shù)y=x2的極小值點為 。
5 .設(shè) f (x) = x Inx 在 x0 處可導,且 f '(x0)=2,貝U f (x0)=
6.設(shè) lim
x—0
f x - f 0 .
2 二 一 1,
x 貝U f(x)在x=0取得
(填極大值或極小值)
1.
卜/1 . x 一 1
函數(shù)f(x) =《一耳—
、0, 三、 解下列各題
x 0
x M 0 是否連續(xù)?是否可導?并求
f(x)的導函數(shù)。
2 x
1 2x -1
2
x
2.
2
limx2 (3x 3 x - 2)
x :.
2 2
設(shè)曲線方程為』x=t+2+sint dy 7
3. L yW+c0st ,求此曲線在x=2的點處的切線方程,及dx 一
四、 四、 試確定a,b,c的值,使y=x3+ax2+bx+c在點(1,-1)處有拐點,且在
x=0處有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值
五、
五、
若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù),求有最大面積的直角三角
形。
六、
六、
證明不等式: ■ , e :二二?:二,
七、
八、 證明:
七、
八、
y=f(x)與y=sin(x)在原點相切,求極限
設(shè) f(x)在[0,1]上連續(xù)且在 (0,1 )內(nèi)可導,且 f(0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.
(1)至少有一點 七£ (1/2,1),使得f( E尸 七
1.
2.
3.
4.
P1的坐標為
(2) V技R ,存在 ne(o, £),使得「(")-,[ f(力-司=1 高等數(shù)學第二期半期考試試題
、解答下列各題(每題6分)
1. 利用二重積分求不等式 r<2cos& r< 1所表達的區(qū)域的面積。
2. 設(shè) z=(1 + xy)x ,求 dz
3. 求函數(shù) u=eyz 在點 P0(1,0,-1)沿 RR 方向的方向?qū)?shù)。其中
(2,1,-1).
4. 設(shè)u=f (x,y,z),而邛(x: ey, z)=0 ,y=simx其中f ,中具有一階連續(xù)偏導數(shù), du
5.
6.
—
1.
2.
求dx。
xy
12 , 、 ,
z + x = Je dt確je,求
5. 設(shè) z=z(x , y)由 0
6. 求曲面x2+4y-z 2+5=0垂直于直線 2
(每題8分)
111 x| ■■ | y dxdy
1. 計算二重積分 D 其中D:
3 2
3.
dx sin y dy
2. 計算二次積分1 x4 。
rx rx
z 二 z
- ,-
x 二 y
y -1
二z
的切平面方程。
x2+y2< 1。
三、(每題8分)
1. 1.求 y“_y=xsinx 的一個特解。
dy 1
,二 2 3
2. 2. 求微分方程dx xy+ x y的通解。
四、(8分)利用拉格朗日乘數(shù)法,求橢圓拋物面 z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距離。
:2 , c 21c 2
五、(10分)求函數(shù)u=vx +2y +3z在點(1,1,4)處沿曲線工 向的方向?qū)?shù)。
x = t
y =t2
3 ,
z = 3t +1在該點切線方
R
21. y r R2 -y2
2 2 2 2
e dy e dx ? e dy e dx
0 0 R 0
六、(8分)利用極坐標計算
七、
1 o o
f (0)=2,求極限 lim+—3 Hf〈'x +y dxdy
(6分)設(shè)f(u)為可微函數(shù),f(0)=0 o T+E x2"寸
第一學期高等數(shù)學試題(一)
1.[5 分]設(shè) f (x - 2)= x2 - 2x+3,求 f(x+2)
x3 - 3x 2
lim 4
2. [5 分]求 XT1 x — 4x + 3
Isin x
lim
3. [5分]討論極限xT° x
4. [5分]函數(shù)y = sin(arcsinx)與函數(shù)y = x是否表示同一函數(shù),并說明理由。
n n 1 2n 1
an 二 2
1. [6分]討論數(shù)列 6(n—1)
n =1,2,
當n->電時的極限。
, s sin x f(x)=」
2. [6分]討論函數(shù) /-1
一 -4
x = e 2
_ t d_j_
3. [6分]設(shè) y - te 求 dx2
x -0
x<0在x = 0處的可導性。
4.
[6分]
2
求曲線y =(x 1)(x - 2)的凹凸區(qū)間。
1.[8分]求質(zhì)冶3"加葭也
2.
3
-x— dx
[8分]求 3+x
2x
2
xcos x dx
3. [8分]計算
-be
Nx
xe dx
4. [8 分]求0 。
2 2x c
f x = 0 _ x :: - I
4、 四、 [8分] 設(shè) 1+x 1式討論f (x)的單調(diào)性和有界性。
2 2
5、 五、 [8分]求曲線 y=x , y = (x-1)及x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn) 體的體積V 。
6、 六、 [8分]A , B兩廠在直河岸的同側(cè), A沿河岸,B離岸4公里,A與B相距 5公里,今在河岸邊建一水廠 C,從水廠到B廠的每公里水管材料費是 A廠的了5倍, 問水廠C設(shè)在離A廠多遠處才使兩廠所耗總的水管材料費為最省。
第一期高數(shù)試題(二)
、試解下列各題:(每題7分)
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
f(x)=
設(shè)
x 1
(x#1),求 f I x-1 4(x) -1
1 - cos ax
3
ln 1 2x
lim x
求 xT ,二
2 c;5
求 cos xsin x dx
試解下列各題:(每題5分)
y = arctan(x3+2) + ln Jx—— (lx > 1,求 y‘
1. 1.設(shè) T‘x+1 。
2. 2. 設(shè)函數(shù) f (x)在[0,1]上可導,且 y=f (sin 2x)+f (cos2x),求 dy/dx
3. 3. 求由方程x2+2xy-y 2=2x所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導數(shù)。
4. 4. 確定y=x-ln(1+x 2)的單調(diào)區(qū)間。
; dx
5. 5.計算 1 x(1 +x )
三、三、試解下列各題:(每題6分)
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
2
lim x 求x '二
2t . 2
J…求山
-t 2
設(shè) y =t -e dx
對函數(shù)f (x) = sin(x)在區(qū)間[0,兀/2]上驗證拉格朗日中值定理的正確性。
ln x
x . 1 ln x
dx
sin x ....
四、"證明:'ex&2+1)x -
12e
五、[8分]以半徑為R的球的直徑為軸線鉆一個半徑為 a ( 0< a < R )的圓柱形孔,求所
剩部分的體積。
x = 0處
六、[8分]試確定a,b,c的值,使y=x3+ax2+bx+c在點(1, -1 )處有拐點,且在 有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值。
02-03第一期期末高等數(shù)學試卷
一、解答下列各題
(本大題共16小題,總計75分)
1、(本小題4分)
求極限 lim tanx - tan2.
x 祥 sinln( x -1)
2、(本小題4分)
求(ex 1)3exdx.
3、(本小題4分)
2
100x 10x 1
求極限lim — —
x "x 0.1 x O01x 0.001
4、(本小題4分)
3x
設(shè)y = x《sin tdt,求y ;
5、(本小題4分)
求f(1+a) + f(1 - a),其中 a > 0 .
x2 - x 1, x £ 1 ; 設(shè)f(x)=
2x 一
6、(本小題5分)
求極限lim
x2 - 1
7、
8、
(本小題 設(shè)
(本小題
1
求2
x t— 1
5分)
1nx.
y =(3x +1)1n( 3x +1),求 y"
5分)
3
x dx
1 -x2
14、(本小題5分)
9、(本小題5分)
設(shè) y(x) = x3e、x,求 dy xt .
10、(本小題5分)
2
求由方程x23 +y3 =a%(常數(shù)aA0)確定的隱函數(shù)
y = y(x)的微分dy.
11、(本小題5分)
設(shè) y = y(x)由 x = (1 +s2y2 和y = (1 - s2) 2 所確定,
試求—.
dx
12、(本小題5分)
x -y
設(shè)y = y(x)由方程y =e x所確定,求y'
13、(本小題5分)
若x >0,證明 x2 +ln(1 + x)2 > 2x
8、(本小題5分)
dx
1、
2、
(本小題5分)
要做一個圓錐形漏斗,其母線長20cm,要使其體積最大
(本小題5分)
,問其圖應(yīng)為多少?
3、
求曲線y =2 —x2與y =
(本小題5分)
x所圍成的平面圖形的面積
求曲線y = x2和y = x3在bl止所圍成的平面圖形的面積
、解答下列各題
(本大題5分)
證明方程x5 -7x=4在區(qū)間(1, 2)內(nèi)至少有一個實根.
四、解答下列各題
(本大題5分)
判定曲線y =(x +3)q'x在0, +s"的凹凸性
02-03第一學期期末高等數(shù)學試卷
、解答下列各題
(本大題共16小題,總計80分) 1、(本小題5分)
求極限
3 _ _
lim 3x -12x 16
x,22x3 -9x2 12x -4
2、(本小題5分)
求一
(1
2、2
x )
dx.
r 16 求
L 1 4'1x +"x
15、(本小題5分)
16、(本小題5分)
求(x 1/1)
二、解答下列各題
(本大題共3小題,總計15分