2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2.doc

1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．下列函數(shù)存在極值的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－ex C．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x3 解析：A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0無(wú)解，且f(x)的圖象為雙曲線．∴A中函數(shù)無(wú)極值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0處取極大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)無(wú)極值．D也無(wú)極值．故選B. 答案：B 2.如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．－2是函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn) B．1是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn) C．y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于零 D．y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上單調(diào)遞增 解析：f′(1)＝0，但在1的相鄰的左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值同號(hào)，故1不是f(x)的極值點(diǎn)，故選B. 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋2x取極小值時(shí)，x的值是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2，－1 C．－1 D．－3 解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，則知在區(qū)間(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，在區(qū)間 (－1,2)上f′(x)>0，故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取極小值． 答案：C 4．若x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則有(　　) A．a(chǎn)＝－2，b＝4 B．a(chǎn)＝－3，b＝－24 C．a(chǎn)＝1，b＝3 D．a(chǎn)＝2，b＝－4 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩個(gè)根，所以有－＝－2＋4，＝－24，解得a＝－3，b＝－24. 答案：B 5．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極小值是(　　) A．a(chǎn)＋b＋c B．8a＋4b＋c C．3a＋2b D．c 解析：由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在x＝0時(shí)取得極小值c. 答案：D 6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝3x2＋a， 令f′(x)＝0，∴a＝－3x2， ∴a＜0時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)． 答案：a＜0 7．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：∵y＝ex＋ax， ∴y′＝ex＋a， 由于y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，即方程ex＋a＝0有大于零的解． 即a＝－ex(x>0)，∵當(dāng)x>0時(shí)，－ex<－1， ∴a<－1. 答案：(－∞，－1) 8．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，y＝f (x)的大致圖象如圖， 觀察圖象得－2<a<2時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)． 答案：(－2,2) 9．求下列函數(shù)的極值． (1)f(x)＝x4－2x2； (2)f(x)＝x2e－x. 解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極小值  極大值  極小值  從表中可以看出： 當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(0)＝0； 當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，函數(shù)有極小值， 且f(－1)＝f(1)＝－1. (2)函數(shù)的定義域?yàn)镽. f′(x)＝()′＝ ＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－xx(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  由上表可以看出： 當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(0)＝0； 當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(2)＝. 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋2bx在點(diǎn)x＝1處的極小值為－1，試確定a，b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解析：由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，① 又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，② 由①②解得a＝，b＝－， ∴f(x)＝x3－x2－x， 由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， 令f′(x)>0，得x<－或x>1， 令f′(x)<0，得－<x<1， ∴f(x)在x＝1的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0， 即f(x)在x＝1處取得極小值， 故a＝，b＝－，且f(x)＝x3－x2－x， 它的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－)和(1，＋∞)， 它的單調(diào)減區(qū)間是(－，1)． [B組　能力提升] 1．如圖所示的是函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象，則x＋x等于(　　) A. B. C. D. 解析：由圖象可得：?， 所以f′(x)＝3x2－2x－2， 由題意可得：x1，x2是函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的兩個(gè)極值點(diǎn)，故x1，x2是方程f′(x)＝0的根， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－，則x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝. 答案：D 2．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(　　) A．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值 B．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值 C．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值 D．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值 解析：①當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此時(shí)f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，且f′(1)＝e－1≠0，∴A，B項(xiàng)均錯(cuò)；②當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，此時(shí)f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝exx2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零點(diǎn)介于0,1之間，不妨設(shè)為x0，則有 x (－∞，x0) x0 (x0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  故f(x)在x＝1處取得極小值． 答案：C 3．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝________，b＝________. 解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3， 由根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)有 ，∴. 答案：－3?。? 4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d為常數(shù))，當(dāng)k∈(－∞，0)∪(4，＋∞)時(shí)，f(x)－k＝0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)k∈(0,4)時(shí)，f(x)－k＝0有3個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題： ①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一個(gè)相同的實(shí)根； ②f(x)＝0和f′(x)＝0有一個(gè)相同的實(shí)根； ③f(x)－3＝0的任一實(shí)根大于f(x)－1＝0的任一實(shí)根； ④f(x)＋5＝0的任一實(shí)根小于f(x)－2＝0的任一實(shí)根． 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：由題意y＝f(x)圖象應(yīng)為先增后減再增，極大值為4，極小值為0，f(x)－k＝0的根的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為f(x)＝k，即y＝k和y＝f(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．根據(jù)圖象可知答案為：①②④. 答案：①②④ 5．設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng)，且f′(1)＝0. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解析：(1)因?yàn)閒(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b. 從而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng)，從而由題設(shè)條件知－＝－，解得a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6. 6．已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a為常數(shù))，直線l與函數(shù)f(x)， g(x)的圖象都相切，且l與函數(shù)f(x)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1. (1)求直線l的方程及a的值； (2)當(dāng)k>0時(shí)，試討論方程f(1＋x2)－g(x)＝k的解的個(gè)數(shù)． 解析：(1)由直線l與函數(shù)f(x)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，得f′(1)＝1，即直線l的斜率為1，則切點(diǎn)為(1，f(1))，即(1,0)， ∴直線l的方程為y＝x－1.① ∵g′(x)＝x，且切線l的斜率為1， ∴切點(diǎn)為， 則直線l：y－＝x－1，即y＝x－＋a.② 由①②可得－＋a＝－1，∴a＝－. (2)∵f(1＋x2)－g(x)＝k， 即ln(1＋x2)－x2＋＝k. 設(shè)y1＝ln(1＋x2)－x2＋，y2＝k， 則y1′＝－x＝. 令y1′＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，當(dāng)x變化時(shí)，y1′，y1的變化情況，列表如下： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y1′ ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y1  極大值ln 2  極小值  極大值ln 2  函數(shù)y1的大致圖象如圖： 方程y1＝y(tǒng)2， ①當(dāng)0<k<時(shí)，有2個(gè)解； ②當(dāng)k＝時(shí)，有3個(gè)解； ③當(dāng)<k<ln 2時(shí)，有4個(gè)解； ④當(dāng)k＝ln 2時(shí)，有2個(gè)解； ⑤當(dāng)k>ln 2時(shí)，沒(méi)有解．