2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點53 關(guān)于點、直線對稱的圓的方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點53 關(guān)于點、直線對稱的圓的方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc
考點53 關(guān)于點、直線對稱的圓的方程
要點闡述
1.設(shè)P,對稱中心為(a,b),則P關(guān)于A的對稱點為.
2.設(shè)點P關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為則.
典型例題
【例】已知兩圓相交于兩點A(1,3),B(m,-1),兩圓圓心都在直線x-y+c=0上,則m+c的值是( )
A.-1 B.2
C.3 D.0
【答案】C
【秒殺技】抓住相交弦與連心線垂直即可.
小試牛刀
1.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長,則a+b=( )
A.3 B.2
C.5 D.1
【答案】A
【解析】由題可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上,∴a+b-3=0,即a+b=3.
2.曲線x2+y2+2x–2y=0關(guān)于( )
A.直線x=成軸對稱 B.直線y=–x成軸對稱
C.點(–2,)成中心對稱 D.點(–,0)成中心對稱
【答案】B
【解析】方程可化為(x+)2+(y–)2=4 表示圓,可以看出圓關(guān)于直線y=–x對稱.
3.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點O(0,0)對稱的圓的方程為( )
A.(x+2)2+(y+2)2=5 B.x2+(y–2)2=5
C.(x–2)2+y2=5 D.x2+(y+2)2=5
【答案】C
【解析】已知圓的圓心(–2,0)關(guān)于原點的對稱點為(2,0),故所求對稱圓的方程為(x–2)2+y2 =5.
【解題技巧】關(guān)于點、直線對稱的圓,半徑?jīng)]有發(fā)生變化,只要用對稱找到圓心即可.
4.方程x2+ y2+ Dx+Ey+F=0(D2+E2–4F>0)表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形,則( )
A.D+E=0 B.D+F=0
C.E+ F=0 D.D+E +F=0
【答案】A
【解析】是圓心,=0, D+E=0.
5.若圓(x-a)2+(y-b)2=b2+1始終平分圓(x+1)2+(y+1)2=4的周長,則a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是( )
A.a(chǎn)2-2a-2b-3=0 B.a(chǎn)2+2a+2b+5=0
C.a(chǎn)2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0
【答案】B
【解題技巧】兩圓的方程相減即得公共弦所在直線方程.
6.設(shè)圓上的點A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上,且直線x-y+1=0被圓截得的弦長為2,求圓的方程.
【解析】設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意,知直線x+2y=0過圓心,
∴a+2b=0.①
又點A在圓上,∴(2-a)2+(3-b)2=r2.②
∵直線x-y+1=0被圓截得的弦長為2,
∴()2+2=r2.③
由①②③可得或
故所求方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
考題速遞
1.若圓O:x2+y2=4和圓C:x2+y2+4x-4y+4=0關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程是( )
A.x+y=0 B.x+y-2=0
C.x-y-2=0 D.x-y+2=0
【答案】D
【解析】由題意,知兩圓的圓心分別為O(0,0),C(-2,2).由于直線l為線段OC的垂直平分線,故直線l過線段OC的中點(-1,1),斜率為1,所以直線l的方程是x-y+2=0.
2.圓x2+y2–2x–1=0關(guān)于直線2x– y+3 =0對稱的圓的方程是( )
A.(x+3)2+(y–2)2= B.(x–3)2+(y+2)2=
C.(x+3)2+(y–2)2=2 D.(x–3)2+(y+2)2=2
【答案】C
3.已知圓C: x2+y2+2x+ay–3= 0(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l:x–y+2=0的對稱點都在圓C上,則a=________.
【答案】–2
【解析】由題意可得圓C的圓心() 在直線x–y+2=0上,將()代入,得–1–()+2=0,解得a=–2.
4.已知一個圓C:(x+2)2+(y-6)2=1和一條直線l:3x-4y+5=0,求圓關(guān)于直線l對稱的圓的方程.
【解析】圓C:(x+2)2+(y-6)2=1的圓心為C(-2,6),
數(shù)學(xué)文化
一個圓的故事
有一個圓缺了一角,很不快樂,于是它動身去尋找所缺的一角.它一路向前滾一路唱“我要去尋找失去的一角”,它忍受著日曬,經(jīng)受著寒冷,被冰雪冰凍,又被太陽溫暖.由于缺了一角,它沒法滾得太快,它有時候停下來和小蟲說話,或是聞聞花的芳香,最快樂的是它和蝴蝶一起嬉戲的時光.它渡過海洋,穿越沼澤和湖泊,翻越丘陵和高山.終于有一天,它遇上了最合適的一角,總算找到了,它感覺真好.
它把一角裝上,成了一個完美的圓.它一路高興地唱“我找到了我失去的一角”.因為不再缺少什么,它越滾越快,快得停不下來和小蟲說話,停不下來聞聞花香,停不下來和蝴蝶嬉戲,最后它再也不能唱歌了.
它開始明白了什么,停了下來,卸下那一角輕輕放下,從容的走開,又開始一路的歌唱“我要去尋找失去的一角”……